Sayılar Teorisi

Matematikçiler İçin Asal Sayılar Neden Bu Kadar Önemlidir?

Asal sayılar eskilerden beri sadece matematikçilerin değil bilim ile yolu kesişen tüm insanların ilgisini çekmiştir. Bu durum da insanın aklına elbette “Asal sayılar neden önemlidir?” sorusunu getirmektedir. Asal sayılar, sayı sisteminin atomlarıdır, yani tüm sayıları oluşturan sayılardır. 1 sayısı asal değildir, dizi 2’den başlar ve 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… biçiminde devam eder. ( 1 sayısının neden asal olmadığını merak ederseniz bu yazıya göz atabilirsiniz). Asal sayıların gerçek önemi, aradaki tüm sayıların asal sayıları çarparak oluşturulabileceği gerçeğinde yatmaktadır. Örneğin, 12 sayısı 2x2x3 veya 155 sayısı 5×31 biçiminde yazılabilir. Burada kullandığımız 2,3,5,31 sayıları atomlarımız yani asal sayılardır. Bu yüzden, asal sayıların özelliklerini anlayarak, genel olarak sayıların diğer derin özelliklerini kavrayabiliriz.

Eski Yunanlılar, asal sayıların birçok özelliğini anlamışlardı. 2300 yıl önce de kendisini daha çok geometriye yaptığı katkılar ile tanıdığımız Öklid, asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu gösterdi.

klid

Öklid Asal Sayıların Sonsuz Sayıda Olduğunu Nasıl Gösterdi?

Bunu şu biçimde gerçekleştirdi. Bir kişinin elinde asal sayıların tüm listesinin var olduğunu düşünelim. Listedeki tüm asal sayıları çarpın ve ardından bulduğunuz cevaba 1 ekleyin. Bu yeni sayı, tanımı gereği listedeki herhangi bir asal sayı ile tam bölünemez çünkü her zaman 1 kalanı verir. Dolayısıyla, bu yeni sayı ya başka bir asaldır ya da listede eksik olan bir asal sayı ile bölünebilmelidir. Bu yeni sayıyı listeye eklerseniz ve işlemi tekrarlarsanız aynı sonuca ulaşacaksanız. Yani elimizdeki liste her durumda eksik kalacaktır.

Öklid’in bu ispatını kavramak son derece kolay olsa da maalesef asal sayılar hakkında bir çok şey için aynı şeyi söylemek mümkün olmamaktadır. Örneğin, asal sayıların sayı doğrusu boyunca nasıl dağıldığıyla ilgili olan Riemann hipotezi, herhangi bir çözümün 1 milyon dolar değerinde olduğu yedi büyük “milenyum probleminden” biridir.

Daha Büyük Asal Sayıları Bulmak Ne İşimize Yarayacak?

Evet, en büyük asal sayı yoktur, ancak bu matematikçilerin yıllar içinde daha büyük olanları keşfetmek için rekabet etmesini engellememiştir. 1996’dan beri bu arayış Mersenne Prime Search (GIMPS) tarafından sürdürülmektedir. Bu arayışa siz de dahil olabilirsiniz. Yapmanız gereken bilgisayarınıza küçük bir program indirip bir sayının Mersenne Asalı olup olmadığını kontrol etmek olacaktır.

Peki Ama Neden Mersenne Asalları?

Büyük bir sayının asal olup olma­dığını anlamak için kendinden küçük asallara bölünüp bölünmediğini kontrol etmemiz gerekir. Bu da tahmin edebileceğiniz gibi pek de kolay bir yaklaşım biçimi değildir. Mersenne asalları formülle ifadesi 2n-l şeklindedir. Ancak burada kullanılacak n sayısı da asal olmalıdır. Bu sayıların hepsi tek olsa da hepsi asal değildir. İlk dört Mersenne asalı 3, 7, 31, 127 biçimindedir ve bu sayılar da asaldır ancak bu genel bir kural değildir. Örneğin n=11 durumunda çıkan sonuç asal değildir. ( 211 – 1 = 2047 =23 x 89)

Mersenne asalları asal sayıları kontrol etmeyi nispeten kolaylaştırmaktadır. Ancak bu sayıların kendilerinden küçük başka bir asal sayı ile bölünüp bölünmediklerini kontrol etmek, yine de hesaplama açısından yoğun bir faaliyettir. Şu andaki rekor bir Mersenne asalı olan  24.862.048  basamaklı  282.589.933-1 dir.

En büyük asal sayı arayışının ardında yatan neden elbette sadece bir rekoru elde tutmak değildir. Büyük asal sayılar pratikte çok önemlidir. İnternet bankacılığı, çevrimiçi alışveriş ve dijital kimlik doğrulamanın tümü, şifreleme karıştırıcı mesajlar kullanır, böylece yalnızca hedeflenen alıcı bunları çözebilir. Bu durumda verilen bir sayının asal çarpanlarına ayrılması ile ilgilidir. (Konuyu bu yazımızda kapsamlı olarak inceleyebilirsiniz) Küçük bir sayının çarpanlarına ayrılması kolaydır ancak sayı büyüdükçe bu durum zorlaşmaya başlar. Kısacası, daha büyük asal sayılar daha fazla güvenlik demektir. Asal sayıların şifreleme tekniklerinde kullanılmasının sebebi işte budur.

Göz Atmak İsterseniz

Kaynak: Why should we care about prime numbers?; https://mashable.com/

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.