Matematikçiler İçin Asal Sayılar Neden Bu Kadar Önemlidir?

Sayıların temelinde sayma sa­yıları vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … Peki bunun bile temelinde başka sayılar var mıdır? Bir sayıyı daha küçük parçalarına ayırabilir miyiz? Cevabınız hemen evet olacaktır. Sonucunda bir çok sayı onu oluşturan bileşenlerine ayrılabilir. Mesela 12=2x2x3 biçiminde yazılabilir. Bu sayılara bileşik sayılar denir. Bazı sayıları ise ayırmak mümkün değildir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Bunlara da asal sayılar veya kısaca asallar denir.

Asal sayılar eskilerden beri sadece matematikçilerin değil bilim ile yolu kesişen tüm insanların ilgisini çekmiştir. Bu durum da insanın aklına elbette “Asal sayılar neden önemlidir?” sorusunu getirmektedir. Asal sayılar, sayı sisteminin atomlarıdır, yani tüm sayıları oluşturan sayılardır. 1 sayısı asal değildir, dizi 2’den başlar ve 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… biçiminde devam eder. Asal sayıların gerçek önemi, aradaki tüm sayıların asal sayıları çarparak oluşturulabileceği gerçeğinde yatmaktadır. Bu yüzden, asal sayıların özelliklerini anlayarak, genel olarak sayıların diğer derin özelliklerini kavrayabiliriz.

Öklid Asal Sayıların Sonsuz Sayıda Olduğunu Nasıl Gösterdi?

klid
Öklid, sonsuz sayıda asal sayı olduğunu kanıtlayan ilk kişi olarak bilinir. 2000 yıl sonra bile kullandığı yöntem etkileyicidir.

Eski Yunanlılar, asal sayıların birçok özelliğini anlamışlardı. 2300 yıl önce de kendisini daha çok geometriye yaptığı katkılar ile tanıdığımız Öklid, asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu göstermişti. Bunu şu biçimde gerçekleştirdi.

Bir kişinin elinde asal sayıların tüm listesinin var olduğunu düşünelim. Listedeki tüm asal sayıları çarpın ve ardından bulduğunuz cevaba 1 ekleyin. Bu yeni sayı, tanımı gereği listedeki herhangi bir asal sayı ile tam bölünemez çünkü her zaman 1 kalanı verir. Dolayısıyla, bu yeni sayı ya başka bir asaldır ya da listede eksik olan bir asal sayı ile bölünebilmelidir. Bu yeni sayıyı listeye eklerseniz ve işlemi tekrarlarsanız aynı sonuca ulaşacaksanız. Yani elimizdeki liste her durumda eksik kalacaktır. Öklid’in bu ispatını kavramak son derece kolay olsa da maalesef bize fazla da bir şey söylemiyor. Ancak yine de ilk olması açısından elbette önemli.

Eratostenes’in Kalburu Elimizdeki En Etkili Araç

Asal sayıları incelemek için matematikçiler, yalnızca asallar kalana kadar tam sayıları birbiri ardına bir sanal ağ üzerinden eliyorlar. Bu eleme işlemi sayesinde günümüzde bilgisayarlar bir saniyeden daha kısa sürede milyarlarca asal sayı bulabiliyorlar. Ancak elek fikrinin ana fikri 2000 yılı aşkın süredir değişmedi. Öklid, asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlamıştı. Ancak onları hızlıca listelememiz için bize bir fikir veren kişi Eratosthenes olarak bilinmektedir. Aslında bu fikri hemen hemen her ilk öğretim öğrencisi de bilir. Görünümü aşağıdaki gibi olmaktadır.

Eratostenes’in kalburu: Önce 2’nin katlarını, ardından 3’ü, ardından 5’i, ardından 7’yi (2,3,5,7 hariç) silin. Bunu 2’den 100’e kadar tüm sayılara uygularsanız geriye yalnızca asal sayılar kalacaktır. İlk seçtiğimiz asal sayıların sekiz tane olması durumunda 400’e kadar olan asal sayılar bulunabilir. İlk 168 asal sayının katlarını silersek de 1 milyona kadar olan asal sayıları bulabiliriz. Bu basit çizelgenin gücü buradan gelir.

Daha Büyüklerini Bulma Çabaları

Asal sayıların listelenmesi konusunda dikkate dönük bir çaba harcayan ilk kişi İngiliz bir matematikçi olan John Pell ( 1611-1685) olarak bilinir. Kendisi Diophantos’un kadim aritmetik problemlerini çözmek ve aynı zamanda matematiksel gerçekleri düzenlemeye yönelik kişisel bir arayışa motive olmuştu. 1700’lerin başında 100.000’e kadar olan asal sayıları hesapladı.

1800’e gelindiğinde ise bu sayı 1 milyona ulaşmıştı.  1800’lerin ortalarında, matematikçi Jakob Kulik, 100 milyona kadar olan tüm asal sayıları buldu. Bunun için yine Eratosthenes kalburunu kullanıyordu ancak gözlemlediği bazı şablonlar sayesinde işi biraz hızlandırmıştı. Ancak tüm bu çabalar, Carl Friedrich Gauss asal sayıları analiz etmeye karar vermemiş olsaydı, yalnızca bir referans tablosu işlevi görebilirdi. 

Gauss sayılar ile incelemeler yaptıktan sonra, Gauss, asal sayıların giderek daha az sıklıkta karşımıza çıktığını fark etti. Gauss’un ilk keşfinden bir asır sonra, bulguları “asal sayılar teoremi” ile kanıtlandı. Bugün hesaplamalar bilgisayarlar aracılığı ile yapılsa da matematikçiler yeni şablonlar bulmaya devam ediyorlar. Örneğin, 2 ve 5 hariç tüm asal sayıların sonu 1, 3, 7 veya 9’dur. 1800’lerde bu olası son rakamların eşit sıklıkta olduğu kanıtlanmıştır. Başka bir deyişle, bir milyona kadar olan asal sayılara bakarsanız, yaklaşık yüzde 25’i 1, yüzde 25’i 3, yüzde 25’i 7 ve yüzde 25’i 9 ile biter.

En Büyük Asal Sayı Sürekli Değişiyor, Bunu Nasıl Buluyoruz?

En büyük asal sayı arayışının ardında yatan neden elbette sadece bir rekoru elde tutmak değildir. Büyük sayılar pratikte çok önemlidir. Bu durumda verilen bir sayının asal çarpanlarına ayrılması ile ilgilidir. Küçük bir sayının çarpanlarına ayrılması kolaydır. Ancak sayı büyüdükçe bu durum zorlaşmaya başlar. Bu nedenle daha büyük asal sayılar daha fazla güvenlik demektir. Asal sayıların şifreleme tekniklerinde kullanılmasının sebebi de işte budur.

Baştan beri dediğimiz gibi asal sayılar sonsuzdur. Bu nedenle en büyük asal sayı diye bir şey yoktur. 1996 yılından beri bu sayıları arama işi Mersenne Prime Search (GIMPS) tarafından sürdürülüyor. Hatta bu arayışa sizler de dahil olabiliyorsunuz. Tek yapmanız gereken bilgisayarınıza küçük bir program indirip bir sayının Mersenne Asalı olup olmadığını kontrol etmek olacaktır. Bu noktada da akla gelen soru elbette Mersenne Asalının ne olduğu oluyor.

(GIMPS-Büyük Internet Mersenne Asal Arayışı

Mersenne Asalları İle Asal Sayıların İlişkisi

Günümüzde p doğal sayısı için 2p – 1 şek­lindeki sayılara Mersenne sayıları, bunların asal olanlarına da Mersenne asalları denir. Sebebi, Mersenne’in 1644 tarihli Cogitata Physica-Mathematica adlı eserinde 257’ye kadarki tüm p değerlerinden sadece p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 ve 257 değerlerinin bize asal sayı verdiğini iddia etmesidir. Bugün Mersenne’in beş hata yaptığını biliyoruz. İlk olarak p = 67 ve 257 için Mer­senne sayıları bileşik sayıdır. Ayrıca listede yer almayan p = 61, 89, 107 gibi üç asal sayı da Mersenne Asalıdır.

Mersenne Asalları. Kırmızı ile işaretli olanlar Marin Mersenne tarafından önerilmiştir.

Zaman geçtikçe işin içine bilgisayarlar karıştı. Bunun sonucunda daha fazla Mersenne Asalı ortaya çıktı. Bu tür sayıların asal sayı olup olmadığını kontrol etmek için çok hızlı ve özel yön­temler ortaya kondu. Bunlardan biri Lucas-Lehmer testi olarak bilinmektedir. Bu algoritma ve bilgisayar yardımı ile büyük asal sayı avına çıkabiliriz. Şu andaki rekor bir Mersenne asalı olan 24.862.048  basamaklı  282.589.933-1 dir.

Asal sayılar ile ilgili bu noktaya kadar aktardıklarımız sadece bir ön bilgi niteliğindedir. Bu sayılar ile ilgili daha bir çok gizem çözümsüz olarak beklemektedir. Örneğin, asal sayıların sayı doğrusu boyunca nasıl dağıldığıyla ilgili olan Riemann hipotezi, herhangi bir çözümün 1 milyon dolar değerinde olduğu yedi büyük “milenyum probleminden” biridir.


Göz Atmak İsterseniz


Kaynaklar ve ileri okumalar için:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz