18. yüzyılda insanlar yalnızca kart ve zar oyunlarına değil, çok daha sıradan olaylara da bahis oynuyordu. Bunlardan biri franc-carreau adlı oyundu. Oyuncular kare taşlarla döşeli bir zemine madeni para atıyor ve paranın tamamen tek bir karenin içinde kalıp kalmayacağı üzerine iddiaya giriyordu.
Bu basit oyun, genç Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon’un ilgisini çekti. Burgonya’da doğan Buffon önce hukuk eğitimi aldı, ancak kısa süre sonra bilime yöneldi. Gençliğinde özellikle saf matematikle ilgileniyor, İsviçreli matematikçi Gabriel Cramer ile mektuplaşıyordu. 1733 yılında, 27 yaşındayken Paris’teki Kraliyet Bilimler Akademisi’ne kabul edilmek için bir çalışma sundu.
Buffon’un seçtiği konu, gezegenlerin hareketi ya da büyük fizik problemleri değildi. Franc-carreau oyununu matematiksel olarak incelemeyi seçti. Şu soruyu sordu: Bir madeni paranın tamamen tek bir karenin içinde kalma olasılığı nedir ve oyunun iki taraf için adil olması adına karelerin büyüklüğü ne olmalıdır?
Bu problemde Buffon geometri ile olasılığı aynı hesap içinde bir araya getirdi. Paranın yarıçapını ve kare taşların kenar uzunluğunu kullanarak, paranın çizgilere değmeden bir karenin içinde kalma olasılığını hesapladı. Böylece olasılık problemlerini yalnızca zarlar ve kartlarla değil, geometrik şekiller üzerinden de ele alabileceğini gösterdi.
Ancak Buffon bunun akademiye girmek için yeterince güçlü bir sonuç olmadığını düşünüyordu. Bu nedenle problemi bir adım ileri taşıdı.
Yuvarlak bir para yerine farklı biçimde bir cisim atılırsa ne olur diye sordu. Kare bir para, bir çubuk ya da bir iğne aynı zemine rastgele bırakıldığında çizgilere temas etme olasılığı nasıl değişirdi? İşte bu soru, bugün Buffon’un adıyla anılan ünlü iğne problemine dönüştü.
Buffon İğne Deneyi Nedir?
Buffon’un İğne Problemi’nde yere birbirine paralel çizgiler çizilir ve uzunluğu çizgiler arasındaki uzaklığa eşit olan bir iğne rastgele yere atılır. Soru son derece basit görünür: İğnenin çizgilerden birini kesme olasılığı nedir?
Ancak madeni para probleminden farklı olarak burada yeni bir güçlük ortaya çıkar. Buffon’un iğnesinde durum farklıdır. Madeni para probleminde yön önemli değildi. Çünkü bir daireyi hangi açıyla çevirirseniz çevirin biçimi değişmez. Ancak iğne probleminde bu simetri ortadan kalkar. Artık yalnızca iğnenin merkezinin nereye düştüğünü değil, hangi yöne baktığını da hesaba katmak gerekir.
İki uç durumu düşünelim. İğne çizgilere tamamen paralelse bir çizgiyi kesme olasılığı sıfırdır. Tam dik konumdaysa bu olasılık 1’e çıkar. Bu iki durumu ortalayıp sonucun 1/2 olduğunu düşünmek cazip gelecektir, ancak bu doğru değildir.
Buffon’un problemi şaşırtıcı bir sonuç verir. İğnenin uzunluğu çizgiler arasındaki uzaklığa eşitse, bir çizgiyi kesme olasılığı 2 / π olur. Bu da yaklaşık yüzde 64’e karşılık gelir. Peki çemberle hiçbir ilgisi yokmuş gibi görünen bu problemde π neden ortaya çıkar?
Buffon İğne Deneyi Sonucu Nedir?
Buffon bu sonuca eğriler altında kalan alanları hesaplayarak ulaştı. Ancak yaklaşık bir yüzyıl sonra Joseph-Émile Barbier aynı sonuca çok daha farklı bir yoldan ulaştı. Üstelik bunun için kalkülüse ihtiyaç duymadı.
Önce Buffon’un sorusunu biraz farklı biçimde soralım. Bir iğneyi yere attığımızda, iğnenin ortalama olarak kaç çizgiyi keseceğini merak edelim. İğne ya hiçbir çizgiyi kesmez ya da bir çizgiyi keser. Çizgiyi kesme olasılığına p diyelim.
O zaman beklenen kesişme sayısı (1 − p) × 0 + p × 1 = p olur. Yani iğnenin ortalama kesişme sayısı ile bir çizgiyi kesme olasılığı aynı değerdir.
Şimdi iğnenin çizgiler arasındaki uzaklığın iki katı kadar uzun olduğunu düşünelim. Böyle bir iğne hiçbir çizgiyi kesmeyebilir, bir çizgiyi kesebilir veya iki çizgiyi birden kesebilir.
İlk bakışta problem daha karmaşık hale gelir. Ancak uzun iğneyi ortasından iki eşit parçaya ayırırsak işler değişir. Her iki yarının uzunluğu, Buffon’un ilk iğnesinin uzunluğuna eşittir.
İlk yarının beklenen kesişme sayısı p, ikinci yarının da p olsun. Beklenen değerlerin toplanabilirliği sayesinde bütün iğnenin beklenen kesişme sayısı p + p = 2p olur.
Aynı düşünceyi üç, dört ya da yüz kat daha uzun iğnelere de uygularız. Çizgiler arasındaki uzaklığın N katı uzunluğundaki bir iğnenin beklenen kesişme sayısı N × p olur.
Buradan sonraki adımda Barbier iğneyi “büker”. Asıl güzel fikir de burada ortaya çıkar. Çünkü düz bir iğneyi parçalara ayırıp bükerek sonunda bir çember oluşturur ve π tam bu noktada ortaya çıkar. Çemberin çapını 1 kabul edersek çevresi π olur.
Daha önce ulaştığımız sonuca göre, uzunluğu N olan bir eğrinin beklenen kesişme sayısı N × p idi. Çemberin uzunluğu π olduğuna göre beklenen kesişme sayısı πp olur.
Ama çemberi paralel çizgilerin üzerine nasıl atarsak atalım, çizgiler arasındaki uzaklık çemberin çapına eşitse çember tam olarak iki çizgiyi keser. Yani beklenen kesişme sayısı da 2’dir. O halde πp = 2 ve buradan p = 2 / π sonucu çıkar.
Sonuç Olarak
Joseph-Émile Barbier, Buffon’un teoremi için geliştirdiği bu zarif kanıtı 1860 yılında yayımladı. O sırada yalnızca 21 yaşındaydı ve Paris’teki École Normale Supérieure’de öğrenciydi.
Barbier’nin yaklaşımı, Buffon’un problemini çok daha genel bir biçimde ele aldı. Artık yalnızca düz bir iğnenin değil, bükülmüş bir telin ya da herhangi bir eğrinin paralel çizgileri ortalama kaç kez keseceğini hesaplamak mümkündü.
Bu nedenle Buffon’un iğne problemi yalnızca π sayısını deneysel olarak tahmin etmenin ilginç bir yolu değildir. Aynı zamanda olasılık ile geometrinin nasıl beklenmedik biçimde birleşebileceğini gösteren çok güzel bir örnektir.
Okuma Önerimiz: Aşkın Sayılar Nedir? Matematik Aşkınlığa Nasıl Ulaştı?
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Buffon was no Buffoon. Yayınlanma tarihi: 13 Ağustos 2015. Kaynak site: Thats Math: Bağlantı: Buffon was no Buffoon
- Hwang, Chi-Ok & Kim, Yeongwon & Im, Cheolgi & Lee, Sunggeun. (2017). Buffon’s Needle Algorithm to Estimate π. Applied Mathematics. 08. 275-279. 10.4236/am.2017.83022.
- Ellenberg, Jordan. How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking. The Penguin Press, 2014.
Matematiksel
