İlginç Sayılar

Pi Sayısı Hakkında Enteresan Bilgiler

Pi sayısı, matematikte geniş bir yer tutan ve insanlık tarihinin en eski dönemlerinden bu yana merak uyandıran bir sabittir. İki bin yıldan fazla bir süre önce Mısırlıların ilk hesaplama girişimlerinden bu yana, bu sayı matematikçilerin zihninde bir yer edindi. İster milyarlarca ondalık basamağa göre hesaplayın, ister istatistik ve sayı teorisi gibi alanlarda şaşırtıcı görünümü karşısında şaşkına dönün, ister onu tanımlamak için yeni formüller türetin fark etmez.

Bilinen en eski sayının doğasını anlamak kolay değildir. Hepimizin çok iyi bildiğini düşündüğü ancak muhtemel bir şeylerin eksik kaldığı bu sayı hakkında bazı ilginç bilgiler paylaşalım. Öncelikle pi sayısı nedir sorusuna cevap verelim.

Pi Sayısı Nedir?

Bu sayının temel bir sabit olarak kabul edilmesi, çember ile olan ilişkisinden kaynaklanır. Pi, “bir çemberin çevresinin, çapına bölünmesi” ile bulunur. Bu sembol başlangıçta bir sayıyı temsil etmiyordu. Sadece bizim çevre için kullandığımız ç harfimiz gibi, Yunanca çevre manasına gelen “περίμετρον” sözcüğünün baş harfiydi. Ancak özel bir sayı olduğu o zamanlarda da çok iyi biliniyordu.

Çember şekli, biz insanların yaptığı ve kullandığı pek çok şey için çok önemli olduğundan giderek daha çok ilgi çekmeye başladı. Ama tam olarak neydi? Hala tam olarak ne olduğunu bilmiyoruz. Eğer, bu diziyi daha iyi anlayabilirsek, basamakları arasında bir kalıp bulabilirsek ya da birbiri ile ilgisi yokmuş gibi gözüken pek çok denklemde neden karşımıza çıktığını açıklayabilirsek, matematiği ve evrenin fiziğini daha temelden kavrayabiliriz .

Pi Sayısı Nasıl Hesaplanır?

Babilliler pi sayısını 3 olarak kabul ederlerdi. Matematiksel yöntemler kullanarak pi sayısının yaklaşık değerini hesaplamaya çalışan ilk kişi, Arşimet’ti. Arşimet (MÖ 287-212), çemberlerin hem dış tarafına hem de iç kısmına çokgenler çizdi. Bir çemberin içerisindeki herhangi bir çokgenin çevre uzunluğu çemberin çevre uzunluğundan kısadır. Çemberin dışına çizilen çokgenin çevre uzunluğuysa çemberinkinden fazla olmalıdır. Dolayısıyla herhangi bir çemberin içine ve dışına çokgenler çizerek çemberin çevresinin hangi aralıkta olduğunu belirlemek mümkündür. Arşimet’in hesaplara altıgenlerle başlamıştı. Giderek daha çok kenarlı çokgenler kullanarak pi sayısının değerini iki basamak kesinlikle 3,14 olarak hesaplamıştı.

Avusturyalı gökbilimci Christoph Grienberger 1630 yılında pi sayısının virgülden sonraki 38 basamağını benzer bir yöntemle hesaplamayı başardı. Grienberger’in elde ettiği değer, insan çabasıyla elde edilmiş en kesin değer olma unvanına sahiptir. Süreç içinde matematikçiler, çok sayıda ondalık basamağı doğru olarak hesaplayacak birçok farklı matematiksel seri buldular.

Pi sayısını hesaplama için kullanılabilecek serilerin en basitlerinden biri Gregory-Leibniz serisidir. Çok verimli olmasa da bu seri, her adımda pi’yi beş ondalık basamağa kadar doğru bir şekilde üretecektir. Seri şu şekildedir: π = (4/1) – (4/3) + (4/5) – (4/7) + (4/9) – (4/11) + (4/13) – (4/15) ….

Nilakantha Serisi de pi’yi hesaplamak için anlaşılması oldukça kolay olan başka bir sonsuz seridir. Biraz daha karmaşık olsa da pi’ye Leibniz formülünden çok daha hızlı yaklaşır.

Pi Sayısının Kaç Basamağını Biliyoruz?

1765 yılında Johann Lambert adlı bir Alman matematikçi π’nin irrasyonel bir sayı olduğunu kanıtladı. Yani, tam olarak bir kesir (iki tam sayının oranı) olarak ifade edilemezdi. Bunun anlamı şudur. Bu sayı ne kadar uzatılırsa uzatılsın, hiçbir ondalık ifade ona eşit olamaz. Matematikçileri büyüleyen şeylerden birisi de bu oldu. Elimizde basit bir oran vardı ancak bunun karşılığını bulmamız mümkün değildi. Bu hiç bitmeyen aşkın sayı için doğru bir değer hesaplamaya çalışmak, matematik tarihi boyunca devam eden büyük temalardan biri olmuştur.

Ondalık açılımlarının sonsuz olduğunu ve herhangi bir sonlu basamak dizisini bir noktadan sonra kesinti olmaksızın tekrarlamadığını biliyoruz. Ancak bu rakam dizisinde bazı kalıplar var mı? On rakamın tümü eşit sıklıkta mı görünüyor yoksa belirli rakamlar diğerlerinden daha sık mı karşımıza çıkıyor? Belirli rakam dizileri tahmin edilebilir bir şekilde görünüyor mu? Henüz tam olarak hangi soruların değerli olduğunu bilecek kadar bile bilmiyoruz. Yine de, böylesi bir ısrarın muhtemelen en dürüst açıklaması, bilinmeyene dair basit insan merakıdır.

Teoride, mükemmel bir daire çizerek ve dikkatlice ölçerek pi sayısını basitçe hesaplayabilirsiniz. Gerçekte ise, mümkün olduğu kadar çok ondalık basamağı hesaplayan formüllerimiz olmalıdır. Chudnovsky algoritması, bunlardan birisidir. 2021 yılında pi sayısının bildiğimiz basamak sayısı biraz daha uzadı.

108 gün ve 9 saat süren bir çalışmanın ardından İsviçreli bilim insanları Pi sayısında yeni bir rekora imza attı. Süper bilgisayarla yapılan hesaplamada virgülden sonra 62.8 trilyon rakama ulaştık. 2019 yılındaki rekorda 50 trilyon basamak hesaplanmıştı. Bu ekip ve dünya rekorunu kıran son birkaç grup, 1988’de geliştirilen Chudnovsky algoritması adı verilen özel bir formül kullandılar.

Bize Pi Sayısının Kaç Basamağı Lazım?

pi sayısı
Pi Sayısının Müziği

Matematik ve fizik derslerimizde 3.14’ün pi için yeterli olduğunu biliriz. Ancak bu yöntem ne kadar hata üretir? Pi sayısının daha fazla basamağına ne zaman ihtiyaç duyarız? Örneğin NASA hesaplamalarında pi sayısının kaç basamağını kullanıyor? Aslında, sadece birkaç ondalık basamak neredeyse tüm pratik amaçlar için yeterince iyidir.

En titiz mühendis bile yedi haneden fazlasına ihtiyaç duymaz. NASA’da çalışan bilim insanları, Uluslararası Uzay İstasyonu ile ilgili görev ve değerlendirmeleri için 3.141592653589793’ü yani pi sayısının 15 ondalık basamağı yeterlidir. Çünkü bu kadar basamak, bu uzaklıktaki bir cismin (408 km yukarıda) konumunun belirlenmesinde yeterince hassas sonuçlar veriyor.

İnsanların hayranlığı sebebiyle (ve süper bilgisayarların hızını ve duyarlılığını test etme metodu olması nedeniyle), π sayısının trilyonlarca basamağı hesaplandı. Bu kadar basamak bilmeye ihtiyacımız yok. Sadece kırk basamakla gözlemlenebilir evrenin çevresini, en fazla bir hidrojen atomunun çapı kadar hata payıyla ölçebilirsiniz!

Pi Sayısını Nasıl Ezberleriz?

Dünyada telefon numaralarının 6 ya da 8 rakamlı olmasının bir nedeni vardır. Biz insanlar büyük bilgi yığınlarını anımsamakta pek iyi değilizdir. 8 rakam anımsamakta en üst sınırdır. Bunun için de anımsamayı kolaylaştıracak teknikler üretmeye çalışırız. 1981’de Rajan Mahadevan adlı Hintli bir adam, hafızasından 31.811 basamaklı pi’yi doğru bir şekilde okudu. 1989’da Japon Hideaki Tomoyori 40.000 basamak okudu. Şu anki Guinness Dünya Rekoru, 2005 yılında 67.890 haneli pi rakamını okuyan Çinli Lu Chao’ya ait.

Guinness Dünya rekoru olarak kayda geçen bu olay 24 saat 4 dakika almıştır. Pi’i ezberlemenin farklı dillerde onlarca tekniği vardır. Ancak pi ezberlemenin rakamlarla yapılması gerekmez – aynı zamanda kelime yoluyla da yapılabilir. Biz İngilizce bir örnek verelim sizlere. Pi’nin ilk 15 basamağını ezberlemek istiyorsanız siz de bu tekniği kullanabilirsiniz.: “How I like a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.” Burada önemli olan sözcük uzunluğu: How:3, I:1, like:4 gibi…

Dünya Pi Günü Aynı Zamanda Dünya Matematik Günüdür

 Aynı gün Albert Einstein’ın doğum tarihidir. Aynı zamanda Stephen Hawking’in de ölüm günüdür.

Pi günü dünyada, ünlü matematik sabiti pi sayısı anısına özel kabul edilmiştir ve her yıl 14 Mart’ta kutlanmaktadır. Pi gününün 14 Mart’ta kutlanmasının sebebi ise Amerikan tarih formatında bu günün 3/14 olarak geçmesidir. (Mart 14). Ayrıca Unesco Pi Gününü Dünya Matematik Günü ilan etmiştir. Bu arada bazı ülkelerde 22/7 değerinden dolayı 22 Temmuz tarihinde de kutlandığını hatırlatalım. Daha fazla bilgi için organizasyonun web sitesini inceleyebilirsiniz

Pi Sayısını Evinizde Kolaylıkla Hesaplayabilirsiniz

Matematikçiler günümüzde pi sayısını hesaplamak için sonsuz serileri kullanırlar. Bu serilerin bazıları çok hızlıdır ve pi sayısına çabucak yakınsar. Bazılarıysa nazlıdır; virgülden sonraki üçüncü terimi bulmak için bile yüzlerce işlem yapmanız gerekebilir. Ancak pi’yi kendi kendinize de hesaplayabileceğiniz bir çok teknik bulunmakta. Ancak hatırlatalım, pi irrasyonel bir sayı olduğundan bu yöntemlerin hiç biri onun tam değerini veremez. İncelemek isterseniz Pi’yi Hesaplamanın Aptalca Yolları adlı yazımıza da göz atabilirsiniz…



Kaynaklar ve ileri okumalar için.

Matematiksel

Bir Yorum

  1. Bu sayfanın linkini nasıl alacağım? Yetkili biri veya bilen bir kişi yardım edebilir mi?

Başa dön tuşu