Pi sayısı, matematikte geniş bir yer tutan ve insanlık tarihinin en eski dönemlerinden bu yana merak uyandıran bir sabittir. Bilinen en eski sayının doğasını anlamak kolay değildir. Hepimizin çok iyi bildiğini düşündüğü ancak muhtemel bir şeylerin eksik kaldığı bu sayı hakkında bazı ilginç bilgiler paylaşalım.
Öncelikle pi sayısı nedir sorusuna cevap verelim. Sonrasında da bunca yıldır matematikçilerin neden bu sayıdan büyülendiğini anlamaya çalışalım. Pi sayısı gibi bir kavramı tek bir yazıda ele almamız mümkün olmadığı için detaylı okumaları bağlantıları okuyarak edinmenizi öneririz. Hazırsanız başlayalım.
Pi Sayısı Nedir?
Bir çemberin çevresinin çapına oranını pi sayısı olarak bilinmektedir. Temelinde çember ile ilişkili herhangi bir doğal fenomen, kaçınılmaz olarak bu sabiti de içerir. Bununla birlikte, pi sayısı çember ile daha az ilişkili yerlerde de karşımıza çıkar. Örneğin, bir sarkacın hareketini, bir ipin titreşimini veya bir nehrin dolambaçlı desenlerini tanımlayan denklemlerde de pi sayısı vardır.
Bu sembol başlangıçta bir sayıyı temsil etmiyordu. Sadece bizim çevre için kullandığımız ç harfimiz gibi, Yunanca çevre manasına gelen “περίμετρον” sözcüğünün baş harfiydi. Ancak özel bir sayı olduğu o zamanlarda da çok iyi bilinmekteydi. Pi sayısının sembolü ise 1706’da William Jones adında bir matematikçi tarafından tanıtılmıştır.
1765 yılında Johann Lambert adlı bir Alman matematikçi pi sayısının irrasyonel bir sayı olduğunu kanıtladı. Yani, tam olarak bir kesir (iki tam sayının oranı) olarak ifade edilemezdi. Bunun anlamı ise şuydu. Sonucunda bu sayı ne kadar uzatılırsa uzatılsın, hiçbir ondalık ifade ona eşit olamazdı. Matematikçileri büyüleyen şey aslında bu olacaktı.
Örneği pi sayısının ondalık açılımında bazı kalıplar var mı? Her rakam eşit sıklıkla mı karşımıza çıkıyor? Yoksa bazı rakamlar diğerlerinden daha çok tekrarlıyor mu? Matematikçilerin peşinde olduğu sorular bu ve buna benzerdir. Bu nedenle de pi sayısını hesaplamaya çalışmak, matematik tarihi boyunca devam eden büyük temalardan biri olmuştur.
Pi sayısını biraz daha özel kılan ise transendental yani aşkın sayı olmasıdır. Gerçek sayılar iki kümeye ayrılır: cebirsel sayılar ve aşkın sayılar. Belirli bir sayının cebirsel mi yoksa aşkın mı olduğunu söylemek ise kolay bir iş değildir.
En ünlü iki irrasyonel sayı hepimizin bildiği pi sayısı ve e sayısıdır. Her ikisinin de aşkın olduğu bilinmektedir. π ‘nin cebirsel olmadığını ispatlaması √π sayısının asla elde edilemeyeceğini açıkça ortaya koymuştur. Detaylar için: Aşkın Sayılar Nedir? Hangi Sayılar Aşkın Olarak Kabul Edilir?
Pi Sayısı Nasıl Hesaplanır?
Matematiksel yöntemler kullanarak pi sayısının yaklaşık değerini hesaplamaya çalışan ilk kişi Arşimet’ti (MÖ 287-212). Arşimet adını kaldıraçlar, makaralar, gemi parçalayan düzenekler ve Arşimet vidasını icat etmesi aracılığı ile duymuş olabilirsiniz. Ancak aslında kendisi çemberler ve küreler üzerine de çok kafa yormuştur.
Arşimet , çemberlerin hem dış tarafına hem de iç kısmına çokgenler çizdi. Bir çemberin içerisindeki herhangi bir çokgenin çevre uzunluğu çemberin çevre uzunluğundan kısadır. Çemberin dışına çizilen çokgenin çevre uzunluğuysa çemberinkinden fazla olmalıdır.
Dolayısıyla herhangi bir çemberin içine ve dışına çokgenler çizerek çemberin çevresinin hangi aralıkta olduğunu belirlemek mümkündür. Arşimet’in hesaplara altıgenlerle başlamıştı. Sonrasında kenarları her seferinde ikiye bölerek kendine yeni sınırlar belirledi. Aynı çalışmayı 12 kenarlı, 24 kenarlı, 48 kenarlı ve en son olarak 96 kenarlı düzgün şekiller ile tekrarladı.
Bu sayede her seferinde çemberin çevresine yani pi sayısına daha çok yaklaşıyordu. Arşimet en sonunda pi sayısının 223/71’den daha büyük ancak 22/7’den daha küçük olması gerektiğini söyledi. Gerçekten de günümüzde hesapladığımız pi değeri bu iki kesir arasında bir yerlerde bulunmaktadır. Detaylar için: Arşimet’in Pi Sayısını Hesaplamak İçin Kullandığı Güzel Ve Basit Yöntem
Modern Yaklaşımlar İle Pi Sayısı Günümüzde Daha Hızlı Biçimde Hesaplanır
Avusturyalı gökbilimci Christoph Grienberger 1630 yılında pi sayısının virgülden sonraki 38 basamağını Arşimet’e benzer bir yöntemle hesaplamayı başardı. Süreç içinde matematikçiler, çok sayıda ondalık basamağı doğru olarak hesaplayacak birçok farklı matematiksel seri buldular.
Pi sayısını hesaplama için kullanılan serilerin en basitlerinden biri Gregory-Leibniz serisidir. Çok verimli olmasa da bu seri, her adımda pi’yi beş ondalık basamağa kadar doğru bir şekilde üretecektir. Seri şu şekildedir: π = (4/1) – (4/3) + (4/5) – (4/7) + (4/9) – (4/11) + (4/13) – (4/15) ….
Nilakantha Serisi de pi’yi hesaplamak için anlaşılması oldukça kolay olan başka bir sonsuz seridir. Biraz daha karmaşık olsa da pi’ye Leibniz formülünden çok daha hızlı yaklaşır.
Ramanujan da pi sayısının yaklaşık değerlerini hesaplamak için de yüzlerce formül geliştirmişti. Örneğin aşağıdaki ilk formülün her terimi, pi sayısının 8 yeni basamağını hesaplamamızı sağlar. Bu sayede 1985 yılında pi sayısının 17 milyon basamağını hesaplamak mümkün oldu.
Kaç Basamağını Biliyoruz?
Teoride, mükemmel bir çember çizerek ve dikkatlice ölçerek pi sayısını basitçe hesaplayabilirsiniz. Gerçekte ise, mümkün olduğu kadar çok ondalık basamağı hesaplayan formüllerimiz olmalıdır. Chudnovsky algoritması, bunlardan birisidir.
2021 yılında 108 gün ve 9 saat süren bir çalışmanın ardından İsviçreli bilim insanları Pi sayısında yeni bir rekora imza attı. Süper bilgisayarla yapılan hesaplamada virgülden sonra 62.8 trilyon rakama ulaştık. Bu ekip ve dünya rekorunu kıran son birkaç grup, 1988’de geliştirilen Chudnovsky algoritması adı verilen özel bir formül kullandılar. ( Detaylar için: Chudnovsky Kardeşler: Pi Sayısının Peşinde Geçen Bir Yaşam)
Bize Pi Sayısının Kaç Basamağı Lazım?
Matematik ve fizik derslerimizde 3.14’ün pi için yeterli olduğunu biliriz. Ancak bu yöntem ne kadar hata üretir? Pi sayısının daha fazla basamağına ne zaman ihtiyaç duyarız? Örneğin NASA hesaplamalarında pi sayısının kaç basamağını kullanıyor?
Aslında, sadece birkaç ondalık basamak neredeyse tüm pratik amaçlar için yeterince iyidir. NASA’da çalışan bilim insanları için ise, Uluslararası Uzay İstasyonu ile ilgili görev ve değerlendirmeleri için 3.141592653589793’ü yani pi sayısının 15 ondalık basamağı yeterlidir. Çünkü bu kadar basamak, bu uzaklıktaki bir cismin (408 km yukarıda) konumunun belirlenmesinde yeterince hassas sonuçlar vermektedir.
İnsanların hayranlığı sebebiyle (ve süper bilgisayarların hızını ve duyarlılığını test etme metodu olması nedeniyle), π sayısının trilyonlarca basamağı hesaplandı. Bu kadar basamak bilmeye ihtiyacımız yok. Sadece kırk basamakla gözlemlenebilir evrenin çevresini, en fazla bir hidrojen atomunun çapı kadar hata payıyla ölçebilirsiniz!
Pi Sayısını Nasıl Ezberleriz?
Şu anki Guinness Dünya Rekoru, 2005 yılında 67 890 haneli pi rakamını okuyan Çinli Lu Chao’ya ait.Bu olay 24 saat 4 dakika almıştır. Pi’i ezberlemenin farklı dillerde onlarca tekniği vardır. Ancak pi ezberlemenin rakamlarla yapılması gerekmez – aynı zamanda kelime yoluyla da yapılabilir.
Biz İngilizce bir örnek verelim sizlere. Pi’nin ilk 15 basamağını ezberlemek istiyorsanız siz de bu tekniği kullanabilirsiniz. “How I like a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.” Burada önemli olan sözcük uzunluğu: How:3, I:1, like:4 gibi…
Pi sayısı ezberleyicileri genellikle loci yöntemi olarak bilinen bir strateji de kullanırlar. Sonucunda zihnimizde oluşturacağımız hikayeler ile bilgiyi ilişkilendirirsek, bilginin hatırlanması o kadar kolay olur. Bu teknik ile ilgili daha fazla bilgiyi bu yazımızdan okuyabilirsiniz. Hafıza Sarayı (Loci Metodu) Belleğinizi Nasıl Geliştirebilir?
Dünya Pi Günü Aynı Zamanda Dünya Matematik Günüdür
Pi günü dünyada, ünlü matematik sabiti pi sayısı anısına özel kabul edilmiştir ve her yıl 14 Mart’ta kutlanmaktadır. Pi gününün 14 Mart’ta kutlanmasının sebebi ise Amerikan tarih formatında bu günün 3/14 olarak geçmesidir. (Mart 14).
Ayrıca Unesco Pi Gününü Dünya Matematik Günü ilan etmiştir. Bu arada bazı ülkelerde 22/7 değerinden dolayı 22 Temmuz tarihinde de kutlandığını hatırlatalım. 14 Mart Albert Einstein’ın doğum tarihidir. Aynı zamanda Stephen Hawking’in de vefat ettiği gündür.
Pi Sayısını Evinizde Kolaylıkla Hesaplayabilirsiniz
Matematikçiler günümüzde pi sayısını hesaplamak için sonsuz serileri kullanırlar. Bu serilerin bazıları çok hızlıdır ve pi sayısına çabucak yakınsar. Bazılarıysa nazlıdır; virgülden sonraki üçüncü terimi bulmak için bile yüzlerce işlem yapmanız gerekebilir.
Ancak pi’yi kendi kendinize de hesaplayabileceğiniz bir çok teknik bulunmakta. Ancak hatırlatalım, pi irrasyonel bir sayı olduğundan bu yöntemlerin hiç biri onun tam değerini veremez.
Örneğin bu yazımızda topları birbiri ile çarpıştırarak pi sayısını nasıl hesaplanacağını göstermiştik. Çarpışan Toplar Yardımıyla Pi Sayısı Nasıl Hesaplanır? Ayrıca bu yazımızda da sınıflarda öğrenciler veya çocuklarınız ile uygulayabileceğiniz başka yöntemlere de erişebilirsiniz: Pi Sayısını Hesaplamak İçin Eğlenceli Ve İlginç Öneriler
Pi sayısı ile ilgili daha fazla şey görmek isterseniz aşağıdaki videoya göz atabilirsiniz. Arka planda dinleyeceğiniz müzik ise pi sayısını 12 lik tabana uygulayan Jim Zamerski tarafından bestelenmiştir. İyi seyirler.
Kaynaklar ve ileri okumalar için.
- The Key Facts Behind the Number That Captivated the World for Over 4,000 Years. Yayınlanma tarihi: 14 Mart 2018; Bağlantı: https://interestingengineering.com/
- Pi, Anyone? The Secret to Memorizing Tens of Thousands of Digits. Yayınlanma tarihi: 13 Mart 2015; Bağlantı: https://www.livescience.com/
- A Supercomputer Just Calculated Pi to a Record-Breaking 62.8 Trillion Digits. So What?; yayınlanma tarihi: 10 Ağustos 2021; Bağlantı: https://www.popularmechanics.com/
- Happy International Pi Day. Here Are 11 Intriguing Facts about Pi; Yayınlanma tarihi: 14 Mart 2020; Bağlantı: https://interestingengineering.com
Matematiksel
Bu sayfanın linkini nasıl alacağım? Yetkili biri veya bilen bir kişi yardım edebilir mi?