1886’da matematikçi Leopold Kronecker ünlü bir sözü vardır. “Tam sayıları Tanrı yarattı, geri kalan her şey insan yapımıdır.” Gerçekten de matematikçiler, sayma için kullandığımız sayıların ötesinde yeni sayı kümeleri tanımlamış ve bunların özelliklerini anlamak için büyük çaba harcamıştır. Bunlardan birisi de aşkın sayılardır.
Her sayı türünün kendine özgü ve zaman zaman karmaşık bir geçmişi vardır. Tam sayılar, doğal sayılar ile negatif tam sayıları ve sıfırı kapsar. Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak yazılabilen sayılardır. Bu sayıların ondalık gösterimi ya sonlu olur ya da bir noktadan sonra düzenli biçimde tekrar eder.
Ondalık basamakları sonsuza kadar sürdüğü hâlde hiçbir düzenli tekrar göstermeyen sayılara irrasyonel sayılar denir. Rasyonel ve irrasyonel sayılar birlikte gerçel sayıları oluşturur. Daha ileri düzeyde, gerçel sayılar ile sanal sayıların birleşiminden oluşan karmaşık sayılar ile tanışırız. Peki ya aşkın sayılar?
Bu sayılar hem çoktur hem de bulunmaları son derece zordur. Tarihleri, matematikçileri binlerce yıl uğraştıran ünlü bir soruyla iç içe geçer: Sadece pergel ve cetvel kullanarak, verilen bir daireyle aynı alana sahip bir kare çizmek mümkün müdür?
“Çemberin karelenmesi” adı verilen bu problem, ancak cebirin gelişmesi ve π sayısının, yani bir çemberin çevresinin çapına oranının daha iyi anlaşılmasıyla çözülebilmiştir.
Cebirsel ve Aşkın Sayılar Nedir?
Sadece pergel ve cetvelle yapılan klasik geometrik çizimlerde başlangıç noktası birim uzunlukta bir doğru parçasıdır. Bu temel uzunluktan yola çıkarak her pozitif rasyonel uzunluğu inşa etmek mümkündür. Bununla sınırlı kalınmaz; bazı irrasyonel uzunluklar da elde edilebilir. Örneğin √2 böyle bir uzunluktur.
Yunanların ortaya attığı dairenin karelenmesi probleminden yaklaşık iki bin yıl sonra René Descartes, 1637’de hangi uzunlukları inşa edebileceğimizi açıkladı. Bir uzunluğu, tam sayılarla birlikte toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve karekök alma işlemlerini kullanarak ifade edebiliyorsak pergel ve cetvelle çizeriz.
Eğer π sayısı da bu biçimde yazılabilseydi daireyle aynı alana sahip bir kare çizmek mümkün olurdu. Ancak π bu tür sayılardan biri değildir.
Sonraki iki yüzyılda cebir önemli ölçüde gelişti. 1837’de Fransız matematikçi Pierre Wantzel, pergel ve cetvelle çizilebilen uzunluklarla polinom denklemleri arasında açık bir bağ kurdu. Wantzel, bir uzunluğu inşa edebiliyorsak bu uzunluğun belirli türde bir polinomun kökü olması gerektiğini gösterdi. Bu denklemin derecesi, yani en büyük üs, 2’nin bir kuvveti olmalıdır.
Örneğin √2 sayısını inşa etmek mümkündür. Çünkü √2, x² − 2 = 0 denkleminin köküdür. Buna karşılık ³√2 sayısı x³ − 2 = 0 denkleminin köküdür ve bu polinomun derecesi 3 olduğu için bu uzunluğu pergel ve cetvelle inşa edemeyiz.
Wantzel bu sonuçları kullanarak bazı klasik problemleri de çözdü. Ancak π sayısının tam doğası henüz bilinmediği için çemberin karelenmesi problemi çözümsüz kaldı.
Sorunun çözümünde ana fikir, sayıları iki gruba ayırmaktır. Bir polinom denkleminin, katsayıları tam sayılar olan bir denklemin kökü olan sayılara cebirsel sayılar denir. Ancak her sayı bu özelliği taşımaz. Böyle bir denklemin kökü olmayan sayılara aşkın sayılar adı verilir.
Her rasyonel sayı cebirseldir. Bazı irrasyonel sayılar da cebirseldir; √2 buna örnektir. Sanal birim i bile cebirseldir, çünkü x² + 1 = 0 denkleminin köküdür.
Aşkın Sayılar İçin Genel Bir Çözüm Bulma Uğraşı
Aşkın sayıların varlığını başta kimse açıkça bilmiyordu. Üstelik bir sayının aşkın olduğunu göstermek kolay iş değildi. Çünkü bunun için o sayının, katsayıları tam sayılar olan hiçbir polinom denkleminin kökü olmadığını kanıtlamak gerekir.
1844’te Joseph Liouville soruna dolaylı bir yoldan yaklaştı ve ilk açık aşkın sayı örneğini verdi. Cebirsel irrasyonel sayıların kesirlerle çok iyi biçimde yaklaştırılamayacağını gösterdi. Bu nedenle küçük paydalı kesirlerle olağanüstü iyi yaklaştırılabilen bir sayı bulursa, bu sayı cebirsel olamazdı; yani aşkın olmak zorundaydı.
Dönüm noktası 1873’te geldi. Charles Hermite e sayısının aşkın olduğunu kanıtlayan özgün bir yöntem geliştirdi. Bu, yapay olarak üretilmemiş ilk aşkın sayı örneğiydi. Dokuz yıl sonra Ferdinand von Lindemann Hermite’in yöntemini genişletti ve π sayısının da aşkın olduğunu gösterdi. Bu nedenle uzunluğu π olan bir doğru parçasını pergel ve cetvelle inşa edemeyiz; dolayısıyla dairenin karelenmesi imkânsızdır.
Lindemann’ın sonucu bir hikâyenin sonu gibi görünse de aşkın sayılar kuramının sadece başlangıç aşamalarından biriydi. Georg Cantor, e sayısının aşkınlığının kanıtlanmasından kısa süre sonra sonsuzluğun farklı büyüklükleri olduğunu gösterdi.
Rasyonel sayılar ile tam sayıların oluşturduğu kümeler aynı büyüklükte, yani sayılabilir sonsuzdur. Buna karşılık gerçel ve irrasyonel sayılar daha büyük, sayılamaz bir sonsuzluk oluşturur. Cantor ayrıca cebirsel sayıların kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtladı. Bu durumda geri kalan aşkın sayılar sayılamazdır. Başka bir deyişle, gerçel ve karmaşık sayıların büyük çoğunluğu aşkındır.
Buna rağmen 20. yüzyılın başına kadar bilinen somut aşkın sayı sayısı çok azdı. 1900’de David Hilbert matematiğin en önemli 23 açık problemini açıkladı. Yedinci problem, a sıfırdan ve 1’den farklı cebirsel bir sayı ve b cebirsel irrasyonel bir sayı olduğunda ab’nin aşkın olduğunu kanıtlamayı hedefliyordu.
Sonuç Olarak
1929’da Aleksandr Gelfond, Hilbert’in yedinci probleminin önemli bir bölümünü çözdü ve belirli durumlarda ab’nin aşkın olduğunu kanıtladı. Bu sonuçtan e π’nin de aşkın olduğu çıkar. Kısa süre sonra Theodor Schneider ile birlikte problemi çözdü. Böylece, a cebirsel (0 ve 1’den farklı), b ise cebirsel irrasyonel olduğunda a b’nin aşkın olduğu anlaşıldı. Bu nedenle 2 √2 aşkındır.
1960’larda Alan Baker bu sonuçları genişletti ve cebirsel ile aşkın sayıların yapısını daha iyi anlamamızı sağladı. Buna rağmen aşkın sayılarla ilgili birçok soru hâlâ açıktır. Mesela e + π, π π ve π e gibi sayıların durumu bugün bile bilinmemektedir.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- How Math Achieved Transcendence. Yayınlanma tarihi: 28 Haziran 2023; Bağlantı: Kaynak site: Quanta magazine. How Math Achieved Transcendence/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
