Sayılar Teorisi

Sayılar Yolculuğunda Son Durak: Aşkın Sayılar

Doğal sayılar, tam sayılar gibi aşkın sayılar da tam ortada durdular yıllarca. İnsanlık eninde sonunda onunla karşılaşmak zorunda kaldı.

Cebirsel olmayan sayılara aşkın sayılar denir. Ancak aşkın sayıların ne olduğunu anlayabilmek için hikayeye en baştan başlamak gerekir. Bu hikayedeki en tanıdık figür saymanın ne demek olduğunu bilmezken bile belki sezgisel olarak onları tanıdığımız doğal sayılardır. Doğal sayılar, 0 sayısından başlayıp 1’er artarak sonsuza kadar gidiyorlar. Sonsuza kadar gitmeleri evet korkutucu ama güzel tarafları 1’er artmaları. Bu sayede yıldızları ambardaki buğdayları iki elin parmağıyla sayılabilecek gerekli gereksiz her şeyi bazen tekrar tekrar sayabiliyoruz. Çok işe yarıyor. Ama tarih çizgisi bizi ticaretle tanıştırdığında yetmeyecekler.

doğal sayılar

Ticaret demek biraz da paranın yetmemesi demek yani borç demek. Halbuki doğal sayılarımız bize borçları ifade edecek bir matematiksel sembol vermiyordu. Tam sayılar bu sorunu çözecekti, negatif sonsuzdan başlayıp yine birer birer artarak gidecekti.

tam sayılar sayı doğrusu

Ama içinde sonsuz sayı barındıran bu sayı ailesi bakkala yarım kilo şeker almaya gitseniz sizi yarı yolda bırakacaktı. Bu sorunu çözecek sayılar da a/b şeklinde yazılabilen rasyonel sayılar olacaktı. Rasyonel sayıların oldukça kapsayıcı bir sayı ailesi oldukları düşünülebilir. Zira 3 sayısı 3/1 olarak yazılabildiği için ve -3 sayısı da -3/1 olarak ifade edilebildiği için doğal sayı ve her tam sayı bir rasyonel sayı aynı zamanda.

rasyonel sayılar

Onlar da eklendiğinde sayı doğrumuz çok daha zenginleşti. Bütün sayı doğrumuz dolmuş gibi görünebilir. Ama bu gerçek değil rasyonel sayıların sayı doğrusunda kapladığı kısım boşluklardan hala daha az. Öğrencilik döneminde genel olarak ortaokulun son yıllarında karşılaştığımız sayı ailesi ortalığı gerçek anlamda karıştıracaktı.

İrrasyonel Sayılar

Burada işler karışıyor zira bu sayıların en temel özelliği a/b şeklinde ifade edilemez oluşlarıydı. Pek çok büyük matematik ekolü onların varlığını uzun süre reddetmişti. Pisagor ekolü bu sayıların bilinen en büyük düşmanıydı. Hatta büyük matematikçi Pisagor’un öğrencisi Hippasus bu sayıların varlığı konusundaki ısrarıyla canından olmuştu. Bu sayılar genellikle geometrik gereklilik durumlarında ortaya çıkıyordu. Örneğin birim karenin köşegeni √2, örneğin çok meşhur bir oran olan phi sayısı yani altın oran. Kesir biçiminde ifade edilemiyorlardı ve virgülden sonra sonsuza değin hiç devretmeden gidiyorlardı. Sayı doğrusunda bir yerlere yerleşmeleri gerektiğini biliyorduk. Ama bu kolay değildi. √2 sayısının sayı doğrusundaki yerleşimini aşağıdaki gibidir.

irrasyonel sayılar

Onlarında sayı doğrusuna eklenmesi ile sayı doğrumuz doldu. Rasyonel ve İrrasyonel tüm sayıları içinde barındıran sayı kümesine Reel Sayılar diyoruz. Bütün sayıların kümesi. Sayı doğrusunun mümkün olan en dolu hali. Ancak sayı ailesinin bu denli genişlediği matematikte yeni bir kavram ortaya çıkmıştı.

Cebirsel Sayılar

Katsayısı rasyonel sayı olan bir polinomun kökü (çözümü) olan sayılara bir cebirsel sayı adı verildi. Örneğin x-3=0 denkleminin kökü olan 3 bir cebirsel sayıdır. (Tüm tam sayılar ve doğal sayılar birer cebirsel sayıdır.)
Örneğin 2x=1 ifadesinin çözümü olan 1/2 bir cebirsel sayıdır. (Tüm rasyonel sayılar da cebirsel sayılardır.) Cebirsel sayı olan irrasyonel ifadeler de vardır zira √2 sayısı x2-2=0 polinomunun köküdür. Tüm rasyonel sayıların ve bir takım irrasyonel sayıların cebirsel sayılar olduğunu gördükten sonra akla bir soru geliyor. Cebirsel olmayan sayılar var mı? Sorunun yanıtı evet…

Aşkın Sayılar

Cebirsel olmayan sayılara aşkın sayı denilecekti. Yani herhangi bir rasyonel katsayılı polinomun kökü olmayan sayılara. Bu sayıların varlığını ispatlamak varlığını sezinlemekten daha zor oldu. Ancak 1844’de Joseph Liouville aşkın sayıların karakteristik özellikleri üzerine verdiği temel bir teorem ile Liouville sabiti adını verdiği bir sayı yardımıyla aşkın sayıların varlığını ortaya koydu. Görüntüsü hoşunuza gitmeyebilir ama insanlık tarihinin ilk aşkın sayısı bu sayıydı.

Peki bu sayıları bu kadar önemli yapan şey neydi? 1873’de Charles Hermite e sayısının aşkın sayı olduğunu ispatlayacaktı. Ama esas büyük olayı Alman matematikçi Ferdinand von Lindeman yapacaktı. Pi sayısının bir aşkın sayı olduğunu ispatlayacaktı. Bu size öyle basit gelmesin. Lindeman bunu yaptığında tarihin bilinen en eski matematik problemini de çözmüş oluyordu. Çemberi karelemek! π ‘nin cebirsel olmadığını ispatlıyor ve √π sayısının asla elde edilemeyeceğini açıkça ortaya koyuyordu. Geometrik yöntemlerle çözümü aranan bir problemi bambaşka bir bakış açısıyla çözüme kavuşturmuş oluyordu.

Matematik de hayatın kendisi gibidir, bazen çözüm hiç beklenmedik şekilde açılan başka bir kapıdan gelir. Sevgiler.

Hasan Hüseyin Akis

Kaynakça:
1) Cebir Dersleri- H. İbrahim Karakaş
2)Aşkın Sayılar Üzerine- Aytek Erdil
3)Yapılamayan Çizimler- Hasan Hüseyin Akis-Oktay Cesur(Bitirme Tezi)
4) Transcendental Numbers; https://brilliant.org/

Matematiksel

Hasan Huseyin Akis

Kendimi bildim bileli bir sorunu çözmek durumunda kalıyorum ve ya düzenli olarak çözülmesi gereken problemler yaratıyorum. Sanırım matematikte beni büyüleyen şey de bu. bir çözüm bulma çabası... Öyle ki bu çözüm bulma çabası çoğu kez anlamsız bir çabaya dönüşüyor. Bir çözümü gerçekten bulmak çoğu zaman bir insan ömrüne sığmıyor. Ama matematik o arada hiç durmadan aramaya devam ediyor. Bana öyle geliyor ki matematik insanoğlunun dünyada karşı karşıya kaldığı tüm problemleri çözme çabasının tamamını temsil ediyor hem de tüm yönleriyle. Beni matematiğin içine sokan da, matematikte görmüş olduğum o bizi aşan güzellik de sanırım matematiğin bu yönüyle ilgili... Matematiğin bu yönünü belki diğer insanlara anlatabilirim ve diğer insanların da matematiği benim gördüğüm haliyle görebilmelerini sağlayabilirim umuduyla buradayım. Bunun dışında İzmir'in Ödemiş ilçesinde doğup Matematik Bölümünü Çanakkale'de okumuş olmak gibi bir özgeçmişim var. Halen Çanakkale'de yaşıyorum, bir özel okulda Matematik Öğretmeni olarak çalışıyorum.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.