Sayılar Yolculuğunda Son Durak: Aşkın Sayılar

Doğal sayılar, tam sayılar gibi aşkın sayılar da tam ortada durdular yıllarca. İnsanlık eninde sonunda onunla karşılaşmak zorunda kaldı.

Cebirsel olmayan sayılara aşkın sayılar (Transcendental numbers) denir. Ancak aşkın sayıların ne olduğunu anlamak için hikayeye en baştan başlamak gerekir. Bu hikayedeki en tanıdık figür saymanın ne demek olduğunu bilmezken bile belki sezgisel olarak onları tanıdığımız doğal sayılardır. Doğal sayılar, 0 sayısından başlayıp 1’er artarak sonsuza kadar gidiyorlar. Sonsuza kadar gitmeleri evet korkutucu ama güzel tarafları 1’er artmaları. Bu sayede yıldızları ambardaki buğdayları iki elin parmağıyla sayılabilecek gerekli gereksiz her şeyi bazen tekrar tekrar sayabiliyoruz. Çok işe yaradıkları kesin olsa da işin içine ticaret girdiği zaman yeterli gelmezler.

Ticaret demek biraz da paranın yetmemesi demek yani borç demek. Halbuki doğal sayılarımız bize borçları ifade edecek bir matematiksel sembol vermez. Tam sayılar ise bu sorunu çözer. Bu sayede negatif sonsuzdan başlayıp yine birer birer artarak saymaya devam edebiliriz. Ama içinde sonsuz sayı barındıran bu sayı ailesi bakkala yarım kilo şeker almaya giderseniz sizi yarı yolda bırakır. Bu sorunu çözecek sayılar da a/b şeklinde yazılabilen rasyonel sayılar olacaktır. Rasyonel sayılar kapsayıcı bir sayı ailesidir. Zira 3 sayısı 3/1 olarak ve -3 sayısı da -3/1 olarak ifade edilebildiği için doğal sayı ve her tam sayı aynı zaman da bir rasyonel sayıdır.

rasyonel sayılar

Onlar da eklendiğinde sayı doğrumuz dolmuş gibi görünebilir. Ama bu gerçek değil. Rasyonel sayıların sayı doğrusunda kapladığı kısım boşluklardan hala daha az. Öğrencilik döneminde genel olarak ortaokulun son yıllarında karşılaştığımız sayı ailesi olan irrasyonel sayılar ile sayı ailemiz karışmaya başlar. Bunun nedeni bu sayıların a/b şeklinde ifade edilemez oluşları ve ondalık biçimde yazıldıklarında, virgülden sonra sonsuza değin hiç devretmeden devam etmeleridir.

Reel Sayıların Tanımlanması İle Sayı Doğrumuz Bugünkü Halini Aldı

irrasyonel sayılar
Pek çok büyük matematik ekolü onların varlığını uzun süre reddetmişti. Pisagor ekolü bu sayıların bilinen en büyük düşmanıydı. Hatta büyük matematikçi Pisagor’un öğrencisi Hippasus bu sayıların varlığı konusundaki ısrarı nedeniyle canından olduğu rivayet edilir. Sayı doğrusunda bir yerlere yerleşmeleri gerektiğini biliyorduk. Ama bu kolay değildi. √2 sayısının sayı doğrusundaki yerleşimi bu biçimde olur.

Onlarında sayı doğrusuna eklenmesi ile sayı doğrumuz doldu. Rasyonel ve İrrasyonel tüm sayıları içinde barındıran sayı kümesine Reel Sayılar diyoruz. Bütün sayıların kümesi. Sayı doğrusunun mümkün olan en dolu hali. Ancak sayı ailesinin bu denli genişlediği matematikte yeni bir kavram ortaya çıkmıştı.

Katsayısı rasyonel sayı olan bir polinomun kökü (çözümü) olan sayılara bir cebirsel sayı adı verildi. Örneğin x-3=0 denkleminin kökü olan 3 bir cebirsel sayıdır. (Tüm tam sayılar ve doğal sayılar birer cebirsel sayıdır.)
Örneğin 2x=1 ifadesinin çözümü olan 1/2 bir cebirsel sayıdır. (Tüm rasyonel sayılar da cebirsel sayılardır.) Cebirsel sayı olan irrasyonel ifadeler de vardır zira √2 sayısı x2-2=0 polinomunun köküdür. Tüm rasyonel sayıların ve bir takım irrasyonel sayıların cebirsel sayılar olduğunu gördükten sonra akla bir soru geliyor. Cebirsel olmayan sayılar var mı? Sorunun yanıtı cebirsel olmayan sayılar yani aşkın sayılardı.

Aşkın Sayılar Nedir?

Gerçek sayılar iki kümeye ayrılır: cebirsel sayılar ve aşkın sayılar. Belirli bir sayının cebirsel mi yoksa aşkın mı olduğunu söylemek ise kolay bir iş değildir. En ünlü iki irrasyonel sayı hepimizin bildiği pi sayısı ve e sayısıdır. Her ikisinin de aşkın olduğu bilinmektedir. Buna rağmen π + e ile π x e sayılarının aşkın olup olmadığını bilmiyoruz. Ancak ilginç bir biçimde eπ sayısının aşkın olduğunu biliyoruz.

Cebirsel ve aşkın sayılar kavramları ilk kez 18. yüzyılda Leonhard Euler tarafından tanımlanmış olmasına rağmen, 1882 yılında Alman matematikçi Ferdinand von Lindemann pi sayısının aşkın bir sayı olduğunu kanıtlayana kadar matematikçilerin fazla ilgisini çekmemişti. Bu size öyle basit gelmesin. Lindeman bunu yaptığında tarihin bilinen en eski matematik problemini de çözmüş oluyordu. Çemberi karelemek! π ‘nin cebirsel olmadığını ispatlaması √π sayısının asla elde edilemeyeceğini açıkça ortaya koyuyordu.

Aşkın Sayılar İçin Genel Bir Çözüm Bulma Uğraşı

Zaman içinde matematikçiler daha çok aşkın sayı arayışı içine girdiler. Bunun için yeni bir yaklaşım biçimine ihtiyaç vardı. Alman matematikçi David Hilbert, 1900’deki Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nde önümüzdeki yıllarda matematikçiler tarafından ele alınması gerektiğini düşündüğü problemler listesini sunduğunda bu ihtiyacı dikkate aldı. Aşkın sayıları oluşturmak için bir yöntem bulmak bu listedeki yedinci problemdi. Hilbert’in bu yedinci sorunun nasıl çözülebileceğine dair bir varsayımı vardı. a’nın bir cebirsel sayı olduğunu (0 ve 1 hariç) ve b’nin irrasyonel bir cebirsel sayı olduğunu varsayalım. Euler tarafından yapılan benzer bir varsayımdan yola çıkarak Hilbert bu durumda ab‘nin zorunlu olarak aşkın bir sayı olduğu varsayımında bulundu.

Aleksandr Osipovich Gelʹfond sadece1966’da memleketi Moskova’da düzenlenen matematikçiler kongresine katılabildi

Yedinci soru, bunun kesin bir kanıtını bulmaktı. Doğru olduğu kanıtlanabilseydi, örneğin 2 √2 sayısı 2 ya da ‘nin ne de √2 aşkın olmadığı halde aşkın olurdu. Böylece matematikçiler, daha fazla aşkın sayılar elde edebilirdi. Sonunda yedinci problemin kesin bir kanıtını sunan kişi Rus matematikçi Aleksandr Osipovich Gelʹfond oldu. Kendisi 2 √2 sayısının aşkın bir sayı olduğunu kanıtladı. 1934’te tam bir çözüm yayınladı.

Böylesine önemli bir varsayımın ispatı, normalde yazarının uluslararası matematikte merkezi bir aşamaya gelmesini sağlamalıydı ama olmadı. Savaş zamanlarıydı ve Gel’fond da dahil olmak üzere SSCB’den matematikçilerin seyahat izinleri yoktu. Matematikçiler, çözümün yazar tarafından bir karatahtada sunulduğunu görmek yerine okumakla yetinmek zorunda kaldılar. Bazen Gel’fond varsayımı olarak adlandırılan, Hilbert’in yedinci probleminin çözümünün, 1970 yılında İngiliz matematikçi Alan Baker için matematikteki en prestijli ödüllerden biri olan Fields Madalyası kazandırdığını belirtmek düşündürücüdür.


Göz atmak isterseniz


Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Hasan Huseyin Akis

Kendimi bildim bileli bir sorunu çözmek durumunda kalıyorum ve ya düzenli olarak çözülmesi gereken problemler yaratıyorum. Sanırım matematikte beni büyüleyen şey de bu. bir çözüm bulma çabası... Öyle ki bu çözüm bulma çabası çoğu kez anlamsız bir çabaya dönüşüyor. Bir çözümü gerçekten bulmak çoğu zaman bir insan ömrüne sığmıyor. Ama matematik o arada hiç durmadan aramaya devam ediyor. Bana öyle geliyor ki matematik insanoğlunun dünyada karşı karşıya kaldığı tüm problemleri çözme çabasının tamamını temsil ediyor hem de tüm yönleriyle. Beni matematiğin içine sokan da, matematikte görmüş olduğum o bizi aşan güzellik de sanırım matematiğin bu yönüyle ilgili... Matematiğin bu yönünü belki diğer insanlara anlatabilirim ve diğer insanların da matematiği benim gördüğüm haliyle görebilmelerini sağlayabilirim umuduyla buradayım. Bunun dışında İzmir'in Ödemiş ilçesinde doğup Matematik Bölümünü Çanakkale'de okumuş olmak gibi bir özgeçmişim var. Halen Çanakkale'de yaşıyorum, bir özel okulda Matematik Öğretmeni olarak çalışıyorum.
Başa dön tuşu