Matematik tarihindeki en dramatik ve dokunaklı hikâyelerden biri, kuşkusuz Évariste Galois’ya aittir. Bugün adı Galois Teorisi ile anımsanmaktadır.
30 Mayıs 1832’de, Paris’in güney banliyölerinde gün henüz ağarmaya başlarken, Évariste Galois adında genç bir adam, hâlâ uykulu ama elinde bir tabancayla, Pescheux d’Herbinville adlı bir topçu subayının karşısında duruyordu.
Rakipler, yaklaşık yirmi beş adım uzaklıktan silahlarını birbirine doğrulttu. Bir an sonra genç Évariste yere düştü. Kurşun karnına isabet etmişti. Yaralı Galois’i ancak üç saat sonra yoldan geçen biri fark etti ve onu yakındaki bir hastaneye götürdü. Ertesi sabah uyanmadı.
Galois, düelloyu kabul etmenin kendi ölüm fermanını imzalamak olduğunu biliyordu. Parlak bir matematikçiydi, ama silah kullanma konusunda becerikli değildi. Bu yüzden düellodan önceki geceyi, matematiksel fikirlerini yazmaya çalışarak geçirdi.
Galois’in ölümünden sonra arkadaşları ve kardeşi, Évariste’in notlarını kurtarmaya çalıştı. Ellerinden geldiğince düzenlediler ve yayımlanmaları için tanınmış matematikçilere ulaştırmaya uğraştılar. Ancak matematik dünyasının bu genç matematikçinin fikirlerinin olağanüstü önemini kavraması birkaç on yıl sürdü. Aslında, modern matematiğin temellerinden biri olan grup kavramı, 1832’deki o ölümcül gecede ortaya çıktı.
Galois Teorisi Nedir?
Galois’nin fikri matematiksel bir çıkmazdan doğdu. Matematikçiler yüzyıllardır polinom denklemlerinin köklerini, yani denklemi sıfır yapan x değerlerini hesaplamak için genel formüller arıyordu. Ancak bu yöntemler yalnızca en büyük üssü 4 olan denklemlere kadar işe yarıyordu.
Galois ise, kökleri doğrudan hesaplamak yerine, aralarındaki cebirsel ilişkileri inceleyebileceğini fark etti. Bu bakış açısının özünde simetri kavramı vardı. Galois’in fikrini anlamak için bir kareyi düşünelim. Kareyi 90 ya da 180 derece döndürdüğümüzde köşelerin yerleri değişir, ama kare yine aynı kare olarak kalır.
Galois de polinomların köklerine benzer biçimde baktı. Köklerin değerlerini tek tek hesaplamak yerine, bu köklerin yerleri değiştiğinde denklemin temel ilişkilerinin korunup korunmadığını inceledi. Ona göre önemli olan, köklerin tek tek ne olduğu değil, aralarındaki düzenin nasıl çalıştığıydı.
Üç kökü olan bir polinom düşünelim. Kökleri a, b ve c olsun. Bu kökler arasında ab + ac + bc = −7 biçiminde bir ilişki olsun. Şimdi köklerin yerlerini değiştirelim. Örneğin a yerine b, b yerine c, c yerine a yazalım. Bu durumda bc + ba + ca = −7 elde ederiz ancak sonuç değişmez.
Sonuç yine değişmez. Çünkü çarpma ve toplamada sıranın değişmesi sonucu değiştirmez. Çünkü toplama ve çarpma işlemleri değişme özelliğine sahiptir. Bu durumda, köklerin altı farklı sıralanışı da aynı sonucu verir.
Ancak her polinomda bu kadar serbestlik yoktur. Bazı polinomlarda köklerin yalnızca belirli yer değiştirmeleri ilişkiyi korur. Galois de kökleri tek tek bulmak yerine, hangi yer değiştirmelerin bu düzeni koruduğunu inceledi.
Galois bu düşünceyi yeni bir matematiksel nesneyle ifade etti. Bugün bu nesnelere Galois grupları diyoruz. Bu sayede matematikçiler kökleri tek tek hesaplamak zorunda kalmaz. Bunun yerine köklerin oluşturduğu düzeni inceler. Eğer bir polinomun Galois grubu biliniyorsa, o polinomun kökleri hakkında bilgi elde edilir.
Galois Teorisi Neden Önemlidir?
Son birkaç on yılda okula gitmiş herkes, “grup” adı verilen sıra dışı matematiksel yapıyı hatırlayacaktır. Ortalama bir öğrenci bu bilgiyi son matematik sınavını verdikten hemen sonra unutur. Yine de modern fiziğin grup teorisi olmadan neredeyse açıklanamaz olduğunu bilmek gerekir. Gruplar yalnızca evreni oluşturan temel parçacıkları betimlemek için gerekli değildir. Aynı zamanda bilimin her alanından uzmanların kullandığı temel bir matematik aracıdır.
Galois’in fikri daha sonra grup teorisinin temelini oluşturdu. Başlangıçta polinom denklemlerini anlamak için ortaya çıkan bu düşünce, zamanla modern matematiğin ve fiziğin en güçlü araçlarından birine dönüştü.
Bir polinomun Galois grubu, o polinomun kökleri arasındaki gizli düzeni gösterir. Bu grup, denklemin klasik formüllerle çözülüp çözülemeyeceği hakkında da bilgi verir. İkinci, üçüncü ve dördüncü dereceden denklemler için genel çözüm formülleri vardır. Ancak Galois, beşinci derece ve daha yüksek derecedeki denklemler için böyle bir genel formülün her zaman mümkün olmadığını gösterdi.
Bu sonuç, matematikçilerin yüzyıllardır aradığı genel çözümün neden bulunamadığını açıklıyordu. Sorun, yeterince iyi bir formülün henüz bulunamamış olması değildi. Bazı denklemlerin yapısı, böyle bir formüle baştan izin vermiyordu.
Galois grupları daha sonra yalnızca polinom denklemlerini anlamak için kullanılmadı. Cebir ve sayı teorisindeki birçok problemi incelemek için de güçlü bir araç hâline geldi. Mordell varsayımının kanıtında ve Fermat’nın Son Teoremi’nin çözümünde bu fikirler önemli rol oynadı.
Sonuç Olarak
Bugün Galois grupları, Langlands programı gibi büyük araştırma alanlarının merkezinde yer alır. Langlands programı, Galois grupları ile başka matematiksel yapılar arasındaki derin bağlantıları anlamaya çalışır. Böylece polinom denklemleriyle başlayan fikir, modern matematiğin çok daha geniş bir alanına uzanır. Évariste Galois’nın yaşamı kısa sürdü, ancak en büyük başarısı matematiği yüzyıllar boyunca etkilemeye devam edecek.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Galois Groups and the Symmetries of Polynomials. Kaynak site: Quanta Magazine. Yayınlanma tarihi: 3 Ağustos 2021. Bağlantı: Galois Groups and the Symmetries of Polynomials
Matematiksel
