Yukarıda yazılmış olan üç farklı gibi görünen ama aslında aynı olan denklem!…
Sahi gerçekten aynı mı?
Matematikte kavramları anlamlandırabilmenin bir yolu da onları resmetmektir. Tabi bu o kadar da kolay bir şey değildir. Ama yukarıda verilmiş olan üç farklı* denklemin bir şekilde resmini çizmek de mümkün.
Verilen üç denklemi de f(x)=g(x) formatında düşünelim. Yani iki fonksiyonun eşitliği.
Birincisi için konuşursak; ve
,
İkincisinde; ve
,
Üçüncüsünde ise; ve
olsunlar.
Artık resmetmesi çok daha kolay hale geldi.
Yukarıdaki grafiklere sırasıyla bakalım.
İki grafiğin kesişmesinin ne anlama geldiği ise gayet açık.
Birinci grafikte f(x) ile g(x) in kesiştiği noktaların apsisleri 1 ve 2,
İkinci grafikte de dikkatlice bakıldığında f(x) ile g(x)in kesiştiği noktaların apsisleri yine 1 ve 2,
Üçüncü grafikte de f(x) ile g(x) in kesiştiği noktaların apsisleri 1 ve 2 dir.
Bütün bunları anlatmamın sebebi Ömer Hayyam’ın Üçüncü dereceden (kübik) denklemlerin çözümüne dair getirmiş olduğu geometrik çözümü daha anlaşılır kılmak adınaydı.
Artık asıl meseleye geçebiliriz:
“İranlı büyük şair Ömer Hayyam (yaklaşık 1050-1130) bir çift kesişen konik kesiti kullanarak
kübik denkleminin geometrik çözümünü buldu. Modern gösterimle önce
parabolünü oluşturdu. Daha sonra x ekseni üzerine
yarıçaplı bir yarım çember çizdi ve yarım çember ile parabolün kesişim noktasına P dedi (Şekle bakınız). Bir Q noktası oluşturmak için P’den x eksenine bir diklik indirilir. P noktasının x koordinatı (yani AQ doğru parçasının uzunluğu) verilen kübik denkleminin köküdür.”
Şimdi |AQ|’nun bu kübik denklemin nasıl kökü olduğunu görelim.
1. Parabolün P noktasının koordinatlarına bakacak olursak P(|AQ|,|PQ|) ve P noktasını de yerine yazalım:
2.AQP üçgeni ile PQC üçgenleri benzerdir, böylece
ve ya
ve
yazılır.
3.|PQ| yerine 1 nolu satırda bulmuş olduğumuz eşitliği yazalım:
biraz daha düzenleyelim.
4. denklemimiz buydu. Demek ki |AQ| bu denklemin bir köküymüş.
Ömer Hayyam’dan bahsedip de rubaisinden örnek vermemek olmaz.
Yazımızı bir rubaisi ile sonlandıralım:
Dedim: Artık bilgiden yana eksiğim yok;
Şu dünyanın sırrına ermişim az çok.
Derken aklım geldi başıma, bir de baktım:
Ömrüm gelip geçmiş, hiçbir şey bildiğim yok.
Kaynakça:
BURTON, M. David. Matematik Tarihi Giriş, (çev. editörü Prof. Dr. Soner DURMUŞ), Nobel Yaşam: Mart 2017.
Matematiksel
yukardaki hayyam kübik denkleminin çözümünü, yeni olan koordinat sistemiyle açıklamak belki kolay olmuş ama hayam zamanında koordinatlar yoktu.zaten kendisi kübik denklemlerin cebirsel hesap yöntemleriyle çözülemiyeciğini idda etmiştir.bu yüzden geometrik yönteme yönelmiştir fakat ozaman ay=x^2 gibi bir fonksiyon da yoktu, x ve y eksenin olmadığı bir düzlemde parabol ve çemberin kesişimleri,elipsle ve çemberin kesişimleri gibi sade geometrik çizimleri var. alayamadığım, kübik denkleme bakarak parabol- çember vb.kesişimi mi öngörüldü yoksa sezgisel olarak veya yanlışlıkla çizilmiş bir parabol- çember,elips-çember vb. kesişimi kübik denklemin çözümüne mi yol açtığı? yani yukardaki aq=b/a^2 YARIM ÇEMBERİ Çİzmesine hangi akıl yürütme sebep olmuş.
Ömer Hayyamın Grek matematiğine özellikle de Öklit ve Apollonious’un eserlerine (Ögeler, Konik Kesitler) son derece hakim olduğu söylenir. Ve bu koni kesitlerinin kesişimleri ile ilgili bir çok çalışma yaptıktan sonra kendince kübik denklemleri tasniflemiştir. Zannımca sizin de belirttiğiniz gibi hem öngörü hem sezgi ve hem de bol karalama.
Hayyam da negatif köke değinmediği için genelde konikler de yarım çember ve ya yarım elips görülebiliyor. Dolayısıyla bir yarım çemberle bir parabolü kesiştirip ortaya çıkacak şeyi aşağı yukarı belirledikten sonra katsayılarıyla oynayıp genellemeler yapmış olabilir. Tabi bu benim şahsi düşüncem. Bu konuda daha fazla malumata sahip olursam başka bir yazıda bu konuyu açabilirim.
hocam açıklamalarınız için teşşekür ederim.
Rica ederim.