Kübik Denklemin Ömer Hayyam’a ait Geometrik Çözümü

•                                          
•                                      
•  

Yukarıda yazılmış olan üç farklı gibi görünen ama aslında aynı olan denklem!…

Sahi gerçekten aynı mı?

Matematikte kavramları anlamlandırmanın bir yolu da onları resmetmektir. Tabi bu o kadar da kolay bir şey değildir. Ama yukarıda verilmiş olan üç farklı* denklemin bir şekilde resmini çizmek de mümkün.

Verilen üç denklemi de f(x)=g(x) formatında düşünelim. Yani iki fonksiyonun eşitliği.

Birincisi için konuşursak;   ve    ,

İkincisinde;   ve   ,

Üçüncüsünde ise;   ve olsunlar.

Artık resmetmesi çok daha kolay hale geldi.

  

 

 

Yukarıdaki grafiklere sırasıyla bakalım.

İki grafiğin kesişmesinin ne anlama geldiği ise gayet açık.

Birinci grafikte f(x) ile g(x) in kesiştiği noktaların apsisleri 1 ve 2,

İkinci grafikte de dikkatlice bakıldığında f(x) ile g(x)in kesiştiği noktaların apsisleri yine 1 ve 2,

Üçüncü grafikte de f(x) ile g(x) in kesiştiği noktaların apsisleri 1 ve 2 dir.

Bütün bunları anlatmamın sebebi Ömer Hayyam’ın Üçüncü dereceden (kübik) denklemlerin çözümüne dair getirmiş olduğu geometrik çözümü daha anlaşılır kılmak adınaydı.

Artık asıl meseleye geçebiliriz:

“İranlı büyük şair Ömer Hayyam (yaklaşık 1050-1130) bir çift kesişen konik kesiti kullanarak kübik denkleminin geometrik çözümünü buldu. Modern gösterimle önce   parabolünü oluşturdu. Daha sonra x ekseni üzerine      yarıçaplı bir yarım çember çizdi ve yarım çember ile parabolün kesişim noktasına P dedi (Şekle bakınız). Bir Q noktası oluşturmak için P’den x eksenine bir diklik indirilir. P noktasının x koordinatı (yani AQ doğru parçasının uzunluğu) verilen kübik denkleminin köküdür.”

Şimdi |AQ|’nun bu kübik denklemin    nasıl kökü olduğunu görelim.

1. Parabolün P noktasının koordinatlarına bakacak olursak P(|AQ|,|PQ|) ve P noktasını   de yerine yazalım:

2.AQP üçgeni ile PQC üçgenleri benzerdir, böylece

         veya         ve       yazılır.

3.|PQ| yerine 1 nolu satırda bulmuş olduğumuz eşitliği yazalım:

biraz daha düzenleyelim.

 

4.   denklemimiz buydu. Demek ki |AQ| bu denklemin bir köküymüş.

Ömer Hayyam’dan bahsedip de rubaisinden örnek vermemek olmaz. Yazımızı bir rubaisi ile sonlandıralım:

Dedim: Artık bilgiden yana eksiğim yok;
Şu dünyanın sırrına ermişim az çok.
Derken aklım geldi başıma, bir de baktım:
Ömrüm gelip geçmiş, hiçbir şey bildiğim yok.

Kaynakça:

BURTON, M. David. Matematik Tarihi Giriş, (çev. editörü Prof. Dr. Soner DURMUŞ), Nobel Yaşam: Mart 2017.

Matematiksel