Kübik Denklemin Ömer Hayyam’a ait Geometrik Çözümü

Yukarıda yazılmış olan üç farklı gibi görünen ama aslında aynı olan denklem!…

Sahi gerçekten aynı mı?

Matematikte kavramları anlamlandırmanın bir yolu da onları resmetmektir. Tabi bu o kadar da kolay bir şey değildir. Ama yukarıda verilmiş olan üç farklı* denklemin bir şekilde resmini çizmek de mümkün.

Verilen üç denklemi de f(x)=g(x) formatında düşünelim. Yani iki fonksiyonun eşitliği.

Birincisi için konuşursak;   ve    ,

İkincisinde;   ve   ,

Üçüncüsünde ise;   ve olsunlar.

Artık resmetmesi çok daha kolay hale geldi.

Yukarıdaki grafiklere sırasıyla bakalım.

İki grafiğin kesişmesinin ne anlama geldiği ise gayet açık.

Birinci grafikte f(x) ile g(x) in kesiştiği noktaların apsisleri 1 ve 2,

İkinci grafikte de dikkatlice bakıldığında f(x) ile g(x)in kesiştiği noktaların apsisleri yine 1 ve 2,

Üçüncü grafikte de f(x) ile g(x) in kesiştiği noktaların apsisleri 1 ve 2 dir.

Bütün bunları anlatmamın sebebi Ömer Hayyam’ın Üçüncü dereceden (kübik) denklemlerin çözümüne dair getirmiş olduğu geometrik çözümü daha anlaşılır kılmak adınaydı.

Artık asıl meseleye geçebiliriz:

“İranlı büyük şair Ömer Hayyam (yaklaşık 1050-1130) bir çift kesişen konik kesiti kullanarak kübik denkleminin geometrik çözümünü buldu. Modern gösterimle önce   parabolünü oluşturdu. Daha sonra x ekseni üzerine      yarıçaplı bir yarım çember çizdi ve yarım çember ile parabolün kesişim noktasına P dedi (Şekle bakınız). Bir Q noktası oluşturmak için P’den x eksenine bir diklik indirilir. P noktasının x koordinatı (yani AQ doğru parçasının uzunluğu) verilen kübik denkleminin köküdür.”

Şimdi |AQ|’nun bu kübik denklemin    nasıl kökü olduğunu görelim.

1. Parabolün P noktasının koordinatlarına bakacak olursak P(|AQ|,|PQ|) ve P noktasını   de yerine yazalım:

2.AQP üçgeni ile PQC üçgenleri benzerdir, böylece

         veya         ve       yazılır.

3.|PQ| yerine 1 nolu satırda bulmuş olduğumuz eşitliği yazalım:

biraz daha düzenleyelim.

4.   denklemimiz buydu. Demek ki |AQ| bu denklemin bir köküymüş.

Ömer Hayyam’dan bahsedip de rubaisinden örnek vermemek olmaz. Yazımızı bir rubaisi ile sonlandıralım:

Dedim: Artık bilgiden yana eksiğim yok;
Şu dünyanın sırrına ermişim az çok.
Derken aklım geldi başıma, bir de baktım:
Ömrüm gelip geçmiş, hiçbir şey bildiğim yok.

Kaynakça:

BURTON, M. David. Matematik Tarihi Giriş, (çev. editörü Prof. Dr. Soner DURMUŞ), Nobel Yaşam: Mart 2017.

Matematiksel