Kübik Denklemin Ömer Hayyam’a Ait Geometrik Çözümü

Ömer Hayyam 1048-1131), İranlı bir şair, bilim insanıı ve matematikçiydi. Hayyam’ın matematikteki en büyük eseri, çeşitli kübik denklem türlerini ve her türden çözümlerini sınıflamasıydı. Hayyam’ın kübik denklemler üzerindeki çalışması, geleceğin İslam matematikçilerini ve onlar aracılığıyla Rönesans Avrupa’sının matematikçilerini büyük ölçüde etkiledi.

Lisede ax² + bx + c = 0 biçimindeki denklemleri öğreniriz; bunlara ikinci dereceden denklemler denir. Kübik denklemler ax³ + bx² + cx + d = 0 biçimindedir. Doğal olarak, kübik denklemleri çözmek ikinci dereceden denklemlerden daha zordur. Antik Yunan’da bu tip denklemler geometrik yolla cetvel ve pergel kullanılarak çözülmeye çalışılmıştı. Hayyam, kübik denklemleri çözmenin başka bir yolu olduğunu tahmin etti. Hayyam’ın yöntemi geometrik bir diyagram çizmekti. Kübik denklemi iki basit denkleme ayırabileceğini buldu. Bunlardan biri daire, diğeri ise paraboldü. Hayyam’ın atılımını takiben, Niccolo Tartaglia’nın tüm kübik denklemler için genel çözümler bulduğu 1535 yılına kadar kübik denklemler üzerinde çok az önemli ilerleme kaydedildi.

Kübik denklemlerin çözümü

İranlı büyük şair Ömer Hayyam (yaklaşık 1050 -1130) bir çift kesişen konik kesiti kullanarak x³ + a²x=b kübik denkleminin geometrik çözümünü buldu. Önce x² = ay  parabolünü oluşturdu. Daha sonra x ekseni üzerine AC=b/a² yarıçaplı bir yarım çember çizdi ve yarım çember ile parabolün kesişim noktasına P dedi (Şekle bakınız). Bir Q noktası oluşturmak için P’den x eksenine bir diklik indirdi. P noktasının x koordinatı (yani AQ doğru parçasının uzunluğu) verilen kübik denkleminin köküydü.

Şimdi |AQ|’nun bu kübik denklemin x³ + a²x=b denkleminin kökü olduğunu görelim.

1. Parabolün P noktasının koordinatlarına bakacak olursak P(|AQ|,|PQ|) ve P noktasını  x² = ay  de yerine yazalım: |AQ|²=a.|PQ|

2. AQP üçgeni ile PQC üçgenleri benzerdir, böylece sonuç aşağıdaki gibi olacaktır.

3.|PQ| yerine 1 nolu satırda bulmuş olduğumuz eşitliği yazalım:

 x³ + a²x=b denklemimiz buydu. Demek ki |AQ| bu denklemin bir köküymüş. Ömer Hayyam’dan bahsedip de rubaisinden örnek vermemek olmaz. Yazımızı bir rubaisi ile sonlandıralım:

Dedim: Artık bilgiden yana eksiğim yok; Şu dünyanın sırrına ermişim az çok. Derken aklım geldi başıma, bir de baktım: Ömrüm gelip geçmiş, hiçbir şey bildiğim yok.

Göz Atmak İsterseniz

• Dünyayı Değiştiren Günümüzü Biçimlendiren 17 Denklem
• Şair, Filozof Ve Matematikçi: Ömer Hayyam
• Üçüncü Dereceden Denklemlerin Sıra Dışı Hikayesi
• Modern Kimyanın Yaratıcısı: Cabir bin Hayyan
• İslam Dünyasında Matematik

Kaynakça:

BURTON, M. David. Matematik Tarihi Giriş, (çev. editörü Prof. Dr. Soner DURMUŞ), Nobel Yaşam: Mart 2017.

Matematiksel