Kübik Denklemin Ömer Hayyam’a ait Geometrik Çözümü

Tüm kübik denklemleri çözebilecek bir yöntem geliştirmek isteyen Hayyam, Harezmi’nin cebir dilinden ilham alarak sistemli bir çözümlemeye girişti ve önce onları sınıflandırdı. Sonra geometri kullanarak çözmeyi başardı…

Yöntemini anlatmaya çalışalım…

Aşağıda üç farklı gibi görünen ama aslında aynı olan denklem var. Sahi gerçekten aynı mı?

Matematikte kavramları anlamlandırmanın bir yolu da onları resmetmektir. Tabi bu o kadar da kolay bir şey değildir. Ama yukarıda verilmiş olan üç farklı denklemin bir şekilde resmini çizmek de mümkün.

Verilen üç denklemi de f(x)=g(x) formatında düşünelim. Yani iki fonksiyonun eşitliği.

Birincisi için konuşursak; f(x)= x² – 3x+2  ve  g(x)=0

İkincisinde; f(x)= x² – 3x  ve g(x)=-2 ,

Üçüncüsünde ise; f(x)= x²   ve g(x)=3x-2 olsunlar. Artık resmetmesi çok daha kolay hale geldi.

Yukarıdaki grafiklere sırasıyla bakalım. İki grafiğin kesişmesinin ne anlama geldiği ise gayet açık. Birinci grafikte f(x) ile g(x) in kesiştiği noktaların apsisleri 1 ve 2. İkinci ve üçünce grafiklerde de dikkatlice bakıldığında f(x) ile g(x)in kesiştiği noktaların apsisleri yine 1 ve 2 dir.

Bütün bunları anlatmamın sebebi Ömer Hayyam’ın Üçüncü dereceden (kübik) denklemlerin çözümüne dair getirmiş olduğu geometrik çözümü daha anlaşılır kılmak adınaydı.

Kübik denklemlerin çözümü

İranlı büyük şair Ömer Hayyam (yaklaşık 1050 -1130) bir çift kesişen konik kesiti kullanarak x³ + a²x=b kübik denkleminin geometrik çözümünü buldu. Önce x² = ay  parabolünü oluşturdu. Daha sonra x ekseni üzerine

yarıçaplı bir yarım çember çizdi ve yarım çember ile parabolün kesişim noktasına P dedi (Şekle bakınız).

Bir Q noktası oluşturmak için P’den x eksenine bir diklik indirdi. P noktasının x koordinatı (yani AQ doğru parçasının uzunluğu) verilen kübik denkleminin köküydü.

Şimdi |AQ|’nun bu kübik denklemin x³ + a²x=b denkleminin kökü olduğunu görelim.

1. Parabolün P noktasının koordinatlarına bakacak olursak P(|AQ|,|PQ|) ve P noktasını  x² = ay  de yerine yazalım:

2. AQP üçgeni ile PQC üçgenleri benzerdir, böylece

sonuçlarını elde ederiz.

3.|PQ| yerine 1 nolu satırda bulmuş olduğumuz eşitliği yazalım:

 x³ + a²x=b denklemimiz buydu. Demek ki |AQ| bu denklemin bir köküymüş.

Ömer Hayyam’dan bahsedip de rubaisinden örnek vermemek olmaz. Yazımızı bir rubaisi ile sonlandıralım:

Dedim: Artık bilgiden yana eksiğim yok;
Şu dünyanın sırrına ermişim az çok.
Derken aklım geldi başıma, bir de baktım:
Ömrüm gelip geçmiş, hiçbir şey bildiğim yok.

Kaynakça:

BURTON, M. David. Matematik Tarihi Giriş, (çev. editörü Prof. Dr. Soner DURMUŞ), Nobel Yaşam: Mart 2017.

Matematiksel