Kübik Denklemin Ömer Hayyam’a ait Geometrik Çözümü

Aykut Çelikel 26 Kasım 2019

1 dakika okuma süresi

Aşağıda üç farklı gibi görünen ama aslında aynı olan denklem var. Sahi gerçekten aynı mı?

Matematikte kavramları anlamlandırmanın bir yolu da onları resmetmektir. Tabi bu o kadar da kolay bir şey değildir. Ama yukarıda verilmiş olan üç farklı* denklemin bir şekilde resmini çizmek de mümkün.

Verilen üç denklemi de f(x)=g(x) formatında düşünelim. Yani iki fonksiyonun eşitliği.

Birincisi için konuşursak; $f(x)=x^{2}-3x+2$ ve g(x)=0 ,

İkincisinde; $f(x)=x^{2}-3x$ ve ,

Üçüncüsünde ise; $f(x)=x^{2}$ ve olsunlar.

Artık resmetmesi çok daha kolay hale geldi.

Yukarıdaki grafiklere sırasıyla bakalım. İki grafiğin kesişmesinin ne anlama geldiği ise gayet açık.

Birinci grafikte f(x) ile g(x) in kesiştiği noktaların apsisleri 1 ve 2,

İkinci grafikte de dikkatlice bakıldığında f(x) ile g(x)in kesiştiği noktaların apsisleri yine 1 ve 2,

Üçüncü grafikte de f(x) ile g(x) in kesiştiği noktaların apsisleri 1 ve 2 dir.

Bütün bunları anlatmamın sebebi Ömer Hayyam’ın Üçüncü dereceden (kübik) denklemlerin çözümüne dair getirmiş olduğu geometrik çözümü daha anlaşılır kılmak adınaydı.

Artık asıl meseleye geçebiliriz:

“İranlı büyük şair Ömer Hayyam (yaklaşık 1050-1130) bir çift kesişen konik kesiti kullanarak $x^{3}+a^{2}x=b$ kübik denkleminin geometrik çözümünü buldu. Modern gösterimle önce $x^{2}=ay$ parabolünü oluşturdu. Daha sonra x ekseni üzerine $|AC|=\frac{b}{a^{2}}$ yarıçaplı bir yarım çember çizdi ve yarım çember ile parabolün kesişim noktasına P dedi (Şekle bakınız). Bir Q noktası oluşturmak için P’den x eksenine bir diklik indirilir. P noktasının x koordinatı (yani AQ doğru parçasının uzunluğu) verilen kübik denkleminin köküdür.”

Şimdi |AQ|’nun bu kübik denklemin $x^{3}+a^{2}x=b$ nasıl kökü olduğunu görelim.

1. Parabolün P noktasının koordinatlarına bakacak olursak P(|AQ|,|PQ|) ve P noktasını $x^{2}=ay$ de yerine yazalım:

$|AQ|^{2}=a.|PQ|$

2.AQP üçgeni ile PQC üçgenleri benzerdir, böylece

$\frac{|AQ|}{|PQ|}=\frac{|PQ|}{|QC|}$ veya $|PQ|^{2}=|AQ|.|QC|$ ve $|PQ|^{2}=|AQ|.(\frac{b}{a^{2}}-|AQ|)$ yazılır.

3.|PQ| yerine 1 nolu satırda bulmuş olduğumuz eşitliği yazalım:

$\frac{|AQ|^{4}}{a^{2}}=|AQ|.(\frac{b}{a^{2}}-|AQ|)$

biraz daha düzenleyelim.

$|AQ|^{4}=a^{2}.|AQ|.(\frac{b}{a^{2}}-|AQ|)$

$|AQ|^{3}=a^{2}.(\frac{b}{a^{2}}-|AQ|)$

$|AQ|^{3}=b-a^{2}.|AQ|$

$|AQ|^{3}+a^{2}.|AQ|=b$

4. $x^{3}+a^{2}x=b$ denklemimiz buydu. Demek ki |AQ| bu denklemin bir köküymüş.

Ömer Hayyam’dan bahsedip de rubaisinden örnek vermemek olmaz. Yazımızı bir rubaisi ile sonlandıralım:

Dedim: Artık bilgiden yana eksiğim yok;
Şu dünyanın sırrına ermişim az çok.
Derken aklım geldi başıma, bir de baktım:
Ömrüm gelip geçmiş, hiçbir şey bildiğim yok.

Kaynakça:

BURTON, M. David. Matematik Tarihi Giriş, (çev. editörü Prof. Dr. Soner DURMUŞ), Nobel Yaşam: Mart 2017.

Matematiksel