Geometri

Kübik Denklemin Ömer Hayyam’a Göre Geometrik Çözümü

Pek çoğumuzun rubaileri ile anımsadığı Ömer Hayyam’ı (1048-1131), Bertrand Russell, History of Western Philosophy kitabında “hem şair hem de matematikçi olan tanıdığım tek adam” olarak tanımlar. Gerçekten de Ömer Hayyam bir astronom, doktor, filozof ve matematikçiydi. Kendisi cebire olağanüstü katkılarda bulundu. 

Hayyam için “zamanın tüm bilgilerini bildiği” söylenir. Özellikle 22 yaşında, 1070’de yayınladığı Cebir ile ilgili kitabı matematik dünyasında uzun yıllar etkili olmuştur. Hayyam’ın matematikteki en büyük eseri ise, çeşitli kübik denklem türlerini ve her türden çözümlerini sınıflandırması olmuştur. Sonucunda da Hayyam’ın kübik denklemler üzerindeki çalışması, geleceğin İslam matematikçilerini ve onlar aracılığıyla Rönesans Avrupa’sının matematikçilerini büyük ölçüde etkiledi.

Kübik Denklemler Nedir?

Lisede ax2 + bx + c = 0 biçimindeki denklemleri öğreniriz; bunlara ikinci dereceden denklemler denir. Kübik denklemler ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindedir. Yani üçüncü derecedendir. Doğal olarak, kübik denklemleri çözmek ikinci dereceden denklemlerden daha zordur.

Antik Yunan’da bu tip denklemler geometrik yolla cetvel ve pergel kullanılarak çözülmeye çalışılmıştı. Hayyam, kübik denklemleri çözmenin başka bir yolu olduğunu tahmin etti. Hayyam’ın yöntemi geometrik bir diyagram çizmekti. Kübik denklemi iki basit denkleme ayırabileceğini buldu. Bunlardan biri daire, diğeri ise paraboldü. Hayyam’ın atılımını takiben, Niccolo Tartaglia’nın tüm kübik denklemler için genel çözümler bulduğu 1535 yılına kadar kübik denklemler üzerinde çok az önemli ilerleme kaydedildi.

Kübik Denklemlerin Kısa Tarihi

Ömer Hayyam’ın kübik denklemleri nasıl çözdüğünü anlamak için önce on birinci ve on ikinci yüzyıllarda matematiğin nasıl olduğunu anlamamız gerekir. Yunan matematikçi Arşimet, belirli bir küreyi bir düzlemle kesmenin sonuçları hakkında çalışmasını uzun süre önce yapmıştı. Bunun sonucunda da oluşan bölümlerin hacimlerinin birbiriyle ilişkili olduğu fikrini ortaya atmıştı.

Daha sonrasında ise başka bir Yunan matematikçi olan Manaechmus, ( MÖ 380- 320) konik kesitlerin, cebirde karşımıza çıkan, x3 = a2b biçimindeki bir problemi çözmek için nasıl kullanılabileceğini gösterdi. Yüzyıllar ilerledikçe, Kübik denklemleri konik kesitler kullanarak çözme sorunu, Orta Çağ’ın birçok İslam matematikçisini ilgilendiren bir soru halini aldı.

Orjinal adı Risaletün fi Berahin İl Cebr ve Mukabele. olan kitaptan bir sayfa. Kaynak: https://www.maa.org/

Bu dönemde matematikçiler çözümler üretebilmek için Yunan matematiğinden miras kalan geometrik teknikler ile, o dönemlerde yeni yeni uygulanmaya başlayan cebirsel teknikleri birleştirdiler. Bu dönemde İbnü’l-Heysem, el-Biruni, el-Mahani ve el-Khazin gibi matematikçilerin tümü, belirli kübik denklem türlerinin çözümlerine katkıda bulundular. Ancak kübik denklemlerin tam teorisini ortaya koyarak ilk incelemeyi yazan kişi Ömer Hayyam oldu.

Ömer Hayyam’ın Kübik Denklem Çözümü

Ömer Hayyam’ın kübik denklemler üzerindeki çalışması, bir kübik denklemin tüm farklı biçimlerinin kapsamlı değerlendirmelerini içeriyordu. Örneğin, x3 + bx = a ve x3 + a = bx’in farklı çözüm yöntemlerine sahip farklı denklem türleri olduğunu düşündü. Bunun sonucunda, bir düzineden fazla farklı kübik denklem biçimine çözümler sağladı. Hayyam’ın bu denklemleri çözme yöntemine bir örnek, bir daire ve bir parabolün kesişimini bularak x3 + bx = a denklemini çözmesidir. Bu iki eğrinin kesişimi denklemin çözümüdür.

Ömer Hayyam bir çift kesişen konik kesiti kullanarak x+ a2x=b kübik denkleminin geometrik çözümünü görebilirsiniz. Önce x2 = ay  parabolünü oluşturdu. Daha sonra x ekseni üzerine AC=b/a2 yarıçaplı bir yarım çember çizdi ve yarım çember ile parabolün kesişim noktasına P dedi. Bir Q noktası oluşturmak için P’den x eksenine bir diklik indirdi. P noktasının x koordinatı (yani AQ doğru parçasının uzunluğu) verilen kübik denkleminin köküydü.

Kübik Denklemler Neden Geometri İle Çözüldü?

Ancak bir kübik denklemin üç çözümü olması gerektiğini hatırlayın. Diğer iki çözüm, yüzyıllar sonrasına kadar kabul edilmeyen bir kavram olan hayali sayılardır. Bu nedenle Hayyam sadece gerçek kökler ile ilgili çözümler bulabilmişti. Hayyam ve onun çağdaşları tarafından çözülen bu problemlerin geometrik çözümleri, günümüzde bizim için pek bir anlam taşımayacaktır. Ancak aslında bu problemler bizim sayı problemleri diye isimlendirdiğimiz problemlerin çözümleriydi.

Örneğin şu soruyu düşünün. On sayısını iki parçaya bölün. Öyle ki her iki parçanın kareleri ile büyük parçanın küçüğe bölümünün toplamı 72 olsun. Bu problemi denkleme dökerseniz karşınıza 3. dereceden bir denklem çıktığını göreceksiniz. Günümüzde cebir yardımı ile bu denklemi çözmemiz kolay. Ancak modern çağdan önce matematikçiler aynı Ömer Hayyam gibi bu soruyu geometrik bir yaklaşım ile çözmek zorundaydı.

Sonucunda da modern bir çözümün geliştirilmesi için de matematikçilerin 400 yıl kadar daha beklemesi gerekmekteydi. Ömer Hayyam’dan bahsedip de rubaisinden örnek vermemek olmaz. Son olarak yazımıza onun bir rubaisini ekleyelim.

Dedim: Artık bilgiden yana eksiğim yok; Şu dünyanın sırrına ermişim az çok. Derken aklım geldi başıma, bir de baktım: Ömrüm gelip geçmiş, hiçbir şey bildiğim yok.


Göz Atmak İsterseniz


Kaynaklar ve ileri okumalar:

  • Omar Khayyam And The Solution Of Cubic Equations; Bağlantı: https://www.encyclopedia.com/
  • BURTON, M. David. Matematik Tarihi Giriş, (çev. editörü Prof. Dr. Soner DURMUŞ), Nobel Yaşam: Mart 2017.

Matematiksel

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı okumak.

Bir Yorum

Başa dön tuşu