Sayıları Göstermenin Farklı Yolu: Sürekli Kesirler

Tam sayı olmayan sayıları bazen kesir bazen de ondalık sayılar olarak yazarız. Ancak aslında her iki gösterimin de kendine göre sorunları bulunur. Çünkü pi sayısı gibi bazı sayıları kesir olarak yazmak mümkün değildir. Bu nedenle genelde yaklaşık değerlerini gösteren kesirleri tercih ederiz. Örneğin hepimizin bildiği 22/7 kesri pi sayısına en yakın kesirdir. Ancak biraz daha yakın bir değer elde etmek istediğimizde kesirler buna fazla izin vermezler. Sonuçta ortaya tamamen yeni bir kesir çıkar.

Bu nedenle pi sayısını 3.14 biçiminde göstermeyi tercih ederiz. Biraz daha kesin bir değere ihtiyacımız olduğunda ise 3.141, 3.1415 gibi ondalık kısma rakamlar ekleyerek bunu başarabiliriz. Ancak ondalık sayıların da başka sorunları vardır. Kesir olarak mükemmel bir şekilde yazılan birçok sayı, bir ondalık sayı olarak asla tam yazılamaz.

Örneğin 1/3 kesrini ondalık olarak ifade etmek istediğimizde 0.33333333 biçiminde göstermemiz gerekir. Bu sayı sonsuza kadar tekrar ettiği için kullanımı kullanışlı değildir. Peki daha iyisini yapamaz mıyız? Evet yapabiliriz. Kesirlerin ve ondalık sayıların tüm avantajlarını aynı anda kullanan bir yazım biçimi daha vardır aslında. Bunlara sürekli kesirler denir.

Ondalık gösterimlerinde fazla öne çıkan bir özelliği bulunmayan sayılar, sürekli kesirler biçiminde yazıldığında şaşırtıcı bir biçimde simetriler ve örüntüler barındırır. Sürekli kesirler ayrıca bize irrasyonel sayılara yaklaşmanın en akılcı yolunu sağlar. Sürekli kesirler, ilk olarak 6. yüzyılda Hintli matematikçi Aryabhata’nın lineer denklem çözümlerinde karşımıza çıkar. Devamında 15. ve 16. yüzyıllarda Avrupa’da yeniden görülmeye başlanırlar. Muhtemel bir çoğunuz bir yerlerde görmüş olsanız bile tam olarak bilmiyorsunuzdur. O zaman önce ne olduklarını size anlatalım.

Sürekli Kesirler Nasıl Hesaplanır?

Yukarıdaki görselde sürekli kesirlerin iki farklı gösterim biçimini görüyorsunuz. Muhtemel ilk biçime daha alışkınsınız. Ancak ikincinin yazım açısından daha pratik olduğu ise bir gerçek. Peki herhangi bir kesri bu biçime nasıl çevirebiliriz? Konunun anlaşılmasını kolaylaştırmak adına bunu tanım değil örnek ile yapalım.

Diyelim ki 72 /19 kesrinin karşılığını bulmamız gerekiyor. İlk iş 72’nin içinde kaç tane 19 olduğunu ve geriye kalanı bulmak olacaktır. Basit bir bölme ile bunu 72= 3×19 +15 biçiminde yazabiliriz. Şimdi 19 ile 15 sayısı için aynı işlemi uygulamalıyız. Sonucumuz 19= 1 x 15+4 biçimindedir. Amacımız kalanı sıfır yapmak bu nedenle devam ediyoruz. Şimdi 15 ile 4’e bakacağız. 15=3×4+3. Sırada 4 ile 3 var. 4=1×3 +1 dir. Son olarak 3 ile 1’e bakmalıyız. 3=3 x1 + 0 olacaktır. 0 sayısını bulduğumuz için artık sürekli kesri yazabiliriz.

Bu arada matematik ile arası iyi olan okur, aslında biraz önce yaptığımız bölme işleminin Öklid algoritması olduğunu fark etmiş olabilir. Şu ana kadar aşağıdaki işlemleri yaptık. Şimdi bu işlemlerde renklendirdiğimiz sayılara dikkat edin. Ayrıca sıralamanın önemli olduğunu da unutmayın.

  • 72=3x19 +15
  • 19=1x15+4
  • 15=3x4+3
  • 4=1x3 +1
  • 3=3x1+0

Size yukarıda verdiğimiz örnek sınırlı sayıda basamağa sahip idi. Ancak sürekli kesirler adları gereği sonsuza kadar devam edebilir. Zaten bu özellikleri sayesinde de matematikçilerin favori oyuncaklarındandır. Çünkü irrasyonel sayılar ile hesaplamalar yapmada bazı avantajlar sağlar. Örneğin, 2’nin karekökü ondalık biçim yaklaşık 1.4142135623730951’dir.

Ama bunu sürekli bir kesir olarak yazarsanız [1; 2, 2, 2, 2, 2,…] sonucunu elde edersiniz. Bunun hesaplanma biçimi biraz daha karmaşık olduğu için ilgi duyanlara güzel bir kaynak video bırakıyoruz. Bir başka güzel örnek ise e sayısı ile ilgili. Bu sayıyı sürekli kesir biçiminde e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1,…] olarak gösterebiliyoruz.

Sürekli Kesirler İle İşlem Yapabilir miyiz?

Bu noktada okuduysanız aklınıza şu soru gelmiş olabilir. İyi, güzel ama bunlarla bildiğimiz işlemleri yapabilir miyiz? Cevabımız evet. hatta bazı zamanlarda bu kesirler ile işlem yapmamız sanılandan çok daha kolay olur. Örneğin herhangi bir kesrin çarpmaya göre tersini almak istediğimiz zaman yapmamız gereken şey kesri ters çevirmektir. Devasa bir sürekli kesre sahip olduğumuz zaman bunu yapamayacağımızı düşünmek ise aslında bir hatadır.

Örneğin, 2.3456 ondalık sayısını yukarıda anlattığımız teknikle [2; 2, 3, 1, 3, 4, 5, 6, 4] biçiminde ifade edebilirsiniz. Bu kesrin çarpmaya göre tersini aldığını düşünelim. Yapmanız gereken tek şey aslında başa bir sıfır eklemektir. Bu durumda cevabımız [0; 2, 2, 3, 1, 3, 4, 5, 6, 4] biçiminde olacaktır. Eğer başta sıfır varsa da bu sefer onu kaldırarak tersini alabilirsiniz. İşin en önemli kısmına geldik. İlginç özellikleri olmasının ötesinde bu kesirler bir işe yarar mı?

Bir bilgisayar olduğunuz sürece cevabımız evet. Bill Gosper bunu 1972 yılında kanıtladı. Kendisi sürekli kesirleri kullanarak günümüzde lazy evaluation olarak adlandırdığımız şeyi ortaya koydu. Bu bir değişkenin değerinin, mecbur kalınana kadar hesaplanmadığı programlama dili özelliğidir. Gosper’in bu çalışması sonucunda, sürekli kesirleri bilgisayar programlarına çok uygun bir biçime dönüştü. Nasıl uygulanacağını anlamak başta zor olsa da bunu bir kez başardıktan sonra uygulama süreci aslında zor değil. Bunun sayesinde bilgisayarlarda istediğimiz hassasiyette işlem yapabiliyoruz. Belki de artık sürekli kesirlere biraz daha fazla ilgi göstermenin zamanı gelmiştir.



Kaynaklar ve ileri okumalar:

  • Mark C. Chu-Carroll; A Geek’s Guide to the Beauty of Numbers, Logic, and Computation; 2013 The Pragmatic Programmers
  • Different ways of looking at numbers; Yayınlanma tarihi: 6 Ocak 2000; Bağlantı: https://plus.maths.org/

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir Yorum

  1. Ilgi ve merakla takip ediyorum. Emekleriniz için teşekkürler.
    Keşke matematik eğitimi bu sayfadan yapılsa.
    Bu arada 55 yaşındayım ve matematik ilgimi doyuran çalışmalarınız için tekrar teşekkür ediyorum.

Başa dön tuşu