Sürekli Kesirler ve İnatçı İrrasyonel Sayılar

Sayıları yazmanın çeşitli yolları vardır. Farklı tabanlar, kesirler, ondalık sayılar, üslü sayılar, logaritma…

Bunların her birini kullanmanın avantajlı olduğu zamanlar vardır işlem yaparken. Ancak şaşırtıcı bir şekilde, sayıların en çarpıcı ve güçlü temsillerinden biri, okullarda öğretilen matematikte tamamen göz ardı edilir ve nadiren üniversite derslerinde görünür hale gelir. Test tabanlı sınavlarda sorulmasa belki de hiç değinilmeyecektir. Sürekli kesirlerden bahsediyoruz elbette…

Ondalık gösterimlerinde fazla öne çıkan bir özelliği bulunmayan sayılar, sürekli kesirler biçiminde yazıldığında şaşırtıcı bir biçimde simetriler ve örüntüler barındırırlar bünyelerinde. Sürekli kesirler ayrıca bize irrasyonel sayılara rasyonel yaklaşımlar üretmenin ve en akılcı sayılan yolunu sağlar.

İkinci dereceden bir denklem alalım:

\begin{equation} \htmlimage {} x^2-bx-1=0 \label{A} \end{equation}                   (1)

Her terimi x ile bölelim

\begin{equation} x=b+\frac1x \end{equation}                        (2)

Karşımıza çikan paydadaki x’in yerine 2 numaralı basamakta bulduğumuz x’i yerleştirelim.

\begin{equation} x=b+\leftb \frac1{b+\frac1x} \rightb \end{equation}                   (3)

Bu işlemi istediğimiz kadar uzatmamız mümkün elbette…

\begin{equation} x=b+\leftb \frac1{b +\frac1{b+\frac1{b+\frac1{b+\ldots }}}} \rightb \label{B} \end{equation}                    (4)

Şimdi 1 nolu denkleme dönelim ve onu bir kök bulacak biçimde çözelim

\begin{equation} x=\frac{b+\sqrt {b^2+4}}2 \label{Ba} \end{equation}

b=1 kabul edersek karşımıza Altın oran olarak tanıdığımız φ çıkacaktır.

\begin{equation} \Phi =\frac{\sqrt {5}+1}2=1+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+\ldots }}}} \label{B1} \end{equation}

Bu durumda bir sürekli kesri genel olarak aşağıdaki biçimde tanımlayabiliriz.

\begin{equation} a_0+\frac1{ a_1+\frac1{a_2+\frac1{a_3+\frac1{1+\ldots + \frac1{a_ n} + \ldots }}} } \label{C} \end{equation}

Sürekli kesirler, ilk olarak 6. yüzyılda Hintli matematikçi Aryabhata’nın lineer denklem çözümlerinde karşımıza çıkar. Devamında 15. ve 16. yüzyıllarda Avrupa’da yeniden görülmeye başlanırlar. “Kesilen kesir” terimi 1653 yılında Oxford matematikçisi John Wallis’in Arithmetica Infinitorum adlı kitabında yayınlanır. Aynı zamanda ünlü Hollandalı matematiksel fizikçi Christiaan Huygens, bilimsel araçlar geliştirmede kesirlerin pratik olarak kullanılmasını sağlar. Daha sonra, on sekizinci ve on dokuzuncu yüzyılın başlarında, Gauss ve Euler  özelliklerinin çoğunu araştırır.

22/7  kesrinin yaklaşık olarak pi sayısına eşit olduğu kabul edilir. Peki bunun nedenini öğrenmek ister misiniz?

Cevap yine sürekli kesirlerdir. Bir merdiven biçimine dönüşmüş sonsuza doğru süre uzayıp giden kesirler. İşin ilginç tarafı bütün rasyonel sayılar sınırlı sürekli kesirler biçiminde ifade edilebilir. Mesela:

Bu bir işe yaramaz ama diye düşünmeden önce size bir bilgi daha verelim. Sürekli kesirler sayesinde irrasyonel sayıların yaklaşık değerini hesaplamamız mümkündür. Şimdi pi sayımıza dönelim. Aslında tam doğru açılım şu biçimdedir.

Bu açılımı istediğimiz yerden kesip pi’nin değerini hesaplayabiliriz. Örneğin aşağıdaki kesirler pi sayısının bir kaç yaklaşık değeridir.

İlkokuldan beri öğretilen pi ifadesini hepimiz 22 sayısını 7 sayısına böldüğümüzde çıkan sonuç sanıyorduk. Aslında bu değer sadece en basit yaklaşım değeridir. Bu sayılar büyükçe pi sayısı ile arasındaki fark giderek azalacaktır.

Ancak bu işlem tüm irrasyonel sayılar için bu kadar kolay sonuca ulaştırmaz bizi. Örneğin φ sayısını ele alalım. $\phi = 1.618...$biçiminde uzayıp gider ve ardışık iki sayının birbirine bölümünden elde edilir. Bildiğiniz üzere Fibonacci dizisi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …. şeklinde devam eder.

Her bir terimin bir önceki terime bölümü giderek ” Altın orana” yani φ sayımıza yaklaştıracaktır.

Ama bu altın oranın bir inatçılığı vardır ki o da sürekli kesirler yardımı ile çok yavaş bir şekilde yaklaşılır. İşte bu nedenle bu sayıya irrasyonel sayıların inatçı olanı denir.

Aslında tek inatçı irrasyonel sayı kendisi değildir, mesela √2 sayısı.

Gördüğünüz gibi karşımızda bir başka inatçı irrasyonel sayı mevcut…

Sayıların sürekli kesir genişlemelerine bakmanın daha derin bir yönü vardır. Geometrik bir kuram olarak görülebilir. 5 tam 29/94 ‘ün sürekli kesir genişlemesine bakalım. Şimdi, kısa kenarı 29, uzun kenarı 94 olan bir dikdörtgen düşünelim.

Bu dikdörtgenden kenar uzunluğu 29 olan en fazla üç kare çıkarabiliyoruz, geriye kısa kenarı 7, uzun kenarı 29 olan bir dikdörtgen kalıyor. Bu işlemi geri kalan bölüm üzerinde tekrarladığımızda dört kare çıkarırız (çünkü 29 = 4 X 7 + l’dir); son olarak yedi birim kare çıkarırız. Sürekli kesrimiz kare sayısıyla belirlenir (3, 4, 7) ve [5; 3, 4, 7) olarak ifade edilir.
Bu sürekli kesirler bir sayının DNA’sı gibidirler. Bu mercek altında kök 2, düzenli bir sürekli kesirle ifade edilir:

√2 = [l; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 … ) Bunun sebebi, her aşamada sadece iki kare çıkarabiliyor olmamız ve bunun sonunun hiç gelmiyor olmasıdır. Aşkın e sayısı da farklı bir örüntünün işaretlerini veren düzenli bir genişlemesi olan sürekli bir kesir gösterir:

e= [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1…) Şu meşhur pi ise hala bir muammadır. Son derece düzensiz bir sürekli kesir genişlemesi vardır ve evcilleşmesi biraz zor gibidir…

π= [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, l…]

Sibel Çağlar

Kaynaklar: 

https://plus.maths.org/content/maths-minute-continued-fractions

Büyük Sorular/ Matematik –  Tony Crilly

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Sanatçının Bakış Açısı ve Metni Kurgulaması Bağlamında Matematik ve Edebiyat İlişkisi Üzerine Bir İnceleme

İnsanda hayranlık, coşkunluk, duygudaşlık, haz gibi hisleri açığa çıkaran güzel sanatlar, birbirleriyle doğrudan ya da …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');