Sorular ve Bulmacalar

Ramanujan Kökleri İle Şaşırtıcı Sonuçlar Elde Edebilirsiniz

1887-1920 yılları arasında yaşayan ve matematik konusunda dünya tarihine çok şey kazandıran Srinivasa Ramanujan yaşadığı kısacık hayatında matematik tarihinde iz bırakmış bir dâhidir. Sayılarla oynamayı seven bu genç adam ardından ilginç çıkarımlar ve formüller bırakmıştır. Örneğin sonsuz bir çarpım kullanarak üç ünlü sabit phi (altın oran), e (doğal logaritma temeli) ve π’yi birbirine bağlayan aşağıda gösterilen formül gibi ilginç matematiksel teoremler üretmiştir.

Ramanujan pi sayısının yaklaşık değerlerini hesaplamak için de yüzlerce formül geliştirmişti. Cambridge üniversitesine gelmeden önce yazdığı iki defterde 400 sayfa formül ve teorem bulunur. Ramanujan’ın formüllerinden çoğunun ne anlama geldiği yakın zamana kadar tam olarak anlaşılamadı.

.

Ancak 1980’lerin ortalarında, pi sayısını hesaplamak için, Ramanujan’ın denklemlerini kullanabileceğimizi fark ettik. Örneğin yukarıdaki ilk formülün her terimi, pi sayısının 8 yeni basamağını hesaplamamızı sağlar. Bu sayede 1985 yılında pi sayısının 17 milyon basamağını hesaplamak mümkün oldu. ( Detaylar: Sonsuzluğu Bilen Adam Srinivasa Ramanujan Ve Ayrıştırma Sayıları)

Ramanujan’ın Sonsuzluk Takıntısı Ve Ramanujan Kökleri

Çoğu matematikçi için bile uğraşması oldukça zaman alan bu gibi formüllerin yanı sıra Ramanujan sonsuz kökler ve sonsuz seriler ile de oynamayı severdi. 1911’de Hintli matematik dehası the Indian Mathematical Society’e aşağıdaki problemi yolladı. Birkaç ay boşuna cevap bekledikten sonra da çözümü buldu! Bu makalede, Ramanujan’ın çözümünün basitleştirilmiş bir versiyonuna göz atacağız.

 Ramanujan Kökleri
Solda: Srinivasa Ramanujan. Sağda: Journal of the Indian Mathematical Society’de Ramanujan tarafından ortaya atılan problem.

Günümüzde cevabın size şaşırtıcı gelse de 3 olduğunu biliyoruz. Biz de onun bu cevabı nasıl hesapladığını anlamaya çalışalım. Negatif olmayan herhangi bir x reel sayısı için aşağıdaki özdeşliği yazmamız mümkündür.

 Ramanujan Kökleri

Şimdi yukarıdaki özdeşliği bir adım ileriye taşıyalım. Bu sefer de (x + 2) yerine ((x + 1) + 1) yazalım. Bu durumda özdeşliğimiz aşağıdaki gibi gözükecektir.

 Ramanujan Kökleri

Madem başladık özdeşliğimizi geliştirmeye devam edelim. Muhtemel bu noktada Ramanujan kökleri ile ilgili kalıbı fark etmiş olmalısınız. Bu durumda şimdi yapmamız gereken (x + 3) ‘ü ((x + 2) + 1) biçiminde yazmak olacak. Artık özdeşlik aşağıdaki gibi gözükmektedir.

 Ramanujan Kökleri

Böylece süreç özyinelemeli olarak sonsuza kadar gerçekleşecektir. Bu sonucun genel gösterimi de aşağıdaki gibi olacaktır.

 Ramanujan Kökleri

Ramanujan Köklerinin İspatı

Artık elimizde genel bir denklem olduğuna göre şimdi x yerine istediğimiz bir sayıyı yazabiliriz. Orijinal sorunun cevabını elde etmek için x yerine 2 yerleştirmemiz gerekmektedir. Bu durumda sorumuzun cevabı aşağıda da gördüğünüz gibi basit bir biçimde 3 çıkacaktır.

Ayrıca genel özdeşliği elde ettiğimiz için bu özdeşlik tardımı ile x yerine farklı sayılar yerleştirerek farklı sonuçlar da elde edebiliriz. Örneğin istersek x yerine 124 yerleştirip aşağıdaki sonuca da ulaşabiliriz.

İşte Ramanujan’ın yapmaya çalıştığı şey buydu. Öncelikle bir yapı geliştiriyor, sonrasında da bu yapıya çeşitli sayılar yerleştirip bazı sonuçlar elde ediyordu. Ancak kendisinin temel matematik eğitiminin sınırlı olduğunu anımsayalım. Bu nedenle kendisi sonsuzluğun tehlikeli sularında dolaşırken bir çok kez hatalar da yapmıştı. Bunun bir örneğiniz incelemek isteyebilirsiniz. Ramanujan Toplamı: 1+2+3+4+5+6+…= -1/12

Kendi sonsuz iç içe geçmiş köklerinizi oluşturarak ilginç sonuçlar elde edebilirsiniz. Şimdiden iyi eğlenceler!


Kaynaklar ve ileri okumalar:


Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu