BEYİN JİMNASTİĞİ

Ramanujan Kökleri İle Şaşırtıcı Sonuçlar Elde Edebilirsiniz

1887-1920 yılları arasında yaşayan ve matematik konusunda dünya tarihine çok şey kazandıran Srinivasa Ramanujan yaşadığı kısacık hayatında matematik tarihinde iz bırakmış bir dahidir.

Sayılarla oynamayı seven bu genç adam ardından ilginç çıkarımlar ve formüller bırakmıştır bizlere. Örneğin sonsuz bir çarpım kullanarak üç ünlü sabit phi (altın oran), e (doğal logaritma temeli) ve π’yi birbirine bağlayan aşağıda gösterilen formül gibi beklenmedik yeni bağlantıları ortaya çıkaran ilginç matematiksel teoremler üretmiştir.

Çoğu matematikçi için bile uğraşması oldukça zaman alan bu gibi formüllerin yanı sıra Ramanujan sonsuz kökler ile de oynamayı severdi. Gelin onun izinden giderek biz de biraz uğraşalım. 1911’de Ramanujan, aşağıdaki denklemin sağ tarafını bulmaca olarak matematik günlüğüne ekledi.

Bunu nasıl ispatlayabilirsiniz? İspat için ihtiyacınız olan tek şey aslında aşağıdaki temel sonuç.

Düzenlenmiş hali


Şimdi x yerine 2, 3 ve 4 koyalım. Bu durumda 32 = 1 + 2 (4), 42 = 1 + 3 (5), 52 = 1 + 4 (6)…biçiminde sonuçlar elde ederiz. Bu denklemlerin her iki tarafının karekökünü alırsak aşağıdaki sonuçlar ortaya çıkar.

Şimdi 4 sayısının eşitini alalım ve 3 için olan köklü ifadeye yerleştirelim. daha sonra bunu diğer ifadeler içinde yapalım. Sonuçlar aşağıdaki gibi olacaktır.

Parantez içindeki son tamsayıyı bir sonraki denklemin sağ tarafıyla değiştirmeye devam edebileceğimizi görmek kolay. Böylece süreç özyinelemeli olarak sonsuza kadar gerçekleştirilebilir.

Şaşırtıcı bir sonuç değil mi? Peki bu kuralı genelleyebilir miyiz? Ramanujan, üç değişken kullanarak bu tür denklemler üretebilen genel bir ifade elde etti.

Önce f(x) = x + n + a biçiminde bir fonksiyon tanımlayalım.

Bu fonksiyonun iki tarafının karesini alıp düzenleme yaparsanız sonuçta f(x)2 = ax + (n +a)2 + xf(x + n) elde edersiniz.

Şimdi, x, n ve a’nın herhangi bir değeri için yukarıda yaptığımız yinelemeli numaranın aynısını yapabilirsiniz. Yukarıdaki örneğimiz, a = 0, n = 1 ve x = 2 yazarsak elde edilir. Kendi sonsuz iç içe geçmiş köklerinizioluştururken iyi eğlenceler!

İleri okumalar için: Solution: ‘Puzzles Inspired by Ramanujan’; https://www.quantamagazine.org/solution-puzzles-inspired-by-ramanujan-20160808/

Matematiksel

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu