Sorular ve Bulmacalar

Ramanujan Kökleri İle Şaşırtıcı Sonuçlar Elde Edebilirsiniz

1887-1920 yılları arasında yaşayan ve matematik konusunda dünya tarihine çok şey kazandıran Srinivasa Ramanujan yaşadığı kısacık hayatında matematik tarihinde iz bırakmış bir dâhidir. Ünlü matematikçiler hakkında pek çok kitap yazılmış olmasına rağmen, pek azının yaşamları hakkında uzun metrajlı bir film çekilmiştir. Dahi matematikçi Srinivasa Ramanujan bu şansı elde edenlerdendir. Onun yaşam öyküsünün bize kadar ulaşmasındaki en önemli faktör ise elbette matematikçi G.H. Hardy ve onun yazdığı kitaplardı.

Bu buluşların doğru olması gerekir, çünkü eğer doğru değillerse, hiç kimse onları icat edecek hayal gücüne sahip olamaz.

– G.H. Hardy

Sayılarla oynamayı seven bu genç adam ardından ilginç çıkarımlar ve formüller bırakmıştır bizlere. Örneğin sonsuz bir çarpım kullanarak üç ünlü sabit phi (altın oran), e (doğal logaritma temeli) ve π’yi birbirine bağlayan aşağıda gösterilen formül gibi beklenmedik yeni bağlantıları ortaya çıkaran ilginç matematiksel teoremler üretmiştir. Aşağıdaki denklem gibi, Ramanujan’ın sonuçlarının çoğu, gerçekten de ürkütücü görünen ifadeler içeriyordu.

Ramanujan Pi Sayısı İle Oynamayı Severdi

Fakir bir aileden gelen Ramanujan, ilk teoremlerini 13 yaşında formüle etti. 23 yaşına geldiğinde, kolej eğitimi almamış olmasına rağmen, Hint matematik camiasında zaten tanınan bir yerel figürdü. Ramanujan’ın hayatının sonuna kadar peşinden gideceği büyük bir takıntısı vardı: Bu da pi sayısı idi.

Bu nedenle pi sayısının yaklaşık değerlerini hesaplamak için yüzlerce formül geliştirdi. Cambridge üniversitesine gelmeden önce yazdığı iki defterde 400 sayfa formül ve teorem bulunur. Ramanujan’ın bir asır önce attığı teorik temeller sayesinde, güçlü bilgisayarlar pi sayısının ilk 10 trilyon ondalık basamağını hesapladılar.

Çoğu matematikçi için bile uğraşması oldukça zaman alan bu gibi formüllerin yanı sıra Ramanujan sonsuz kökler ve sonsuz seriler ile de oynamayı severdi. Aradan geçen zaman zarfında günümüzde bile halen matematikçiler bu dahinin denklemlerini anlamaya çalışıyorlar.

Denklemleri güncel problemlere uyguluyorlar, algoritmalar geliştiriyorlar. Ramanujan’ın dehasını anlayabilmek için bir örnek olarak, π sayısının değerini elde etmek için geliştirdiği formüllere göz atmak yeterlidir.

Ramanujan’ın formüllerinden çoğunun ne anlama geldiği yakın zamana kadar tam olarak anlaşılamadı. Ancak 1980’lerin ortalarında, pi sayısını hesaplamak için, Ramanujan’ın denklemlerini kullanabileceğimiz anlaşıldı. Örneğin yukarıdaki ilk formülün her terimi, pi sayısının 8 yeni basamağını hesaplamamızı sağlar. Bu sayede 1985 yılında pi sayısının 17 milyon basamağını hesaplamak mümkün oldu.

Ramanujan’ın Sonsuzluk Takıntısı

Dediğimiz gibi Ramanujan sonsuzluğun her hali ile oynamayı severdi. Bir çok kişi insan gibi, sonsuz iç içe kökler veya sonsuz sürekli kesirler gördüğünde konunun karmaşıklığından endişe eder. Öncelikle endişenizi giderelim. Onun sonuçlarından birini lise düzeyinde matematik bilgisi yardımı ile anlamaya çalışalım. Şimdi aşağıdaki ifadeye göz atın.

Bu soruyu, eşitini vermeden 1911’de Journal of the Indian Mathematical Society’deki bir makalesinde ele almış ve neye eşit olduğunu sormuştu. Birkaç ay geçti ve kimse bir cevap veremedi. Ramanujan sonunda, cevabın basit olduğunu söyledi ve sonsuz kökler için güzel bir genel formül olduğunu kanıtladı. Günümüzde cevabın 3 olduğunu biliyoruz. Biz de onun bu cevabı nasıl hesapladığını anlamaya çalışalım.

Aslında bu sonsuz kökler ile uğraşabilmek için ihtiyaç olan tek şey bu ifadedir. ( x + 1) 2 = 2 + 2 x + 1 = x ( x + 2) + 1. Terimler arasında düzenleme yaparsanız ( x + 1)2 = 1 + x ( x + 2) elde edersiniz. Şimdi x yerine 2, 3 ve 4 koyalım. Bu durumda 32 = 1 + 2 (4), 42 = 1 + 3 (5), 52 = 1 + 4 (6)…biçiminde sonuçlar bulacaksınız. Bu denklemlerin her iki tarafının da karekökünü alırsak aşağıdaki sonuçlar ortaya çıkar.

Şimdi 4 sayısının eşitini alalım ve1. denkleme yerleştirelim. Daha sonra bunu diğer ifadeler için de yapalım. Parantez içindeki son tamsayıyı bir sonraki denklemin sağ tarafıyla değiştirmeye devam edebileceğimizi görmek kolay. Böylece süreç özyinelemeli olarak sonsuza kadar gerçekleşecektir. Sonuçlar aşağıdaki gibi olacaktır. Şaşırtıcı bir sonuç değil mi? Peki bu kuralı genellemek mümkün mü?

Kendi sonsuz iç içe geçmiş köklerinizi oluşturarak ilginç sonuçlar elde edebilirsiniz. Şimdiden iyi eğlenceler! Göz atmak isterseniz:



Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu