Sizlere anlatacağımız “madeni para döndürme paradoksu” (Coin rotation paradox) ile aslında her gün karşılaşıyoruz. Ancak anlaşılan 1982 SAT sınavını hazırlayanlar paradoksa dikkat etmemişlerdi.
SAT (Scholastic Aptitude Test) sınavı, Amerika Birleşik Devletleri’ndeki kolej ve üniversitelere kabul için hem Amerikan vatandaşları hem de yabancı öğrenciler tarafından girilen uluslararası alanda geçerliliği olan bir sınavdır. Sınavda adayların yazılı, sözlü ve matematik yetenekleri değerlendirecek şekilde hazırlanan çoktan seçmeli soruları çözmeleri gerekmektedir.
Bu sınava girebilmek için İngilizce de gerekli yeterliliğe sahip olmanız gerekecektir. Ayrıca kimi soruları da hesap makinesi ile çözmek zorunda kalacağınız için bu tarz sorular ile daha önce karşılaşmış olmanız gerekecektir. Tüm bunlar neden anlattığımızı merak ediyorsanız konuya gelebiliriz. Konumuz 1982 SAT sınavında sorulan bir matematik sorusu hakkında.
Bu ilginç soru muhtemelen şu ana kadar SAT sınavında sorulan en zor soru idi. Soru o kadar zordu ki hiçbir öğrenci doğru cevabı bulamamıştı. Soru o kadar zordu ki, soruyu hazırlayan kişiler bile çözmeyi tam olarak başaramamıştı. Soruyu aşağıda görüyorsunuz. ( Soruyu orijinal hali ile yayınlamak istedik. Açıklamasını aşağıda yapacağız.)
Şekilde A çemberinin yarıçapı, B çemberinin yarıçapının 1/3’ü kadardır. Şekilde gösterilen konumundan başlayarak A çemberi B çemberinin çevresinde yuvarlanmaya başlıyor ve sonrasında da başlangıç noktasına geri dönüyor. Bunun için A çemberinin toplamda kaç tur atması gerekir?
Bu SAT Sorusu İle İlgili Sorun Nedir?
SAT sınavında bir öğrencinin hızlı olması gerekir. Bir çok test sınavı gibi zaman her zaman yarışılması gereken bir sınav bileşenidir. Sınavda bir soru başına yaklaşık 1 dakika düşer. Test sorusu hazırlayanlar da soruların zorluklarını buna uygun hazırlarlar.
Bu sorunun cevabı başlangıçta size 3 gibi gelmiş olmalıdır. Sonucunda B çemberinin yarıçapının A çemberinin yarıçapının 3 katı olduğunu biliyoruz. Bu nedenle B’nin çevresi de A’nın çevresinin 3 katı olacaktır. Yani küçük olan çemberi açma ve büyük olanın çevresine sarma şansını olsaydı bunu tam 3 kez yapabilirdiniz. Bu sınav sorusunu hazırlayanlar da doğru cevabı 3 olarak kabul etmişlerdi. Ancak 3 yanlış cevaptı. İşin ilginç tarafı diğer şıkların hepsi yanlıştı.
Olması gereken doğru cevap 4 idi ve bu da seçenekler arasında bulunmuyordu. Sınava giren 300.000 öğrenciden sadece üç tanesi bu SAT sorusunda bir hata olduğunu fark etti ve durumu ilgili kuruma bildirdi. Sonucunda da haklı oldukları anlaşılacaktır ve tüm kâğıtlar baştan değerlendirildi. Bu soru da daha sonraki yıllarda “Coin rotation paradox” yani madeni para döndürme paradoksu olarak adlandırılmaya başlandı. Bunun bir paradoks olarak isimlendirilmesinin nedeni de sonucun sezgilere aykırı olmasıydı.
Madeni Para Döndürme Paradoksu nedir?
Yukarıdaki soruyu biraz basitleştirelim ve değiştirelim. Bu sefer elimizde birbirinin aynı iki tane madeni paramız olsun. Aynı büyüklükte iki madeni parayı masanın üzerine düz bir biçimde koyun. Sizce görselde solda yer alan para ok yönünde ortadaki paranın etrafında döndürüldüğünde işaretli yere gelene kadar tam tur mu yoksa yarım tur mu döner?
Bu noktada cevaplar çeşitli olacaktır. Bu nedenle bizim söylediklerimize inanmıyorsanız siz de deneyebilirsiniz. Ancak denemeye üşeniyorsanız cevap tam bir tur olacaktır. Bu cevabı şeklin üzerine çizili olan kırmızı çizgiyi takip ederek de görebilirsiniz.
Bu durumda yukarıdaki şekle göre madeni paramızın başladığı noktaya geri dönene kadar iki tur atmış olacaktır. Peki ama bu fazladan tur nereden geldi? Aslında bu sorunun cevabını öncelikle aşağıdaki şekil üzerinde anlamaya çalışalım.
Eğer madeni paramızın yarıçapını r kadar kabul edersek, paramızın merkezinin aldığı yol ( kırmızı çizgi) 1/2×2πx2r=2πr kadar olacaktır. Bunun sonucunda paramızın merkezi etrafında bir tur tamamlaması için, para kendi etrafında iki defa dönmelidir. Hatalı SAT sorusu da buradan kaynaklanıyordu. İki çemberin birbirinin etrafında dönüşü durumunda, hareket halindeki çemberin kaç tur atmasını bulmak için her zaman çemberlerin çevrelerini birbirine oranlamalı ve sonrasında da bulduğunuz sonuca 1 eklemelisiniz.
Madeni Para Döndürme Paradoksunun Sonuçları SAT Sorusunun Ötesine Geçer
Güneş sistemini dışarıdan izleme şansını olsaydı, Dünya’nın bir yılda kendi etrafında dönüşünü kaç kez görürdünüz? Birçok kişi 365 ( tam olarak 365.24) dese de ama gerçek cevap 366 ( 366.24) olmalıdır. Bizim için bir gün, güneşin gökyüzünde aynı konuma dönmesi için gereken süreyi ifade eder. Öğle saatlerinde güneşin her zaman doğrudan tepemizde olduğunu kabul ederiz. Ancak Dünya kendi etrafında bir dönüşünü tamamladığında, güneş aslında henüz gökyüzündeki yerine tam olarak geri dönmemiştir. Neler olduğunu anlamak için SAT sorusuna geri dönelim.
Şekilde büyük daireyi Güneş, küçük daireyi Dünya ve noktayı da gezegenimizdeki sabit bir yer olarak düşünün. İlk şekilde ( sol) nokta için tam olarak öğle vakti olduğunu kabul edelim. Şimdi kırmızı noktanın hareketini takip edelim. Son şekle dikkatli bakalım. ( sağ) Gördüğünüz gibi dünya tam bir tur tamamladı. Kırmızı nokta başlangıç durumuna geri döndü. Ancak kırmızı noktada yaşayan herhangi biri için şu an öğle vakti değil. Bunun için dünyanın biraz daha hareket etmesi gerekiyor.
Dünya kendi etrafında dönüşünü 23 saat 56 dakikada tamamlamasına rağmen ( yıldız günü – sideral day), güneşin gökyüzünde tepedeki konumuna geri dönmesi dört dakika daha sürer. 1 Ocak 2024 tarihinde saat öğlen 12:00’da hem güneş hem de yıldız gününü ölçmeye başlasak, zamanla iki gün ölçümünün birbirinden uzaklaştığını görürüz. 6 ay sonra yıldız günü, güneş gününün 12 saat ötesinde olur. 12 ay bitiminde de fark 24 saate çıkar. Dünyada yaşayan bizler için yıldız gününü kullanmak anlamsız olsa da gökyüzünde aynı noktaya baktıklarından emin olmak isteyen astronomlar ve elbette dünya ile senkronize hareket etmek zorunda kalan uydular için durum farklıdır.
Sonuç olarak hatalı bir SAT sorusu ve beraberinde birbirinin etrafında yuvarlanan bozuk paralar bize aslında zamanı dünyamızda ve uzayda nasıl hesapladığımızı da açıklamaktadır.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- The SAT Problem That Everybody Got Wrong. Yayınlanma tarihi: 20 Haziran 2023. Kaynak iste: Scientific American. Bağlantı: The SAT Problem That Everybody Got Wrong
- The SAT Question Everyone Got Wrong. Yayınlanma tarihi: 30 Kasım 2023. Kaynak iste: Youtube/Veritasium. Bağlantı: The SAT Question Everyone Got Wrong
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
