Tarih

Rhind Papirüsü ve Matematiksel İşlemlerin Doğuşu

Mısırlılar günlük işlerinde, vergi, kredi, ücret hesaplama gibi konularda matematiğe ihtiyaç duymuşlar ve bunun yanında Nil nehrinin taşmalarına karşı önlem alabilmek için yaptıkları arazi çalışmalarıyla da geometrinin doğuşunu gerçekleştirmişlerdir. Rhind Papirüsü, yazılı matematiğin en eski belgelerinden biridir ve eski Mısır matematiği hakkındaki bilgilerimizin ana kaynağıdır. Papirüsün tarihi MÖ 1650 civarındadır ve açılış paragrafında yazar, Kral III.Amenemhat döneminden bir metni kopyaladığını belirtir. Şimdi kaybolan orijinal metin birkaç yüz yıl daha eski olmalıdır.

1858 yılında İskoçyalı antikacı Alexander Henry Rhind tarafından Nil nehrinin Ramesseum yakınındaki Thebes’te bulunmuş ve adını onun soyadından almıştır. Kâtip Ahmes (M.Ö. 1680 – 1620) tarafından yazılan papirüs, 6 metre uzunluğunda ve 35 cm genişliğindedir. 1868 yılından beri British Museum’da sergilenmektedir.

Rhind Papirüsü
Rhind Papirüsü vurgulu bir cümleyle başlar: “Her şeyin ayrıntılı çalışması, var olan her şeye derinlemesine bakış, üstü kapalı tüm sırların bilgisi.”

Rhind Papirüsünde Bulunan Bazı Matematiksel Bilgiler

Papirüsün içerisinde kesirli sayılar, paylaşım hesabı, faiz hesabı, alan hesabı gibi konuların yanında saatin 60 dk., günün 24 saat ve dairenin 360 derece oluşu, pi sayısı ve Pisagor teoreminin temel bilgileri gibi pek çok önemli matematiksel bilgiler vardır. Birim kesirler, doğrusal denklemler ve çözümleri, üçgen, dörtgen, yamuk, paralelkenarın alanları, trigonometriye ilk adım, dairenin alanı, benzer üçgenler de içeriğinde yer alan diğer konulardır. Rhind Papirüsü uygulamalı matematik el kitabı gibidir; çünkü içeriğinde çarpma ve bölme işlemlerinin, denklem çözümlerinin, günlük pratik matematiksel hesaplamaların nasıl yapılacağına dair 85 problem içerir. Eski uygarlıklarda hesaplama yöntemlerinin bugün kullandığımız modern çarpma ve bölme algoritmalarından farklı olması nedeniyle bu özellikle Mısırlıların çarpma ve bölmeyi yapış biçimleri ilginçtir.

Rhind Papirüsünde çarpma ve bölme işlemleri nasıl yapılır?

Mısırlılar toplama ve çıkarma işlemlerini bilinen yöntemle kolaylıkla yaparlarken; çarpma ve bölme işlemleri için özünde yinelemeli toplama işlemini kullanmışlardır. Şöyle ki, iki sayının çarpımı için sayılardan birini tekrarlı biçimde ikiye katlayarak yeni sayı elde etmişler ve bu sayılardan uygun olanlar arasında toplama işlemi yaparak sonucu bulmuşlardır. Örneklendirme için 19 ve 71 sayılarının çarpımını kullanalım. Çarpan olarak 71 seçilsin.

19’un İçinde Bulunan 2’nin Katları71 Sayısının Katları
171
2142
4284
8568
161136
Mısırlılar çarpma işlemi

16’dan sonra gelen çarpan 19’dan büyük olacağından 2’ye katlama işlemi burada durdurulur. Sol tarafta yer alan sayılardan hangilerinin toplamının 19 yaptığına bakmamız gerekir. Örneğimizde 16 + 1 + 2 = 19 olduğu için sağ taraftaki sütundan bunların karşılıklarını toplamalıyız. Bu durumda 71 + 142 + 1136 = 1349 bizim çarpımımız olacaktır. İki katını alıp toplayarak çarpım bulma işlemi Rus çarpımı olarak da adlandırılmaktadır. Bu yöntemin ilginç yanı çarpım tablolarını gereksiz kılmasında yatar.

“Pek çok bilim alanında yeni bir nesil, eskisinin yaptığını yıkar ve birinin kurduğunu yok eder. Sadece matematikte, yeni nesil eskisinin üzerine yeni bir hikâye inşa eder.” – Hermann HANKEL

Eski Mısırlılarda bölme işlemi de benzer mantıktadır. Bölüneni bulmak için bölenin iki katının tekrarlayan biçimde toplamının alınmasıyla -yani tersten çarpma işlemin yapılmasıyla- gerçekleşir. Örneğin 91 sayısını 7’ye bölmek isteyelim. Aslında 7x = 91 eşitliğindeki x sayısını bulmak istiyoruz. x sayısını elde etmek için 7’nin tekrarlı 2 katı alınarak 91 sayısının elde edilmesi amaçlanır.

2’nin Katları7 Sayısının Katları
17 *
214
428 *
856 *
Mısırlılar bölme işlemi

7 + 28 + 56 = 91 olduğundan bu sayılara karşılık gelen 1 + 4 + 8 = 13 sayısı bulunmak istenen x sayısını gösterecektir. Elbette bölme işlemi her zaman bu kadar kolay olmayabilir. Kesirli işlemler devreye girdiğinde işin rengi biraz değişir. Mesela 35 sayısını 8’ e bölmek isteyen biri öncelikle 8’in 2 katını alarak işleme başlar ve işlemin adımları sonuç 35 sayısını geçtiğinde durur. Nihai olarak da işlemi yapan kişi, bölen sayısının yarısını alır. Aşağıdaki resimde işlemin adımları görülür. 8x = 35 eşitliğindeki x sayısının ne olduğunu elde etmek isteyen kişi 4 + ¼ + 1/8 = 4,375 sayısını bulacaktır.

19’un İçinde Bulunan 2’nin Katları8 Sayısının Katları
18
216
432 *
1/24
1/42 *
1/81 *

Antik Mısırlılar Kesirli İşlemleri Nasıl Yaptılar?

Eski Mısırlıların aritmetiği ile ilgili en dikkat çekici gerçek, kesirlerle ilgili yaptıkları çalışmalardır. Başa çıkmak zorunda oldukları tüm kesirleri birim kesirlerin toplamı biçiminde hesaplamışlardı. Ancak 6/7 kesrini; 6/7 = 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 olarak yazmak yerine –böyle bir gösterimi mantıksız bulma ihtimalleri var; çünkü onlara göre bir sayının kullanımı yalnızca 1 kere gerçekleşebilir- 6/7 = ½ + ¼ + 1/14 + 1/28 olarak göstermişlerdir. Yani 6/7 sayısının sonucunu yinelemeli toplama işlemi mantığıyla çözümlemişlerdi.

Rhind Papirüsü ilk yirmi dört birim kesir açılımını göstermektedir. Günümüzde matematikçiler, birkaç farklı birim kesrin herhangi bir toplamı için “Mısır kesri” terimini kullanır.

Tablo birim kesir genişletmesi elde etmek için bir kısayol göstermektedir. Payı 2 olan sadeleşmeyen bir kesir 2/n biçiminde gösterilir. Bu onun aynı zamanda p ve q tek sayılar olmak üzere her zaman 2 / p.q biçiminde yazılabileceği anlamına gelir. Papirüsün içeriği tercüme edildiğinden beri tarihçiler şu soruyu sormaktadır: Örneğin n = 19 sayısı için 2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114 gösterimi yapılmış da 2/19 = 1/12 + 1/57 + 1/228 olarak ayrılmamıştır? Dolayısıyla tablodaki her çözümün neye göre seçilmiş olduğunu gösteren kesin kanıt yoktur. Papirüsü yazan Ahmes’in bazı prensiplere göre hareket ettiği düşünülürse aşağıdaki durumlar bu papirüsün yazımında ortaya çıkmış olabilir:

  • 1000’den büyük olmayan küçük paydalar tercih edilmiştir.
  • Sayısı dördü geçmemek kaydıyla ne kadar az birim kesir kullanılırsa o kadar iyidir.
  • Özellikle ilk terim için paydası çift sayı olan birim kesirler tek olanlara göre daha çok tercih edilmiştir.
  • Paydası küçük olan kesir önce yazılmalıdır ve aynı kesir iki kere yazılamaz.
  • İlk başta yazılan kesrin paydası küçülecekse diğer kesirlerin paydaları büyültülebilir. Örnek olarak 2/31 kesri için; 2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155 toplamı yerine 2/31 = 1/18 + 1/186 + 1/279 tercih edilebilir.

Rhind Papirüsünden 3 Problem

  • Papirüs, birkaç tane ‘tamamlama’ problemi içermektedir. Genellikle birkaç birim kesrin toplamıyla başlayan ve 1 sayısını elde etmek için bulunması gereken diğer birim kesirleri ne olduğunu soran problemleri barındırır. Mesela 22.problemde “2/3 + 1/30 toplamından 1 elde etmek için eklenmesi gereken birim kesirler ne olmalıdır?” sorusunun cevabı aranmıştır.
  • 24. problemde “bir sayıya 1/7’si eklendiğinde 19 olan sayı kaçtır?” gibi bir bilinmeyenli denkleme ait basit sorular yer almıştır. Bu problemin modern gösterimi olarak “x + x/7” biçimindedir. Mısırlılar bu sorunun çözümünü deneme yanılma yöntemi ile bulmaya çalışmıştır.
  • En eski “Aklından bir sayı tut” formatlı papirüsün 28. problemi ise şöyledir: Bir sayı düşünün. Bu sayıya kendisinin 2/3’ünü ekleyin. Elde edilen toplamdan 1/3’ünü çıkarın ve cevabı bulun. Papirüste bu problemin çözümü ayrıntılı biçimde açıklanmıştır.

Bu papirüs tarım toplumu olan Mısırlıların kaygılarını içeren bir dua ile sonlanmakta: “Haşarat ve fareleri yakala, zararlı otları yok et; ısı, rüzgâr ve su bolluğu için Tanrı Ra’ya dua et!”

Kaynakça:

Matematiksel

Olgun Duran

Ömür boyu öğrencilik felsefesini benimsemiş amatör tiyatro oyuncusu ve TEGV gönüllüsü; kitaplarından, doğaya hayranlığından, yeni yerleri görmekten, gittiği yerlerin kültürünü keşfetmekten ve bunların uğruna çabalamaktan vazgeç(e)meyen kişi...  

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

İlgili Makaleler