İki sayıyı geleneksel yöntemlerle çarparken zorlandığınız oldu mu? O hâlde bu yazıda, yalnızca ikiye bölme, iki katına çıkarma ve toplama işlemlerine dayanan iki eski çarpma yöntemiyle tanışacaksınız. İlk yöntemimiz, günümüzde Rus köylü çarpımı adıyla bilinen teknik.
Rus köylü çarpımı nasıl yapılır?
Yöntemi uygulamak için çarpmak istediğiniz iki sayıyı yan yana, iki ayrı sütunun en üstüne yazın. Sol sütundaki sayıyı her adımda ikiye bölün. Sonuç kesirli çıkarsa ondalık kısmı atın ve yalnızca tam sayıyı yazın. Sol sütunda 1’e ulaşıncaya kadar aynı işlemi sürdürün.
Sağ sütundaki sayıyı ise her adımda iki katına çıkarın. Başka bir deyişle, sayıyı kendisiyle toplayarak bir alt satıra yazın. Böylece bir sütunda sayılar giderek küçülürken diğer sütunda giderek büyür.
Sonraki adım oldukça basittir. Sol sütundaki sayılara bakın ve çift sayı bulunan satırların üzerini çizin. Ardından sağ sütunda kalan sayıları toplayın. Elde ettiğiniz toplam, çarpma işleminin sonucudur.
Sayıların yerini değiştirmeniz sonucu etkilemez. Hangi sayıyı sol, hangisini sağ sütuna yazarsanız yazın aynı çarpıma ulaşırsınız. Örneğin 27×13 işlemini Rus çarpımıyla yapalım.
Rus Çarpımı Neden İşe Yarıyor?
Rus çarpımının temelinde ikilik sayı sistemi vardır. Sol sütundaki sayı her adımda ikiye bölünürken, sağ sütundaki sayı iki katına çıkar. Sol sütunda tek sayı bulunan satırlar, çarpanın ikilik gösterimindeki 1’lere karşılık gelir. Çift sayı bulunan satırlar ise 0’ları temsil ettiği için hesaba katılmaz. Böylece sağ sütunda yalnızca gerekli katlar kalır ve bunların toplamı çarpımın sonucunu verir.
Örneğin 13×27 işlemini ele alalım. 13 sayısının ikilik gösterimi 13=(1101)2 biçimindedir. Bu da 13=8+4+1 anlamına gelir. Dolayısıyla 13×27 = (8+4+1)×27 = 216+108+27 = 351 olur.
Bu yöntem, üç basamaklı sayılarda da çalışır. Hatta yöntem sayıların basamak sayısından bağımsızdır. Ancak büyük sayılarda satır sayısı arttığı için yöntem pratik olmaktan çıkacaktır.
Mısır Çarpması Nedir?
Antik Mısırlılar çarpma işlemini, bir sayıyı tekrar tekrar iki katına çıkarıp gerekli sonuçları toplama yoluyla yapıyordu. Bu yöntemin örneklerine, yaklaşık MÖ 1650’de kâtip Ahmes tarafından kopyalanan Rhind Matematik Papirüsü’nde rastlanır. Papirüsteki metin daha eski bir kaynağa dayanır ve Antik Mısır matematiğine ilişkin en önemli belgelerden biridir.
Mısır çarpmasını uygulamak için önce iki sütun oluşturulur. Sol sütuna 1, sağ sütuna ise çarpanlardan biri yazılır. Daha sonra her iki sütundaki sayılar sırayla iki katına çıkarılır. Sol sütun böylece 1, 2, 4, 8, 16,…biçiminde ilerler. İşleme, ilk çarpanı aşmadan önceki en büyük kuvvete ulaşıncaya kadar devam edilir.
Sonraki adımda, sol sütundaki sayılardan hangilerinin toplamının ilk çarpanı verdiğine bakılır. Örneğin ilk çarpan 85 ise 85=64+16+4+1 biçiminde olacaktır. Bu nedenle sol sütunda 64, 16, 4 ve 1’in bulunduğu satırlar seçilir. Ardından bu satırların sağındaki sayılar toplanır. Elde edilen toplam, çarpma işleminin sonucudur.
Mısır Çarpması Neden İşe Yarıyor?
Mısır çarpması, bir sayının ikinin kuvvetlerinin toplamı biçiminde yazılabilmesine dayanır. Bizim örneğimizde: 85=64+16+4+1 biçimindedir. Bu nedenle 85×18=(64+16+4+1)×18 olarak da yazılabilir.
Dağılma özelliğini kullandığımızda 85×18=(64×18)+(16×18)+(4×18)+(1×18) sonucunu elde ederiz. Dikkat ederseniz, tabloda seçtiğimiz sağ sütun değerleri de tam olarak bu çarpımlardır. Bu nedenle sonucumuz 1152+288+72+18=1530 olur.
Yöntem, bir sayıyı ikinin kuvvetlerinin toplamına ayırıp diğer sayının uygun katlarını topladığı için çalışır. Antik Mısırlıların bu yapıyı genel bir matematik kuralı olarak kanıtlayıp kanıtlamadığını bilmiyoruz. Ancak yöntemin uygulamada doğru sonuç verdiğini biliyorlardı. Üstelik benzer bir hesaplamayı bölme için de yaptılar.
Mısır Yöntemiyle Bölme Nasıl Yapılır?
Aynı iki katına çıkarma tablosu bölme işleminde de işe yarar. Örneğin 1495÷65 işlemini yapalım. Önce 65’in katlarını iki katına çıkararak yazalım. Bu sayıların karşısındaki sol sütun da yine 1, 2, 4, 8, 16…biçiminde ilerlesin.
Şimdi sağ sütunda toplamı 1495 eden değerleri seçelim: 1040+260+130+65=1495. Bu satırların sol sütundaki karşılıkları 16, 4, 2, 1 biçimindedir. Bunları topladığımızda 16+4+2+1=23 sonucunu elde ederiz. Bu nedenle 1495÷65=23 olur.
Sonuç olarak;
Günümüzde okullarda öğrendiğimiz çarpma yöntemi, sayıları basamaklarına ayırmayı ve elde edilen ara sonuçları yeniden birleştirmeyi gerektirir. Rus ve Mısır çarpımında ise işlem çok daha sade bir mantıkla ilerler: sayılardan biri yarıya bölünür, diğeri iki katına çıkarılır ve uygun değerler toplanır. Bu yöntemler sayesinde çarpım tablosunu ezberlemeden de büyük sayılarla işlem yapmak mümkündür.
Okuma Önerisi: Çarpım Tablosu İçinde Saklanan Simetrileri Keşfedin
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- The Russian Way to Multiply Is So Much Cooler Than Ours. Yayınlanma tarihi: 6 kasım 2020; Bağlantı: https://www.popularmechanics.com/
- Russian Multiplication – Numberphile; Yayınlanma tarihi: 4 Şubat 2020; Bağlantı: https://www.youtube.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
