Geometri

Bütün Üçgenler Aslında İkizkenar Üçgendir!

Başlıkta okuduğunuz cümle elbette yanlıştır. Bütün üçgenler ikizkenar üçgen değildir. Ancak bir çok insanın basit bir hata neticesinde bu çıkarıma ulaşması mümkündür.

ikizkenar üçgen evler

Geometrik hatalar, tanım eksikliğinden kaynaklanan hatalı çizimler sonucunda ortaya çıkar. Eski zamanlarda bazı matematikçiler geometrik bulgularını çoğu zaman bir çizim olmadan tartışıyorlardı. Sonrasında bu bulgular çizildiğinde, tanımda ufak da olsa herhangi bir eksiklik olunca, sonuçta bazı mantıksız şekiller çıkabiliyordu. Bunun güzel bir örneği herhangi bir üçgenin ikizkenar olduğunun, yani üç kenarı farklı uzunluklarda olan bir üçgenin aslında eşit iki kenarı olduğunun ispatıdır. Bu gülünç sonucu ortaya çıkarmak için bu kısa yolculuğa çıkacağız.

İkizkenar Üçgen Yaratalım!

ABC çeşitkenar bir üçgen olsun. C açısının açıortayını ve AB’nin kenar orta dikmesini çizin. Bunların kesişim noktasına G deyin. G noktasından AC ve CB kenarlarına dikme indirin ve bunları D ve F noktaları biçiminde isimlendirin. Başlangıçta nasıl bir çeşitkenar üçgen ele aldığınıza bağlı olarak bu noktaya kadar aktardıklarımızı çizdiğinizde 4 farklı şekil elde edersiniz. Bu dört şekli aşağıda görebilirsiniz.

CG açıortayı ile GE kenar orta dikmesinin olası kesişme noktalarına göre elde edeceğimiz çizimler

Bütün üçgenlerin aslında bir ikizkenar üçgen olduğunun kanıtı, bu dört şeklin herhangi biri ile yapılabilir. Şimdi AC = BC’nin (veya ABC üçgeninin ikizkenar olduğunu) kanıtlamaya başlayalım. Elimizde bir açıortayımız olduğu için her durumda ACG açısı ile BCG açısı birbirine eşittir. Elimizde iki de dik açımız olduğuna göre CDG üçgeni ile CFG üçgeninin birbirine eş olduğunu söyleyebiliriz. (Açı Kenar Açı özelliği). Bu durumda DG = FG ve CD = CF sonuçlarını elde ederiz.

EG yani kenar orta dikmenin üzerindeki bir nokta köşelerden eşit uzaklıktadır. Bu nedenle AG= BG olmalıdır. Ayrıca ADG ve BFG dik açılardır. Kenar Açı Kenar eşlik bağıntısı sonucunda DAG üçgeni ile FBG üçgeni de birbirine eştir. Bu durumda DA=FB diyebiliriz. Gerekli çıkarmaları yaptığımızda da AC = BC elde edebiliriz. Tebrikler! Şu an bir çeşitkenar üçgenden ikizkenar üçgen elde ettiniz!

Nerede Hata Yaptık!

Muhtemel kafanız karışmıştır. Peki ama hata nerede diye sorguluyor olabilirsiniz. Şimdi hatayı açıklayalım. Bunun için tersten yola çıkalım. Öncelikle G noktasını üçgenin dışında kabul edelim. Sonrasında da G noktasından kenarlara çizdiğimiz dikmelerden bir tanesinin ilgili kenarı üçgenin içinde diğerinin de üçgenin dışında kestiğini düşünelim. Şimdi de ABC üçgeninin çevrel çemberini çizelim. Çevrel çember, geometride, bir çokgenin tüm köşelerinden geçen çemberdir. Şeklimiz aşağıda görüldüğü gibi olacaktır.

ACB açısının açıortayı, AB yayını M noktasında kessin. Bu nokta yayın ortası olmak zorundadır. AB kenarının orta dikmesi de aynı biçimde AB yayını ikiye bölmelidir. Bu durumda iki doğru, çevrel çember üzerinde bulunan M ( ya da G) noktasında kesişir. Bu durumda yukarıda verdiğimiz çizimlerden ilk ikisinin olması mümkün değildir.

Şimdi ACBG dörtgenine bakalım. Bu dörtgen çevrel çember üzerindedir ve ilgili kurallar nedeniyle karşılıklı açıların toplamı 180 derece olmalıdır. CAG ve CBG açıları dik açı olsaydı, CG bir çap olurdu ve ABC üçgeni ikizkenar olurdu. Ancak ABC üçgeni çeşitkenar olduğundan CAG ve CBG açıları dik açı değildir. Bu durumda biri dar diğeri ise geniş açı olmalıdır.

CBG açısının dar ve CAG açısının geniş olduğunu varsayalım. O zaman CBG üçgeninde CB kenarına ait yükseklik üçgenin içinde, CAG üçgeninde ise AC’ye ait yükseklik üçgenin dışında olmalıdır. Yani diklerden sadece biri üçgenin bir kenarını köşeler arasında kesmelidir. “AC ve CB kenarlarına dikme indirin.” biçiminde başlangıçta verdiğimiz yönergede hata vardır. Bu nedenle de sonrasında çizdiğimiz üçgenlerin hepsi hatalıdır. Basit bir hata ne fark eder ki demeyelim. Sonuç ortada. Hatta benzer bir şekilde tüm çeşitkenar üçgenlerinin aslında eşkenar olduğunu da ispatlayabilirsiniz. ( Kaynaklarda ispatı mevcuttur.)



Kaynaklar:

  • All triangles are isosceles; http://jdh.hamkins.org/
  • Alfred S. Posamentier and Christian Spreitzer; The Lives and Works of 50 Famous Mathematicians;  ISBN-10 ‏ : ‎ 1633885208

Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu