Temel Matematiksel Kavramlar

Matematikte Optimizasyon Nedir? Neden Önemlidir?

Bazen belli görevleri yerine getirmek için en iyi seçimleri yapmamız gerekir. Genellikle bu, bazı işlevlerin maksimum veya minimum değerini bulmak demektir. Örneğin çoğu zaman, belirli bir yolculuk harcanacak minimum süreyi, bir görevi yapmak için minimum maliyeti, bir cihaz tarafından üretilebilecek maksimum gücü hesaplamak gerekir. Aslında gerçek hayatta karşılaşılan problemlerin çoğu optimizasyon ile ilgilidir. Çözülmesi gereken sorunu cebir kullanarak matematiksel olarak ifade edebiliyorsak o zaman bir çözüm bulma şansımız yüksektir.

Aslında optimizasyon konusuna ve sorularına lise düzeyinde eğitim alan her öğrenci aşinadır. Ancak okul sürecinde genelde hedeflenen en kısa sürede bir soruya doğru cevabı bulmaktır. Bu nedenle kullanılan bilginin önemi ile ilgili kavrayış sürece genelde eşlik etmez. Şimdi basit bir soru ile başlayalım.

Bir Optimizasyon Problemi

Eski zamanlarda bir şövalye olsun ve bu şövalye oğullarına düğün hediyesi olarak 100 metrelik bir halatla kuşatabilecekleri en büyük toprak parçasını vermeyi vaat etsin. Ancak bir şartı var. Bu toprak parçasının bir kenarı, kendi arazisinin mevcut duvarlarından birisi olmalı. Aynı zamanda şekil dikdörtgen biçiminde olmalı. Oğullarından matematiği daha iyi olan en büyük parçayı alacak. Soruyu modellersek aşağıdaki gibi bir şekil elde ederiz.

Halatımız 100 metre. Genişlik için g, uzunluk içinde u harflerini kullanırsak elimizde 2g+u=100 biçiminde bir denklemimiz var. Buradan u=100-2g sonucunu elde edebiliriz. Amacımız alanı maksimum hale getirmek. Dikdörtgenin alan formülünü biliyoruz. Bu durumda uzunluk ile genişliği hemen çarpalım. Son durumda Alan=A= u.g= (100-2g).g=100g-2g2 biçiminde bir sonuca ulaşırız.

Gördüğünüz gibi yukarıda oluşturduğumuz alan formülümüz genişliğe bağlı. Bu noktada genişlik için değerler yazarak çeşitli alanlar hesaplayabilir, sonra da aralarından en büyük olanı seçemeye çalışılabiliriz. Ancak bu fazla pratik bir süreç sayılmaz. Bu noktada grafik çizmek daha iyi bir seçenek olacaktır. Aşağıdaki grafiğe baktığınızda görebileceğiniz gibi genişlik 25 olduğu zaman grafik maksimum noktasındadır. Grafiğe ya da bu değeri yerine koyarak 1250 metrekarelik maksimum alanı elde edebiliriz.

Sorunun Cebirsel Çözümü

Yukarıda aktardığımız süreç grafik çözümdü. Peki, maksimum ya da minimum değerler hesaplamalar yapmamız gerektiğinde başka yöntemler yok mu derseniz cevap evet olacaktır. Öncelikle A= 100g-2g2 denklemimizi A=-2( g2-50g) biçiminde düzenleyelim. İkinci dereceden bir denklemi tam kareye tamamladığınızda size maksimum ya da minimum noktasını söyleyebilir.

Lise yıllarından cebir bilginizi anımsarsanız ( g2-50g) tam kareye tamamlanınca (g-25)2 -625 biçiminde olur. Bunu yerine yazarsak A=-2[(g-25)2 -625] elde ederiz. Düzenlemeler sonucunda A=-2(g-25)2 +1250 buluruz. Elimizde bir alan formülü var ve içinde negatif bir bölüm barındırıyor. Alanı maksimum duruma getirmek için negatif kısmı mümkün oldukça küçük tutmak gerekiyor. Bu da g=25 olduğunda gerçekleşecektir. Bu durumda alanımız ise yine 1250’dir. Yani şövalyenin oğlu genişliği 25 metre, uzunluğu ise 50 metre olan bir dikdörtgen yapabilir. Çözüm sizi mutlu ettiyse acele etmeyin. Bu yöntemler sadece ikinci derece denklemlerde işe yarar. Peki ya optimize etmek istediğimiz şekil daha farklı ve formül daha yüksek dereceden bir denklem ise ne yapacağız?

Optimizasyon ve Kalkülüs

Kalkülüs olmasaydı ne yörüngede dolaşan uydular olurdu, ne ekonomi kuramı, ne istatistik ne de optimizasyon hesabı. . Değişimin olduğu her yerde karşımıza kalkülüs çıkar. Türev alma işlemi de bir değerin değişim oranını hesaplamamızı sağlayıp grafik çizmeden maksimum ve minimum noktalarını bulmamızda işimize yarar. Türev almanın temel mantığı eğimi hesaplamaktır. Bir dağın zirvesinde ya da vadide de eğim yoktur. Düz bir şeyin eğimi sıfırdır. Eğimin sıfır olduğu noktalara bakarak da maksimum ya da minimum noktalarını bulmak mümkündür.

Türev almanın neden ve nasıl yapıldığının detayları bu yazının konusu değil. Merak edenler herhangi bir lise son sınıf ders kitabında ilgili kuralları bulabilirler. Türev alma en basit tanımı ile bir denklemi bir eğim denklemine dönüştürür. Bunu yapmak içinde en basit hali ile “xn” ifadesini “n.xn-1 ” haline getirir. Yukarıdaki örneğimizle hareket edersek A=100g-2g2 denkleminin türevi 100-4g biçiminde olacaktır. Bu bizim eğim denklemimizdir. Maksimum noktada eğim sıfır olacağı için de bu ifadeyi sıfıra eşitlersek g=25 sonucunu bir kere daha elde ederiz.

Kaynaklar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Yola Kadıköy Anadolu Lisesi ile başladım. Ardından gelen tesadüfler, zamanında pek de sevmediğim, matematik ile yolumu kesiştirdi. Sonucunda Marmara Üniversitesinde İng. Matematik öğretmenliğinden mezun oldum. Zaman akıp gitti; bu süreçte ben de çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. Bu esnada da bol bol matematik ile ilgili serzenişlere şahit oldum. Ne yapmalı diye düşünürken, aklıma bu site fikri geldi. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ve özelinde matematiğe ilgiliyi arttırmaktı. Matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarının da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Yolumuz uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Başa dön tuşu