Matematik Öğrenelim

Matematik Tarihindeki İlk Kriz: √2’yi Normal Bir Sayı Olarak Kabul Etmeyi Nasıl Başardık?

Eski Yunanlılar, evrenin tam sayılar ve bunlar arasındaki oranlar yani rasyonel sayılarla anlaşılabileceğini düşünüyordu. Hatta buna inanıyorlardı bile. Fakat sonra öyle bir şey keşfettiler ki, matematik tarihinin ilk krizi olarak adlandırabileceğimiz bir krizin içine düştük.

Matematik Tarihindeki İlk Kriz: √2'yi Normal Bir Sayı Olarak Kabul Etmeyi Nasıl Başardık?

Elbette bu krizin sebebi Eski Yunanlıların köklü sayıları keşfetmiş olmalarıydı. Kulağa biraz komik gelmiş olabilir, haklısınız. Ne de olsa günümüzde kimse köklü sayılara bu denli şaşırmıyor. Ortaokul matematik eğitimini tamamlamamış öğrenciler hariç tabi. Çünkü onlar için de köklü sayılar oldukça anlamsız.

Peki neden Eski Yunanlılar ve küçük çocuklar için köklü sayılar anlamsızdır? Sebebi son derece açık, köklü bir sayıyı somut olarak gösteremezsiniz de ondan. Doğaya bakıp 2 ağaç, 5 taş göstermek mümkündür ama √2 at gösteremezsiniz. Eski Yunanlıların evreni tam sayılar ve bunlar arasındaki oranla anlamlandırdıklarını başta söylemiştik. Bu görüşü özellikle Pisagorculukta da görürüz. Zaten bu krizin de Pisagor zamanında yaşandığı anlatılır.

Rivayete göre Pisagor’un öğrencilerinden biri, kenarları 1 birim olan bir karenin köşegen uzunluğunu hesaplamayı dener. Ancak çıkan sonuç daha önce bilinmeyen cinsten bir şeydir. Bu da Pisagorculuk’un anlatılarına ters düştüğünden bu öğrencinin öldürüldüğü söylenir.

Matematik Tarihindeki İlk Kriz: √2'yi Normal Bir Sayı Olarak Kabul Etmeyi Nasıl Başardık?
Pisagorcular evreni sayıların yönettiğine inanıyordu. Bu nedenle √2 gibi bir ifade inanışlarına ters düşüyordu. Bu ilk matematik krizine neden olacaktı.

Bu olaydan sonra köklü sayılar ve özellikle de √2, uzun yıllar anlaşılamadı. Bugün ise durum bundan farklı. Köklü sayıları herhangi bir sayı kümesi gibi görüyor ve kullanıyoruz. Peki bu noktaya nasıl geldik? Gelin birlikte √2’nin matematik tarihinde yarattığı krizi birlikte inceleyelim.

İlk Matematik Krizini Nasıl Çözdük?

Kenarları 1 birim olan karenin köşegen uzunluğunu hesaplayan Eski Yunanlılar, “Hangi sayının karesi 2 eder?” sorusuyla karşı kalmıştı. Rasyonel sayıları ve tam sayıları düşündüğümüzde bu soru cevapsızdır. Bu nedenle Eski Yunanlılar sonucun bir rasyonel ya da tam sayı olmadığını biliyorlardı ancak ne olduğunu bilmiyorlardı.

İşte matematik dünyası çok uzun yıllar bu belirsizlikle yaşamaya devam etti. Daha sonra 1800’lerin ortalarında Richard Dedekind, kalkülüsün temellerinde bir sallantı fark etti. Az ama öz çalışan, yetenekli ancak çekingen bir matematikçi olan Dedekind, öğrencilerine sürekli fonksiyonları öğretirken rastlamıştı bu sallantıya. Çünkü mevcut temeller üzerinden bir fonksiyonun sürekli olmasının ne anlama geldiğine dair tatmin edici bir açıklama yapamıyordu.

Richard Dedekind (1831 – 1916), sayılar teorisi, soyut cebir konularına önemli katkılarda bulunan bir Alman matematikçiydi. En çok Dedekind kesimi kavramı aracılığıyla reel sayıların tanımlamasıyla tanınır. Ayrıca modern küme teorisi ve mantıkçılık olarak bilinen matematik felsefesinin gelişiminde öncü olarak kabul edilir.

Hatta Dedekind’e göre fonksiyonlar doğru dürüst tanımlanmamıştı bile. Ve bunun sayılar aleminin nasıl işlediğini anlamamamızdan kaynaklı olduğunu düşünüyordu. Ona göre √2 ile √3’ü çarptığımızda √6 edeceğinden nasıl emin olabilirdik ki? Bunun üzerine Dedekind, rasyonel sayıları kullanarak irrasyonel sayıları tanımlayacak bir yol ortaya koydu: Dedekind kesimi.

İrrasyonel Sayıları Tanımlamamızı Sağlayan Dedekind Kesimi Nedir?

Richard Dedekind, 1872 yılında yukarıda bahsettiğimiz sebeplerden ötürü Dedekind kesimi (Dedekind cut) yöntemini geliştirdi. Dedekind, reel sayıların sıralı bir süreklilik oluşturduğunu, dolayısıyla herhangi iki x ve y sayısının x<y, x=y ve x>y koşullarından yalnızca birini sağlaması gerektiğini düşünüyordu.

Daha sonra bu sürekliliği X ve Y gibi iki alt kümeye ayıran bir kesim varsaymıştır. Öyle ki x, X’in bir elemanıysa ve y de Y’nin bir elemanıysa x<y’dir. Kesim, X’in en büyük Y’nin de en küçük elemanına denk gelecek biçimde yapılırsa kesim bir rasyonel sayıya karşılık gelecektir. Ancak kesim X’in en büyük rasyonel elemanına, Y’nin de en küçük rasyonel elemanına karşılık gelecek şekilde yapılırsa kesim irrasyonel bir sayıya karşılık gelecektir.

√2 irrasyonel sayısının Dedekind kesimiyle elde edilişini gösteren bir çizim.

Bunu bir örnekle açıklayalım. Diyelim ki bir grupta karesi alındığında 2’den küçük olan sayıları, diğerindeyse karesi 2’den büyük olan sayıları topladık. İşte bu iki küme arasındaki boşluğu bir sayı doldurur. O da √2’dir.

Elbette irrasyonel sayıların dünyasını açıklığa kavuşturmaya çalışan bir tek Dedekind değildi. O sıralar Georg Cantor da irrasyonel sayılar üzerine düşünmeye başlamıştı. Cantor, irrasyonel sayıları her biri belli bir irrasyonel değere yakınsayan rasyonel sayı dizileri cinsinden ifade etti. Onun bu tanımı başlangıçta Dedekind’inkinden farklı görünse de, matematikçiler daha sonra bu ikisinin eşdeğer olduğunu kanıtlamıştır.

Sonuç olarak;

Kenarları 1 birim olan bir karenin köşegen uzunluğunu bulmayla başlayan kriz, bugün irrasyonel sayılar kümesinin tanımlanmasıyla çözülmüştür. Bize bu çözümü getiren Dedekind kesimi ise kimi matematikçiler tarafından modern matematiğin başlangıcı olarak nitelendirir.

Cantor ise irrasyonel sayıların ne olduğuyla ilgilenirken başka bir şey daha görmüştü. Sayı kümeleriyle ilgilenirken kaç tane sayı olduğu üzerine kafa yormuş ve farklı sonsuzlukların olduğunu görmüştü. Kısacası √2 sayısı bize bambaşka kapıları aralamıştı.

Kaynaklar ve İleri Okumalar


Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu