Ünlü Matematikçiler

Georg Cantor: Çağının Ötesinde Bir Matematikçi

Georg Cantor küme ve sonsuzluk kavramlarının ciddi bir şekilde ele alınması gerektiğini, ciddiye alınmazsa içinden çıkılmaz paradokslarla boğuşacağımız düşüncesini dile getiren ilk kişidir. Fransız matematikçi Henri Poincaré (1854–1912), Cantor’un fikirlerinden matematik disiplinini etkileyen “ciddi bir hastalık” olarak bahsetmiştir. Alman matematikçi Leopold Kronecker (1823-1891) Cantor’a şahsen saldırarak onu “şarlatanlık” ve gençliği yozlaştırmakla suçlamıştır. Peki Georg Cantor ile ilgili bu kadar tartışmalı olan nedir?

Georg Cantor ve Yeni Sonsuzluklar

Georg Cantor, 1845’te Rusya’nın St. Petersburg kentinde doğdu ve 11 yaşında ailesiyle birlikte Almanya’ya taşındı; okul yılları boyunca matematikte olağanüstü beceriler sergiledi ve 1860’ta liseden üstün başarı ile mezun oldu. Daha sonra İsviçre Federal Politeknik ve Berlin Üniversitesi’nde matematik okudu. 1867’de Georg Cantor doktora derecesini aldı. Genellikle küme teorisinin yaratıcısı olarak anılan Cantor, sonsuz sayıda öğe içeren kümeleri karşılaştırmak için parlak bir fikre dayalı yeni matematiksel sonsuzluk kavramları icat etmişti.

Sonsuzluk kavramı o zamanlarda, bir “süreç” olarak görülüyordu. Bu kavram daha çok teolojinin ilgi alanına giriyordu. Bu nedenle sonsuzluğu matematikte bir değer olarak sunmaya çalışacak olan Cantor’un karşısına sadece tutucu matematikçiler değil kutsal değerleri savunan bazı din adamları da çıkacaktı. Georg Cantor insanların çığır açan fikirleri er geç kabul edeceğini biliyordu, ama bunun ne kadar geç olabileceğini ruh sağlığını kaybettikçe fark edecekti.

Cantor’un yaptığı, sonsuzluğu kendi içinde bir varlık gibi muamele etmesiydi. Bir kümenin içindeki elemanlar sayılabilir durumdaysa bu kümeye sonlu küme, aksi durumda da sonsuz küme deriz. Eğer iki sonlu kümede aynı sayıda eleman varsa eleman sayıları aynıdır. Yani bu kümeler karşılaştırılabilir. İşin can alıcı noktası burada başlar aslında. İki sonsuz kümenin eleman sayısı farklı olabilir mi? Bunun mümkün olduğunu bize ilk anlatan kişi Cantor’dur.

Bir Sonsuzluk Diğerinden Daha Büyük Olabilir mi?

Sonsuz sayıda eleman içeren bir kümeye örnek, N = {1, 2, 3, …} yani doğal sayılar kümesidir, ancak başka sonsuz sayı kümeleri de vardır. Öyleyse, iki sonsuz kümeyi karşılaştırmaya çalıştığımızda ne olacağını görelim. Z = {…, – 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} tam sayılarının kümesini ele alalım ve boyutunu N kümesiyle karşılaştıralım. Z’nin N’den önemli ölçüde daha büyük olduğu sonucuna varabiliriz. Bu akla uygun gibi geliyor. Ancak N’nin sonsuz olduğunu bildiğimiz için, Z’nin N’den büyük olduğu varsayımımız, bir anlamda Z’nin “daha büyük sonsuzluk” olması gerektiğini ima eder. Peki ya işin içine gerçek sayılar karışınca ne olacak? Ve tüm bunlar ne anlama geliyor? Sonsuzlukları “ölçmenin” bir yolu var mı?

Georg Cantor, bu tür soruların gerçekten matematiksel olarak titiz bir şekilde ele alınabileceğini ve cevaplanabileceğini keşfeden ilk kişiydi. Farklı kümelerin boyutlarını, sonsuz olsalar bile karşılaştırmak için çok basit ama zekice bir yöntem buldu. Ayrıca bir kümenin temel matematiksel kavramını oluşturdu ve şimdi modern matematiğin temellerinden biri olan küme teorisi alanını geliştirdi. Bunu kabullenmeye çalışan insanların henüz logaritma tablolarıyla hesap yapmaya çalışan insanlar olduğu düşünülünce, onu anlamamış olmaları aslında oldukça normaldi.

Georg Cantor’un Kümeleri Karşılaştırması

Cantor’un kümeleri karşılaştırmaya ilişkin parlak fikrini açıklamak için, bize A ve B olmak üzere iki küme verildiğini ve her ikisi de yalnızca sonlu sayıda eleman içerdiğini varsayalım. O zaman üç ifadeden biri (ve yalnızca biri) doğru olmalıdır: 1. A kümesinde B kümesinden daha fazla öğe vardır. 2. A kümesinde, B kümesinden daha az öğe vardır. 3. Her iki küme de aynı sayıda eleman içerir.

A ve B’nin elemanlarını saymadan bu ifadelerden hangisinin doğru olduğunu bulmanın bir yolu var mı? Evet var! A kümesinin her bir elemanını, örneğin birinden diğerine bir çizgi çizerek karşılık gelen bir B kümesinin elemanı ile eşleştirebiliriz. Bunu A ve B’nin tüm elemanları için yapmayı başarırsak her iki kümede de aynı sayıda eleman bulunur diyebiliriz.

Birebir eşleşme

Cantor’un bire bir eşleşme kavramı, iki sonsuz grubu karşılaştırmamızı sağlar, çünkü kümelerin her birindeki elemanların sayısını gerçekten ayrı ayrı saymak ve sonra sayıları karşılaştırmak zorunda değilizdir. Sadece iki kümenin elemanları arasında bire bir ilişki kurup kuramayacağımızı bulmamız gerekiyor. Yukarıda, sizi doğal sayılardan daha fazla tam sayı olduğuna ikna etmeye çalışmıştık. Ancak şaşırtıcı bir şekilde, bu yanlıştır.

Cantor bize tam sayılar ve doğal sayılar kümelerinin eşit büyüklükte olduğunu göstermiştir. Hatta Cantor, rasyonel sayıların da doğal sayılarla bire bir eşleşmeye sokulabileceğini bile göstermiş ve bir biçimde bu kümenin sayılabilir olduğunu kanıtlamıştır. Ancak gerçek sayıların (yani rasyonel ve irrasyonel sayılar) doğal sayılarla bire bir yazışmaya koymanın da mümkün olmayacağını da kanıtlamıştır. Gerçek sayılar, ondalık noktadan sonra sonsuz ve tekrar etmeyen dizilere sahip olabilir. Onları “sayılamaz” yapan bu özelliktir. Dolayısıyla, doğal sayılardan daha “çokturlar” ve bu nedenle “daha büyük” bir sonsuzluğu temsil ederler. Cantor ayrıca, sayılamayan kümeler arasında, farklı “boyutlarda” sonsuzluklar olduğunu gösterdi ve bir sonsuzluklar aritmetiği geliştirdi. Burada ayrıntılı bir kanıt vermeyeceğiz, ancak konuyu bu yazımızda ele almıştık.

Georg Cantor’un Anlaşılması Uzun Zaman Alacaktı

Georg Cantor bu sonuçları yayınladığında matematik camiasını şok etti. Ortak inançlarla çelişiyorlardı ve devrimci olarak görülüyorlardı. Cantor, fikirlerinin karşılaştığı muhalefetin çok iyi farkındaydı. Cantor fikirlerine gösterilen dirençten ve bu direncin zaman zaman kişiliğine yönelmesinden çok yıprandı. Özellikle Mittag-Leffler bir makalesinin yayımı için 1984 yılına kadar beklemek gerektiğini yazınca artık iyice yorulan bedeni onu yarı yolda bıraktı. İlk depresyonunu o yıl geçirdi. Ölümüne kadar da sık sık hastaneye yatacak ve her seferinde uzun süre tedavi görecekti.

Bir daha hiç matematik yapacak kadar iyileşmedi, fakat hastanede olmadığı dönemlerde de boş durmadı. 1890 yılında Alman Matematik Derneği’ni kurdu ve ilk başkanı seçildi. Matematik yapacak kadar iyileşmeyi beklerken bugün hâlâ tartışma konusu olan bir konuya ilgi duydu. Shakespeare diye birisinin olmadığı, tüm o oyunları Francis Bacon’un yazdığı iddialarını destekleyen makaleler yazdı. 1912’de St Andrews Üniversitesi’nden fahri doktor unvanını aldı, ancak hastalığı nedeniyle şahsen diplomayı kabul edemedi. Georg Cantor, 1913’te yoksul ve sağlığını yitirmiş bir biçimde emekli oldu. 1917’de Almanya’nın Halle kentinde bir sanatoryumda yaşamaya başladı ve 6 Ocak 1918’de kalp krizi sonucu sanatoryumda öldü. Cantor’dan geriye zamanının çok öncesinde matematik dünyasına tanıtılmış bir sonsuzluk kavramı ve kümeler kuramı kaldı.

Göz atmak isterseniz:

Kaynaklar: Alfred S. Posamentier and Christian Spreitzer; The Lives and Works of 50 Famous Mathematicians

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.