Matematikçilerin İspat Takıntısı Ve Janos Bolyai'nin Kısa Hikayesi

Günlük yaşamda, tamamen mantıksız olmadığımız zamanlarda, genellikle iki tür akıl yürütme kullanırız. Bunlardan biri tümevarımdır. Bu akıl yürütme yöntemi sayesinde de çevremizde gördüklerimizden genel bir sonuç çıkarmaya çalışırız. Örneğin şu ana kadar her zaman beyaz kürklü koyunlar ile karşılaştıysanız, tümevarım yöntemi ile genelleme yapıp tüm koyunların beyaz olduğunu söyleyebilirsiniz. Bu akıl yürütme biçimi elbette dönem dönem faydalıdır ve bilimde bu nedenle de sık kullanılır.

Ancak bazı sakıncaları da vardır. Evrendeki her koyunu gördüğünüzden asla emin olamazsınız. Belki de bir yerlerde henüz karşınıza çıkmamış siyah bir koyun vardır. Bu yüzden bu yöntemle vardığınız sonucun gerçekten doğru olduğundan emin olamazsınız. Bu yüzden tümevarım ile elde ettiğiniz sonuçları her zaman gözden geçirmeye açık olmalısınız.

Tümdengelim ise ikinci akıl yürütme biçimidir ve aslında tümevarımın tam tersidir. Doğru olduğundan emin olduğunuz genel bir ifadeden yola çıkarsınız. Sonrasında da belirli bir durum hakkında sonuçlar çıkarırsınız.

Örneğin, bütün koyunların ot yemeyi sevdiğini biliyorsanız ve karşınızda duran canlının da bir koyun olduğunu biliyorsanız, o zaman onun otu sevdiğini de kesin olarak bilirsiniz. Bu akıl yürütme biçimi elbette faydalıdır ancak onun da bir sınırlaması vardır. Eğer ilk önermeniz yanlışsa, yani tüm koyunların otu sevmesi konusunda yanılıyorsanız veya gözleminiz yanlışsa, yani baktığınız yaratık aslında bir koyun değilse ulaştığınız sonuç da hatalı olacaktır.

Matematikçiler Neden Sürekli Bir Şeyleri İspat Etmek İsterler?

Elbette normal yaşantılarında matematikçilerin böyle bir takıntısı yoktur. Ancak hepimiz, bir cinayet davasındaki tüm kanıtlar belirli bir şüpheliyi işaret ediyor suçun öncelikle kanıtlanmasını isteriz. Aksi bir durumda, bir masumun suçlanıp suçlanmadığından asla emin olamayız. Matematik belki de mutlak kesinliğin mümkün olduğu tek alandır. Bu yüzden matematikçiler ispatlara çok değer verirler. Ayrıca, ispatlarda ısrar etmezsek, işin içine fark edilemeyen küçük hatalar sızar.

Bunun bir örneğini Öklid’den verebiliriz. Öklid’in aksiyomlarından biri, tüm üçgenlerin iç açılarının toplamının 180 derece olduğunu söylemeye eşdeğerdir. Bu Öklid’in Beşinci Postulatı olarak bilinir. Matematikçiler yüzlerce yıldır bu ispatla uğraştı. Hatta bazıları bu uğurda yaşantılarını harcadı. Bunun örneklerinden biri Janos Bolyai’nin hikayesidir.

Küskün Bir Matematikçi: Janos Bolyai

J. Bolyai’nin Ferenc Márkos tarafından yapılmış portresi (2012)

Janos Bolyai, hayatının çoğunu günümüz Romanya’sının Transilvanya dağlarının vahşi doğasında, Almanya, Fransa ve İngiltere’nin ana akım matematik topluluklarından uzakta geçiren bir Macar matematikçiydi. Babası ve öğretmeni Farkas Bolyai bir süre Gauss’un öğrencisi olmuş başarılı bir matematikçiydi. Janos Bolyai de yetenekli bir çocuktu. Matematiğin yanı sıra keman çalıyor ve eskrim dersleri alıyordu.

13 yaşına geldiğinde matematikte bir çok konuda ustalaşmıştı. Lise eğitiminin ardından, Viyana Askeri Okuluna kaydoldu. 1823’de teğmen olarak mezun oldu. Bu esnada bir hobi olarak matematik çalışmaya devam ediyordu. O sırada babasının takıntısı olan Öklid’in Beşinci Postulatı ile tanıştı.

Oğlunun uğraşından haberdar olan Farkas ona yazdığı bir mektupta “Ben tüm hayat ışığımı ve zevkimi söndüren bu dipsiz geceden geçtim. Sana yalvarıyorum, paralellik biliminden uzak dur!” diyerek oğlunu uyarsa da Janos babasının uyarılarını dikkate almadı.

1820’lerin başlarında bir ispatın muhtemelen imkansız olduğu sonucuna vardı. Sonrasında da Öklid’in aksiyomuna bağlı olmayan bir geometri geliştirmeye başladı. 1823’te babasına yazdığı mektupta “Beni hayretler içinde bırakacak kadar harika şeyler keşfettim. Hiçlikten garip yeni bir dünya yarattım” diyen Janos, iki yıl sonra çalışmasını babasının yazdığı geometri kitabında ek bir bölüm olarak kâğıda dökmeyi başarmıştı.

Hiperbolik Geometrinin Keşfi ile Yeni Geometrilerin Anlaşılması

Arkadaşının kitabını okuyan Gauss’un dikkatini en çok Janos’un yazdığı bölüm çekmişti. Gauss bunun üzerine Farkas’a yazdığı mektupta eski dostunun oğluyla gurur duyması gerektiğini ancak Janos’un fikirlerinin tamamını kendisinin zaten bulduğunu, sadece henüz yazıya dökmediğini söyledi. Gauss’un bu cevabı Janos’un matematik kariyerini daha başlamadan bitirmişti.

Matematikçiler (Bolyai dahil) 180 derecelik sonucu kanıtlama girişiminde, hiperbolik düzlem adı verilen ve üzerinde bir üçgendeki açıların toplamının 180 dereceden daha az olduğu başka bir çok garip yüzeyle karşılaştılar. Günlük hayatta bu tuhaf yüzeye pek rastlamasak da çok önemli. Einstein’ın özel görelilik kuramı hiperbolik geometri kullanılarak formüle edilmiştir.

Janos’un hayatındaki kırılma noktalarından biri de 1848’de Lobachevsky’nin yazdıklarına ulaşması oldu. Kendi fikirlerinin bir başkası tarafından da yayımlanmış olduğunu görünce var olan ruhsal sorunları iyice açığa çıktı.

Devamında János Bolyai dünyaya küstü ve uzun süreliğine inzivaya çekildi. Bir daha matematik ile asla uğraşmadı. Uzun süren hastalıklarının ardından 1860 yılında hayata veda etti. Mezar taşına “Ünlü matematikçiler arasında da en ünlüsüydü, ama ne yazık ki, büyük yeteneği kullanılamadan heba oldu” diye yazıldı.

Ölümünden sonra matematikle ilgili yirmi bin sayfalık çalışması olduğu ortaya çıktı. Janos Bolyai adı bugün Ay’da onun adı verilen bir kraterde yaşıyor. Ancak o bundan habersiz küskün bir biçimde bu dünyadan ayrıldı.

Göz atmak isterseniz

Kaynaklar ve ileri okumalar: