MATEMATİK TARİHİ

Beşinci Aksiyom Matematiğin Ayıbı mıydı?

Öklid geometrisinin inşasını başlatan MÖ 300 dolaylarında yaşamış Yunanlı matematikçi İskenderiyeli Öklid’tir. 13 ciltlik Elemanlar adlı eseriyle matematikte aksiyomatik sisteminin kurucusu olarak kabul edilir.

Öklid tartışılmaz olduğunu varsaydığı 10 önermeyle işe başlar. Bu 10 önermeyi aksiyom ve postülatlar olarak 5’erli iki gruba ayırır. Öklid’in ilk aksiyomu şöyledir:

1-İki nokta arasındaki en kısa yol bir doğrudur.

2-Bir doğru parçası doğrusal bir çizgi boyunca uzatılabilir.

3- Bir çemberi herhangi bir merkez ve yarıçapla belirleyebiliriz.

4- Bütün dik açılar birbirine eşittir.

Görüldüğü gibi ilk dört aksiyom son derece öz ve kısadır, fakat beşinci aksiyom hem daha uzun hem de formülasyon olarak daha karmaşıktır. 

Beşinci aksiyom: “ İki doğruyu kesen bir doğru, bu iki doğruyla aynı tarafta olan ve açılarının ölçüleri toplamı iki dik açının ölçüleri toplamından küçük iç açılar oluşturuyorsa, bu iki doğru o yönde uzatıldığında kesişir.”

Aksiyoma göre aşağıdaki şekilde α ve β’nın toplamı iki dik açının ölçüleri toplamından küçük olduğundan doğrular, ölçüleri α ve β olan açıların bulunduğu tarafta kesişiyor.

Doğruluğundan hiç kimse kuşku duymamış olsa da bu önerme, aksiyomlardan beklenen “apaçık doğru olmalı” ilkesine uymuyor. Örneğin açıların seçimine bağlı olarak doğruların kesiştikleri noktayı görmek bile mümkün olmayabilir.

Matematikte aksiyomlar ispatsız olarak doğru kabul edilen önermelerdir. Acaba beşinci aksiyom ispatlanması gereken bir önerme mi, yani bir teorem mi?

İşte yüzyıllar boyunca onlarca matematikçi bu soruyu yanıtlamak için uğraştı, yani ilk dört aksiyomu kullanarak beşincisini kanıtlamaya çalıştılar.

Hatta Öklid bile Elemanlar’da ilk 28 önermenin ispatında beşinci aksiyomu kullanmamıştır. Belki o da bu önermenin bir aksiyom olmasından şüphe ediyordu.

 Playfair Aksiyomu 

Matematikçiler önce onu daha kolay anlaşılır bir başkasıyla değiştirmek için uğraştılar ve İskoçyalı matematikçi John Playfair ( 1748-1819) beşinci aksiyoma mantıksal açıdan denk olan daha özlü bir önerme ifade etti:

“Bir doğruya dışındaki bir noktadan sadece bir paralel doğru çizilebilir.” Aşağıdaki şekil Playfair Aksiyomu’nun görsel ifadesidir.

Bu aksiyom ilk kez John Playfair tarafından dile getirildiğinden Playfair Aksiyomu olarak bilinir; fakat aslında Eski Yunanlı filozof Proklos’a (410-485) aittir. Playfair’in önermesinden sonra beşinci aksiyom genellikle Paralellik Aksiyomu adıyla anılır.

Sonraki 1500 yılın büyük bir bölümünde birçok matematikçi Paralellik Aksiyomunu kanıtlamaya çalıştı. Ama kanıtlama çabalarının neredeyse tamamında aksiyomun kendisi kapalı bir şekilde kanıt sürecindeki adımlarda kullanıldığından sonuç alınamadı.

18’inci yüzyılın sonlarına doğru matematikçiler ilk kez Paralellik Aksiyomunun belki de diğer dört aksiyomdan hareketle kanıtlanmayacağını düşünmeye başladılar. Artık ilginç bir “Acaba?” sorusuna yanıt aranıyordur.

Beşinci Aksiyom yerine farklı bir aksiyom koymak mümkün mü?

Bu soruya ilk olarak Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Janos Bolyai (1802-1860), Nikolai İvanoviç Lobaçevski (1793-1856) gibi matematikçiler “Evet mümkün” yanıtını vererek Öklid dışı geometrilerin doğmasına önayak olurlar.

Günümüzde Lobaçevski geometrisi (hiperbolik geometri) ve Riemann geometrisi (eliptik geometri) olarak adlandırılan bu iki Öklid-dışı geometride Paralellik Aksiyomu şu iki aksiyoma karşılık gelir: 

Hiperbolik geometri: Bir doğruya dışındaki bir noktadan en az iki paralel doğru çizilebilir. 

Eliptik geometri: Bir doğruya dışındaki bir noktadan paralel doğru çizilemez. (Burada sözü edilen “doğru” kavramı Öklid geometrisinden farklıdır elbette, örneğin eliptik geometride “doğru” ile ifade edilen şey küre yüzeyinin “büyük çemberdir”.)

Öklid dışı geometriler

Öklid dışı geometriler Öklid geometrisinin üç boyutlu modelleri üzerinde inşa edilmiştir. Örneğin eliptik geometrinin bütün aksiyomları küre yüzeyi üzerinde tanımlanır. Bu geometrilerin Paralellik Aksiyomunun yerini alan aksiyomla birlikte tutarlı ve çelişkisiz olduğu gösterilmiştir.

Küre üç boyutlu Öklid geometrisinin bir modeli olduğuna göre bu durumda iki seçenekle karşı karşıya geliriz: Ya Öklid geometrisi tamamen yanlış, ya da Paralellik Aksiyomu kanıtlanamaz. İlk seçenek doğru olmadığına göre Paralellik Aksiyomunun mantıksal olarak diğer aksiyomlardan bağımsız olduğu ve onlardan türetilemeyeceği sonucuna ulaşırız.

O halde Öklid’in böyle bir aksiyomun gerekliliğine ilişkin sezgisi doğrulanmıştır. Böylece beşinci aksiyomun matematiğin bir ayıbı olmadığı yaklaşık 2000 yıl sonra kesinlikle anlaşılmıştır.

Öklid-dışı geometrilerin keşfi matematikçiler, bilim insanları ve filozoflar arasında adeta şok etkisi yaratmıştır. Küçük ölçeklerde (günlük hayatımızda ve yeryüzündeki bazı ölçümlerde) mükemmel ve basit bir model olan Öklid geometrisinin uzay ve evren için model olamayacağı ortaya çıkmıştır.

Evreni anlama çabası gözle görünenin ötesindekileri de kapsayacak bir geometriyi zorunlu kılmış ve bu görevi beşinci aksiyom zincirini kıran Öklid-dışı geometriler üstlenmiştir.

Eliptik geometriyi keşfeden ünlü Alman matematikçi Bernhard Riemann’ın ortaya koydukları 60 yıl sonra Genel Görelilik Teorisini mükemmel bir şekilde haklı çıkarmış, fizik ve evren bilim dallarında devrim niteliğinde sonuçlara yol açmıştır.

Albert Einstein, “Riemann’ın bu çalışmasından haberim olmasaydı görelilik kuramını hiçbir zaman geliştiremeyecektim” demiştir. Sonuç olarak, binlerce yıl süren beşinci aksiyom sancısı Gauss, Bolyai, Lobaçevski, Riemann gibi matematikçiler sayesinde mükemmel bir doğumla son bulmuştur.

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir
Kaynak
Ali Törün, Beşinci aksiyom krizi!

Editör

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Kapalı