Geometri

Geometrinin Kırılma Noktası: Beşinci Aksiyom

Matematik tarihinin en başarılı eseri olarak kabul edilen Elementler’i kaleme alan Öklid, içeriğinden çok konuları sunuşu açısından önemli olan bu eserinde bir takım tanımlar, aksiyomlar ve postulatlar ortaya koymuştu. Kitabı boyunca bu postulatlarını teoremlerinde kullandı. İspatlarını da düzenli bir şekilde sıraladı. Böylece Öklid geometrisini belirli tanım ve ilkeler çerçevesinde yapılandırmış oldu. Bu sayede kendisi de aksiyomatik sisteminin kurucusu olarak kabul edildi. Ancak yıllar sonra bu aksiyomlarından bir tanesi matematik tarihinde bir krize sebep olacaktır. Beşinci aksiyomu kanıtlama girişimleri de zamanla Öklid dışı geometrinin garip ama harika dünyasına ulaşmamızı sağlayacaktı.

Öklid, kitabında nokta, çizgi, yüzey ve cisim gibi geometrik kavramları tanımladıktan sonra kitaptaki derlemelerin tutarlı olmasını sağlamak için ‘kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler’ diye nitelediği beş aksiyomu sıraladı. Kitabındaki diğer tüm önermeleri de bu aksiyomlara dayanarak öne sürdü. Bu aksiyomları şu şekildeydi:

  1. Bir şeye eşit olan başka şeyler birbirlerine de eşittirler.
  2. Eğer eşit miktarlara eşit miktarlar eklenirse, elde edilen bütünler de birbirlerine eşittir.
  3. Eğer eşit miktarlardan eşit miktarlar çıkarılırsa, kalanlar da birbirlerine eşittir.
  4. Birbirleriyle çakışan (özelikleri açısından örtüşen) şeyler birbirlerine eşittir.
  5. Bütün parçadan büyüktür biçimindedir.

Öklid, aksiyomlardan sonra ‘ispat edilmeksizin doğru olarak benimsenen önerme, ön doğru’ anlamına gelen postulatlarını sıraladı. (Günümüzde tüm önermelere sadece aksiyom adını veriyoruz.). Öklid’in postulatları şöyleydi:

  1. İki nokta arasını birleştiren en kısa yol bir doğrudur. (İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.)
  2. Bir doğru iki yöne de sonsuza kadar uzatılabilir.
  3. Bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bir çemberdir.
  4. Bütün dik açılar birbirine eşittir.
  5. Eğer bir doğru parçasını, iki doğrunun üzerinden geçecek şekilde çizerseniz ve aynı tarafta doksan dereceden daha az iki açı oluşursa, o zaman bu iki doğru kesişir. (Bu önerme bir üçgenin açılarının 180 derece olacağını söylemekle eş değerdir.)
α ve β’nın toplamı iki dik açının ölçüleri toplamından küçük olduğundan doğrular, ölçüleri α ve β olan açıların bulunduğu tarafta kesişiyor.

Beşinci Aksiyom İle İlgili Sorun Nedir?

Doğruluğundan hiç kimse kuşku duymamış olsa da bu önerme, aksiyomlardan beklenen “apaçık doğru olmalı” ilkesine uymuyor. Öklid, ilk 28 teoremini kanıtlamak için beşinci önermesine ihtiyaç duymamıştı. Kendisi de dahil olmak üzere birçok matematikçi, beşinci aksiyomun aslında sadece ilk dört önerme ve diğer aksiyomlar kullanılarak kanıtlanabilecek bir teorem olduğuna ikna olmuştu. Matematikçiler ilk dört aksiyomu kullanarak beşincisini kanıtlamaya çalıştılar. Ancak, beşinci aksiyomu bir teorem olarak kanıtlamaya yönelik tüm girişimler başarısız oldu. Bunun için öncelikle daha kolay anlaşılır bir başkasıyla değiştirme ihtiyacı duydular. İskoçyalı matematikçi John Playfair ( 1748-1819) beşinci aksiyoma mantıksal açıdan denk başka biçimde ifade etti. “Bir doğruya dışındaki bir noktadan sadece bir paralel doğru çizilebilir.” Aşağıdaki şekil Playfair Aksiyomu’nun görsel ifadesidir.

Playfair’in önermesinden sonra beşinci aksiyom genellikle Paralellik Aksiyomu adıyla anılmaya başlandı. Sonraki 1500 yılın büyük bir bölümünde birçok matematikçi Paralellik Aksiyomunu kanıtlamaya çalıştı.18’inci yüzyılın sonlarına doğru matematikçiler ilk kez Paralellik Aksiyomunun belki de diğer dört aksiyomdan hareketle kanıtlanmayacağını düşünmeye başladılar.

Beşinci Aksiyom yerine farklı bir aksiyom koymak mümkün mü?

Bu soruya ilk olarak Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Janos Bolyai (1802-1860), Nikolai İvanoviç Lobaçevski (1793-1856) gibi matematikçiler “Evet mümkün” yanıtını vererek Öklid dışı geometrilerin doğmasına önayak oldular. Öklid dışı geometrilerin keşfi, sadece matematik değil düşünce tarihinde de bir dönüm noktası olarak kabul edilir. Bu sayede içinde yaşadığımız evrenin geometrisinin Öklid dışı bir geometri olduğu gösterildi. Aslında buna küresel geometri denir. Küresel geometride çizgiler düz değildir. Bunlar büyük dairelerin parçalarıdır (yani, bir kürenin ve kürenin merkezinden geçen düzlemlerin kesişiminden elde edilen daireler).: 

Lobaçevski geometrisi (hiperbolik geometri) ve Riemann geometrisi (eliptik geometri) olarak adlandırılan bu iki Öklid-dışı geometride Paralellik Aksiyomu şu iki aksiyoma karşılık gelir
Hiperbolik geometri: Bir doğruya dışındaki bir noktadan en az iki paralel doğru çizilebilir. 
Eliptik geometri: Bir doğruya dışındaki bir noktadan paralel doğru çizilemez.

Lobaçevski’nin, Bolyai’nin ve Riemann’ın kurdukları Öklid dışı geometrilere uzun süre işe yaramaz olarak bakıldı. Ancak Einstein, içinde yaşadığımız üç boyutlu uzayın Öklid geometrisine değil, Öklid dışı geometriye uyduğunu gösterdiğinde bu algı tamamen değişti. Öklid dışı geometriler, insanın geometriyi doğru bir biçimde anlama, fiziksel uzayın gerçek niteliğini keşfetme girişimleri açısından hayati önemdedir.r.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu