Matematik tarihinde bazı isimler yalnızca önemli sonuçlar elde etmekle kalmadı, matematiğin nasıl yapılacağını da değiştirdi. Bu isimlerden biri, yaklaşık MÖ 300 yıllarında İskenderiye’de çalışan Antik Yunan matematikçisi Öklid’dir.
Öklid’in hayatı hakkında çok az şey biliyoruz. Buna karşılık Elementler adlı eseri geometri ve sayı teorisini sistemli bir yapıda bir araya getirdi ve matematiksel kanıt anlayışını yüzyıllar boyunca etkiledi. Öklid’i önemli kılan, yalnızca ortaya koyduğu sonuçlar değil, matematiksel bilgiyi düzenleme biçimidir.
Öklid Kimdir?
Öklid, yaklaşık MÖ 300 yıllarında İskenderiye’de yaşamış ve çalışmış Antik Yunan matematikçisidir. Doğum ve ölüm tarihlerini kesin olarak bilmiyoruz. Hayatıyla ilgili güvenilir bilgiler de oldukça sınırlıdır. Onun hakkında bildiklerimizin önemli bir bölümü, Öklid’den yaklaşık 700 yıl sonra yaşamış filozof Proklos’un aktardıklarına dayanır.
Proklos, Öklid’in I. Ptolemaios döneminde yaşadığını ve Platon’un öğrencilerinden daha genç, Arşimet ile Eratosthenes’ten ise daha yaşlı olduğunu yazar. Bu bilgiler Öklid’i yaklaşık MÖ 300 yılına yerleştirmemizi sağlar.
Daha sonraki Arap kaynaklarında Öklid’in babasının Naukrates olduğu, Sur kentinde doğduğu ve Şam’da yaşadığı gibi ayrıntılar yer alır. Ancak modern matematik tarihçileri bu bilgileri güvenilir kabul etmez.
Benzer biçimde Öklid’in Atina’daki Platon Akademisi’nde eğitim gördüğüne dair doğrudan bir kanıt da yoktur. Onun Eudoksos ve Theaitetos’un çalışmalarını çok iyi bilmesi, Platoncu matematik geleneğiyle güçlü bir bağının bulunduğunu düşündürür, fakat bu bağın nasıl kurulduğunu bilmiyoruz.
Öklid’in İskenderiye’de matematik öğrettiği konusunda ise tarihçiler daha fazla uzlaşır. O dönemde İskenderiye, Ptolemaios yönetimi altında Akdeniz dünyasının önemli bilim merkezlerinden biri haline geliyordu. Öklid de burada kendisinden önceki matematiksel birikimi topladı, düzenledi ve özellikle Elementler adlı eserinde sistemli bir yapıya kavuşturdu.
Öklid’in Geometriye Katkısı Nedir?
Öklid’in en büyük başarısı, döneminde bilinen temel matematiği düzenleyip sistemli bir biçimde sunduğu Elementler adlı eseriydi. Öklid, eserin 13 bölümünün her birine “kitap” adını verdi. Ancak bunları günümüzde tek bir eserin bölümleri gibi düşünebiliriz.
Her kitap bir dizi önerme ve problem içeriyordu. Elementler’de toplam 465 önerme yer alıyordu. Öklid, bu önermeleri belirli varsayımlardan hareketle kanıtlıyor, ardından bazılarını problemler üzerinden uyguluyordu.
Eserin yapısı birkaç temel kabule dayanıyordu. Öklid, 23 temel kavram, beş postüla ve beş ortak kabul belirledi. Nokta, doğru ve çember gibi kavramlar temel terimler arasında yer alıyordu. Postülalar geometriye özgü başlangıç kabullerini, ortak kabuller ise daha genel matematiksel ilkeleri ifade ediyordu. Örneğin aynı şeye eşit olan iki şeyin birbirine de eşit olması bu ortak kabullerden biriydi.
Öklid’in asıl başarısı, bu malzemeyi belirli bir mantıksal sıraya yerleştirmesiydi. Böylece 13 kitap, dağınık matematiksel bilgileri tek bir sistem içinde topladı.
Öklid’in Elementleri Hangi Konuları İçerir?
Öklid, ilk altı kitapta düzlem geometrisini ele aldı. Birinci kitapta üçgenleri, paralel doğruları, cetvel ve pergel çizimlerini ve Pisagor teoremini inceledi. İkinci kitapta, bugün cebirsel özdeşliklerle ifade ettiğimiz bazı ilişkileri geometrik biçimde açıkladı. Üçüncü ve dördüncü kitaplarda ise çemberler, teğetler, kirişler ve çember içine ya da dışına çizilen çokgenler üzerinde durdu.
Beşinci ve altıncı kitaplarda oranlar kuramına geçti. Beşinci kitapta Eudoksos’un geliştirdiği oran anlayışını sistemleştirdi. Altıncı kitapta ise bu kuramı benzer şekillere ve çeşitli geometrik problemlere uyguladı.
Yedinci, sekizinci ve dokuzuncu kitaplarda sayı teorisini ele aldı. Bölenleri, ortak bölenleri, asal sayıları, geometrik dizileri, tek ve çift sayıları ve mükemmel sayıları inceledi. Öklid algoritması da bu bölümde yer alır. Dokuzuncu kitapta ayrıca asal sayıların sonsuz olduğunu gösteren ünlü kanıtını sundu.
Onuncu kitapta ölçülemez büyüklükleri ele aldı. Bu büyüklükler, günümüzde irrasyonel niceliklerle ilişkilendirdiğimiz uzunluklara karşılık gelir ve antik matematiğin en zor konularından birini oluşturur.
Son üç kitapta uzay geometrisine geçti. On birinci kitapta doğrular, düzlemler ve üç boyutlu cisimlerle ilgili temel sonuçları ele aldı. On ikinci kitapta piramit, koni, silindir ve küre gibi cisimlerin alan ve hacimlerini inceledi. On üçüncü ve son kitapta ise beş düzgün çokyüzlünün özelliklerini anlattı.
Elementler’deki bilgilerin önemli bir bölümü Öklid’den önceki matematiksel birikime dayanıyordu. Öklid, Sakızlı Hippokrates, Eudoksos ve Pisagorcu gelenekten gelen sonuçları bir araya getirip tutarlı bir sistem içinde düzenledi. Bununla birlikte bazı önemli sonuçlar özellikle Öklid’in adıyla anılır. Bunların en bilinenlerinden biri, iki sayının en büyük ortak bölenini bulmaya yarayan Öklid algoritmasıdır.
Sonuç Olarak
8. yüzyılda, kuşaklar boyunca Yunan matematikçilerin kaleme aldığı eserler Arapçaya çevrilirken Öklid’in adı da “Uclides” biçiminde aktarıldı. Tarihçiler daha sonra bu Arapça metinleri incelediklerinde, bu adın Arapçada “anahtar” anlamına gelen ucli ile “ölçü” anlamına gelen des sözcüklerinin birleşimi gibi göründüğünü fark etti.
Bu durum bazı araştırmacıların ilgisini çekti. Geometri, yani ölçme bilimi üzerine yazılmış en etkili eserin yazarının adının “ölçmenin anahtarı” anlamına gelmesi yalnızca bir rastlantı mıydı? Yoksa Öklid adı, bir grup matematikçinin ortak çalışmalarını yayımlarken kullandığı bir takma ad mıydı?
Çoğu matematikçi ve tarihçi bu ortak yazarlık düşüncesine kuşkuyla yaklaşır. Ancak matematik tarihinde benzer örnekler vardır. Pisagor’un ölümünden yaklaşık 300 yıl sonrasına kadar takipçileri kendi matematiksel keşiflerini ona atfetmeye devam etti. 20. yüzyılda ise bir grup Fransız matematikçi ortak çalışmalarını Nicolas Bourbaki adıyla yayımladı.
Yine de tarihçiler, Elementler’i kaleme alan gerçek bir Öklid’in yaşamış olduğu konusunda büyük ölçüde hemfikirdir. Öklid’in İskenderiye’de ders verdiği ve yaklaşık MÖ 270 civarında burada öldüğü kabul edilir.
Elementler, geometri öğretimini yaklaşık iki bin yıl boyunca şekillendirdi. Öklid’in matematiksel teoremleri temel ilkelerden hareketle mantıksal biçimde kanıtlama konusundaki ısrarı da matematikçilerin çalışma yöntemini bugün hâlâ etkiler.
Öklid, kanıtlarının sonunda “kanıtlanması gereken buydu” anlamına gelen bir ifade kullanırdı. Bu söz Latinceye quod erat demonstrandum biçiminde çevrildi. Günümüzde de birçok matematikçi, bir kanıtın tamamlandığını göstermek için bu ifadenin kısaltması olan QED harflerini kullanır.
Okuma Önerisi: Öklid Sonsuz Sayıda Asal Olduğunu Nasıl Kanıtladı?
Kaynaklar ve İleri Okumalar
- Euclid and the Birth of Geometry. Yayınlanma tarihi: 23 Mart 2024. Kaynak site: Ancient Origins. Bağlantı: Euclid and the Birth of Geometry
- How Euclid once ruled the world. Yayınlanma tarihi: 9 Mayıs 2016. Kaynak site: Plus Math. Bağlantı: How Euclid once ruled the world/
Matematiksel
