Geometri

Euler’in Çokyüzlü Formülü Bize Ne Anlatıyor?

Bu yazımızın kahramanı olan ve birazdan sizlerle detaylarını paylaşacağımız Euler’in Çokyüzlü Formülü yani kısaca V – E + F = 2 basit görünümüne rağmen 4000 yıldan fazla bir süredir matematikçileri büyüleyen çokyüzlüler dediğimiz üç boyutlu katıların temel bir özelliğini kapsıyor. Bu formül ünlü İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’in (1707 – 1783) adını taşıyor. Euler formülünün bize ne söylediğini incelemeden önce, çokyüzlülere biraz daha detaylı bakalım. 

Tüm kenarları aynı uzunlukta ve aralarındaki tüm açılar aynıysa, bir çokgene düzgün denir. En basit örnek kare veya eşkenar üçgendir. Bir çokyüzlü, bir boyut yukarı hareket ettirdiğinizde elde ettiğiniz şeydir. Yüzeyi çokgen yüzlerden oluşan kapalı, katı bir nesnedir. İki çokgenin buluştuğu yere kenar denir. Üç kenarın buluştuğu yere ise köşe denir. Aşağıdaki şekilde kenar ( ing: edge) ve köşeleri ( İng: Vertex) görebilirsiniz. Görseldeki face kelimesi ise yüz anlamına geliyor.

Eğer çokyüzlünün herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası yine bu çokyüzlünün içinde kalıyorsa, bu çokyüzlüye konveks (dışbükey) denir. Tüm bu bilgilerden sonra formülü incelemeye hazırız.

Euler Çokyüzlü Formülü Bize Ne Söylüyor?

Şimdi yukarıdaki küp şekline bakın. Sahip olduğu köşelerin sayısını bulun ve bu sayıya V adını verin. Küpün 8 köşesi vardır, dolayısıyla V = 8 olacaktır. Ardından, sahip olduğu kenar sayısını bulun ve bu sayıya E adını verin. Bu durumda E = 12 olur.  Son olarak, yüzlerin sayısını sayın ve ona da F deyin. Küp için F = 6 biçimindedir.

Şimdi Euler’in formülü bize şunu söylüyor: V – E + F = 2. Yani köşe sayısı, eksi kenar sayısı artı yüz sayısı her zaman ikiye eşittir. Küp için, V = 8, E = 12 ve F = 6 olduğuna göre V – E + F = 8 – 12 + 6 = 14 – 12 = 2 sonucu doğrudur.

İkosahedrona bakarsak, V = 12, E = 30 ve F = 20 olduğunu buluruz . Bu sayıları formülde yerine yazarsak V – E + F = 12 – 30 + 20 = 32 – 30 = 2 elde ederiz ki bu da doğrudur. Aslında bu formül, hemen hemen her çokyüzlü için doğrudur. İşe yaramadığı tek durum, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi içlerinde delikler olan şekillerdir.

Bu formülün doğru olduğunu basit çokyüzlülerle oynayarak bulabilirsiniz. Ama bir matematikçiyseniz, bu yeterli değildir. Bunun gerçekten işe yaradığını gösteren bir kanıt, su geçirmez bir mantıksal argüman isterseniz. Formülün adına rağmen, ilk tam kanıtı bulan aslında Euler değildi. Bir çok matematikçi farklı kanıtlar verdi.  Augustin-Louis Cauchy tarafından verilen kanıtı yazının sonundaki kaynaktan inceleyebilirsiniz.

Bu Formül Neden Önemlidir?

Escher’in çok yüzlüler ile ilgili bir çalışması

Euler’in formülü bize, örneğin, tam olarak yedi kenarı olan basit bir çokyüzlü olmadığını söyleyebilir. Bunu bulmak için karton, makas ve yapıştırıcı ile uğraşmanıza gerek yoktur. Euler formülünü benzer şekilde kullanarak, on yüzü ve on yedi köşesi olan basit bir çokyüzlü olmadığını da keşfedebiliriz. Anlayacağınız gibi bu mantık matematikçilere bir genelleme yapma şansı sunar ve işlerini kolaylaştırır.

Bu noktada antik Yunan filozofu Platon’un adını taşıyan iyi bilinen bir çokyüzlü sınıfı olan Platonik Katıları da anımsamamız gerekiyor. Kaç tane farklı Platonik Katı olduğunu merak edebilirsiniz. Aslında bu merakta yalnız değilsiniz. Matematikçiler uzun süredir bu katıları listelemeye çalışıyorlar. İşte Euler çokyüzlü formülünün devreye girdiği yer burasıdır.

platonik cisimler
Platon belki başka düzgün çokyüzlü elde edilemeyeceğini ispatlayamamıştı ama oluşturulabilen düzgün çokyüzlülerden haberdardı. Yüzleri bir eşkenar üçgen olan dörtyüzlü, ateşi; sekizyüzlü, havayı ve yirmi yüzlü, suyu; yüzleri kareler olan küp, dünyayı ve yüzleri düzgün beşgenlerden oluşan onikiyüzlü ise. evreni simgeliyordu. O günden beri bu şekillere “Platon Katıları” adı verilir.

Keşfedeceğiniz şey, aslında sadece beş farklı düzenli dışbükey çokyüzlü olduğudur! Beş Platonik Katı, yukarıda gösterilen tetrahedron, küp, oktahedron, icosahedron ve dodecahedron’dur. yani Platon en baştan beri haklıdır.

Günümüzde çokyüzlülerin modellerini yapmak, matematiksel bir uğraştan çok bir hobi halini almış durumda. Bu kişilerden birisi de geçtiğimiz yıllarda kaybettiğimiz, Polyhedron Models (Çokyüzlü Modelleri) adlı kitabın sahibi olan matematikçi Magnus Wenninger.

Euler’in formülünün çokyüzlüler dünyasının ötesinde de bazı sonuçları vardır. Bugüne kadar kozmologlar evrenimizin şekli üzerinde bir türlü anlaşamadılar. 19. yüzyılda matematikçiler, üç boyutlu uzaydaki tüm yüzeylerin temelde sahip oldukları deliklerin sayısı ile karakterize edildiğini keşfettiler. Sonuçta ortaya çıkan Euler karakteristiği bir topolojik değişmez idi. Bir topolojik uzayın şeklini veya yapısını tanımlayan bir sayıydı. Tüm bunların sonucunda Euler’in çokyüzlü formülü, şekil ve uzay hakkında düşünme biçiminin bir katalizörü olarak görülebilir.



Kaynak ve ileri okumalar için:  Euler’s polyhedron formula; yayınlanma tarihi: 25 Temmuz 2020; Bağlantı: https://plus.maths.org/content/eulers-polyhedron-formula


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Başa dön tuşu