Euler’in Çokyüzlüler Formülü

Bütün yüzleri düzlemsel çokgenlerle sınırlanmış kapalı ve deliksiz katı cisimleri çokyüzlü olarak adlandırıyoruz. Bir çokyüzlü içerisindeki herhangi iki noktayı birleştirerek elde ettiğimiz doğru parçasının tamamı içerisinde kalıyorsa dışbükey diyoruz. Bu özelliği sağlamayan çokyüzlülere ise içbükey ismini veriyoruz.

Bir dışbükey çokyüzlünün köşe sayısını V, kenar sayısını E ve yüz sayısını F ile gösterirsek, Euler’in çokyüzlü formülü bu üç nicelik arasındaki ilişkiyi tarif ediyor:

V – E + F = 2

Euler kavram setinde bu nicelikleri sırasıyla katı cisim açısı, kenar ve yüz olarak adlandırdığını ve Latince baş harflerinden esinlenerek S, A ve H sembollerini kullanmıştı. Euler’in asıl makalesinde formül bu gösterimler altında şu hali alıyor:

S + H = A + 2

Şüphesiz bu iki ifade birbirine mantıksal olarak denk ve günümüzde yaygın olarak ilk biçimiyle kullanılıyor.

EULAR’İN İKNA EDİCİ AMA YANLIŞ KANITI

Birazdan sunacağımız ikna edici ama yanlış kanıtı içeren makale Euler tarafından 1752’de yazılır ve Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae isimli dergide 1758’de Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita (Düzlemlerle sınırlanmış katı cisimlerin bazı önemli özelliklerinin kanıtları) başlığıyla Latince olarak yayımlanır. Euler’in makalesinde elde ettiği temel sonuçları listeleyerek başlayalım.

Euler’in Çokyüzlüler Formülü

Önerme 1. Her yeri düzlemsel yüzlerle çevrelenmiş bir katı cisim verildiğinde, verilen katı cismi, oluşacak katı cismin katı açılarının sayısı bir azalacak şekilde kesin.

Önerme 2. Önerilen gövdeden herhangi bir katı açı daha önce açıklandığı şekilde çıkarılması ve bu şekilde katı açıların sayısı bir azaltılması durumunda, kalan katı cisimdeki hem yüz hem de kenar sayısını belirleyin ve aynı şekilde tüm düzlem açılarının toplamını belirleyin.

Önerme 3. Düzlemsel yüzlerle çevrelenen her katı cisimde, yüzlerinde var olan tüm düzlem açılarının toplamı, katı açıların sayısının dört katının sekiz eksiği olan dik açıların sayısına eşittir; yani, katı açıların sayısı S’ye eşitse, tüm düzlem açılarının toplamı 4S-8 dik açıya eşittir.

Önerme 4. Düzlemsel yüzlerle çevrelenen her katı için, katı açıların sayısı yüz sayısı ile birlikte kenar sayısından iki fazladır.

Euler, makalesine V + F = E + 2 formülünü bir tür indirgeme argümanı ile ispatlamayı planladığını işaret ederek başlıyor. İki boyutta çokgenler üzerinde bazı üçgenleştirme tekniklerini içeren indirgeme argümanlarını tartışan Euler, bu yöntemleri üç boyutta çokyüzlülere genellemeye girişir. İfadelerinden de tahmin edilebileceği gibi Önerme 2, Önerme 3 ve Önerme 4’ün kanıtları Önerme 1’in kanıtına bağlıdır ve Euler hatayı Önerme 1’i kanıtlarken yapar.

Bir matematiksel kanıttan en temel isteğimiz, sunduğumuz varsayımlar altında tutarlı kalabilmesidir. Euler’in kanıtını hem ikna edici hem de yanlış yapan olgunun temel kaynağında bu yatar. İkna edicidir çünkü birçok örnekte geçerlidir, yanlıştır çünkü her durumda sağlanmaz.

Şimdi Önerme 1’in sağlanmadığı bir istisnai örnek verelim.

Euler’in Çokyüzlüler Formülü

Şekil 2’deki V köşesini Euler’in tarifine göre kaldırırsak ortak bir kenara sahip iki tane çokyüzlü elde ediyoruz. Ancak Euler’in tanımı bu geometrik nesneyi bir düzlemlerle çevrelenen, yani dışbükey çokyüzlü olarak kabul etmiyor. Ortaya çıkan şekil sizin de görebileceğiniz gibi düzlemlerle çevrelenmeyen, yani içbükey bir çokyüzlüdür.

LEGENDRE’NİN KANITI

Euler’in çokyüzlü formülünün ilk kesin kanıtı, 1794 yılında yayınlanan Eléments de Géométrie (Geometrinin Öğeleri) adlı kitabında Adrien Marie Legendre tarafından verilir.

1752–1833 yılları arasında yaşayan Fransız matematikçi Legendre matematiğin özellikle analiz, sayılar kuramı ve geometri alanlarına özgün katkılar yapar.

Legendre’nin kanıtı küre geometrisine dayanır ve küresel çokgen alanları için verilen küresel aşırılık formülünü kullanır.

Şimdi herhangi bir çokyüzlüyü, yeterince büyük bir kürenin içerisinde hayal edelim. Ayrıca bu kürenin merkezi çokyüzlünün içinde yer alsın. Kürenin merkezine bir mum yerleştirdiğimizi farz edelim. Çokyüzlünün kenarları bu ışık sayesinde kürenin sınırında yaylar oluştururlar. Kenarı yaylara dönüştüren bu yönteme radyal izdüşüm diyoruz. 

Kürenin üzerinde yaylarla sınırlanarak oluşan geometrik cisme çokyüzlü ağı adı veriyoruz. Radyal izdüşümün dörtyüzlü için nasıl çalıştığını Şekil 3’te görebilirsiniz.

Euler’in çokyüzlü formülünü kanıtlamak isteyen Legendre, çokyüzlülerin kendileri yerine, onların radyal izdüşümü olan çokyüzlü ağlarını ele alır. Çünkü bu geçiş çokyüzlünün köşe, kenar ve yüz sayısını değiştirmez.

Varsayalım ki küremizin yarıçapı 1 birim olsun. Bunu isteyebiliriz çünkü çokyüzlünün uzunluk gibi temel geometrik özellikleri ile ilgilenmiyoruz. Yarıçapı 1 birim olan kürenin yüzey alanı 4π birim karedir. Yüzey alanı ayrıca çokyüzlü ağının tüm yüzlerinin alanları toplamına eşittir. Her bir yüz küresel çokgen olduğu için küresel aşırılık formülü gereğince alanı, kenar sayısı n olmak üzere, açılarının toplamından (n – 2)π çıkarılarak hesaplanabilir. Tüm bu alanların toplamı aşağıdaki gibi üçe ayrılalım:

  • Tüm küresel çokgenlerin tüm açılarının toplamı; her bir köşenin 2π katkısı olacağı için bu toplam 2πV olacaktır.
  • Tüm çokgenlerin kenarlarının sayısının toplamı; 2E’dir ve her biri π katkı yapar.
  • Her bir yüzden gelen katkı 2π’dir.

Sembolik olarak ifade edecek olursak

Böylece kürenin alanını hem 4π’ye hem de 2π (V – E + F)’ye eşit olur. Her iki tarafını 2π’ye bölerek kanıtı tamamlarız.

DESCARTES’İN ÖN ÇALIŞMALARI

René Descartes (1596-1650), öldüğü zaman, tüm varlığı Fransa’ya geri gönderilir ancak taşıma esnasında el yazmalarını içeren kutu nehre düşer. Çoğunluğu kurtarılır. Kurutulduktan sonra Gottfried Leibniz (1646-1716)’in de dahil olduğu bir sürü bilim insanına sunulur.

Leibniz, aralarında on altı sayfalık Progymnasmata de solidorum elementis (Katı cisimlerin öğelerine dair çalışmalar) başlıklı makalenin de dahil olduğu birçok el yazmasını temize çeker. Daha sonra aslı ortadan kaybolur ve Leibniz’in kopyası da 1860’da yeniden keşfedilene kadar fark edilmez.

Bu yüzden, 200 yıldan uzun bir süre boyunca, sadece Leibniz, Descartes’in çokyüzlüler üzerine çalışmalar yaptığı bilgisine sahipti.

Euler’in zamanındaki ise hiç kimse bunu bilmediği için Euler çokyüzlülerin öğelerine dair çalışmalarını Descartes’in el yazmalarından bağımsız olarak keşfeder.

Descartes’in el yazmalarından Euler’in çokyüzlü formülünü bildiği anlaşılıyor. Ancak Descartes formülü başka şekilde ifade ediyor.

İleri okumalar:

  • L. Euler – Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita, Novi Commentarii Academiae Acientiarum Petropolitanae 4 (1752/4) 1758, p. 140-160, reprinted in Opera Omnia, Series I, Vol. 26, p. 94-108.
  • L. Euler – Proof of Some Notable Properties with which Solids Enclosed by Plane Faces are Endowed, translated by Christopher Francese and David Richeson, 2004
  • Great Soviet Encyclopedia, René Descartes, Macmillan Publishers, Third Edition, 1979.
  • Great Soviet Encyclopedia, Adrien Marie Legendre, Macmillan Publishers, Third Edition, 1979.
  • E. Sandfier – How Euler Did It, V, E and F, Part 2, Mathematics Association of America, 2006.
  • P. R. Cromwell – Polyhedra, Cambridge University Press, 1997.

Tam Metin: Oğuz Şavk, “Euler’in çokyüzlü formülünün kanıtı” – Sol Bilim

http://haber.sol.org.tr/bilim/eulerin-cokyuzlu-formulunun-kaniti-258259

 Matematiksel  

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Başa dön tuşu
Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert
Kapalı