Topoloji Nedir?

Topoloji, yüzeylerin ve genel şekillerin özelliklerini inceleyen, fakat uzunluk ve açılarla ilgilenmeyen geometri dalıdır. Önem verdiği şeylerin başında şekillerin başka bir şekle dönüştüklerinde değişmeyen özellikleri gelir. Şekilleri dilediğimiz gibi çekiştirmek serbesttir, hatta bu yüzden
topolojiye bazen “lastik levha geometrisi” denir.

Öklid geometrisinin ana bileşenlerinin hepsi ölçme ile ilintilidir ve değişmezler içerir. Ancak 19. yüzyılın sonuna yaklaşırken matematikçinin geometriyi daha farklı yorumlamaya başladılar ve daha esnek bir geometri türü geliştirdiler. Zaman içinde topolojinin statüsü hızla yükseldi ve matematik sahnesinin merkezine yerleşti.

Topoloji 19.yy’da ortaya çıksa da aslında tarih sahnesinde dönem dönem belirginleştiği zamanlar oldu hatta kökenini Antik Yunanlara kadar götürmek mümkün. Öklid’in Elemanların’ının doruknoktası, düzgün çokyüzlülerin tam 5 tane olduğunu göstermesidir. Bunlara platonik cisimler denir. Her yüzün aynı olma koşulunu ortadan kaldırırsak Arşimet cisimlerinin diyarına girmiş oluruz ki bunlara yarı-düz­gün çokyüzlüler denir.

Topoloji tanımı ortaya konmadan onunla ilgili temel iki öğeyi Euler öne sürdü. Bunlar “Euler’in Çokyüzlüler Formülü” ve “Königsberg Köprüleri” bulmacasının çözümü idi.

Topoloji hakkında bir önseziye Gauss’ta sahipti. Manyetizma üzerine yaptığı çalışmalarda, günümüzde geçişme sayısı olarak bilinen bir topolojik değişmez gösterdi. Bu sayı, kapalı bir eğrinin bir başkasının üzerine nasıl sarıldığını belirler. Ancak topolojinin gelişmesinde Gauss’un etkisi, öğrencisi olan Johann Listing ve asistanı Augustus Möbius’a bağlıdır. 1834’te Listing “Topoloji İçin Ön Çalışma” adlı eserinde Yunanca’da yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos kelimelerinden türetilen topoloji kelimesini ilk olarak kullandı.

Möbius şeridi
Möbius şeridi

Normalde bir yüzeyin iki tarafı olur. Bir topun dışıyla içi farklı yüzlerdir; bir yüzden öbürüne geçmek için delik açmak gerekir ki topolojide bu gibi işlemlere izin yoktur (çekmek serbest ama kesmek yok ). Tek taraflı bir yüzeyin nasıl olabileceğini ilk başta aklımız almasa da Alman matematikçi ve gökbilimci August Möbius, 19. yüzyılda böyle bir şekil keşfetti. Bu şekli elde etmek için yapmanız gereken bir kağıt şeridi alıp bir ucunu bir tur döndürerek diğer ucuyla birleştir­mektir. Oluşan tek taraflı ve tek kenarlı kıvrık şekle “Möbius şeridi” denir. Bir kalemle ortasından çizmeye başlarsanız, başlangıç noktasına dönebilirsiniz bu şekilde.

Ancak yine de 19.yy ortalarına kadar topoloji kendi kimliğini ve gücünü ortaya koyup matematiğin bir dalı haline gelememiştir. Başta Henri Poincare’in araştırmaları ile birlikte topoloji 1960’lı yıllarda zirve yapmış ancak giderek daha soyut bir hal almaya başlamıştır. Yüz yıldan uzun bir süre boyunca topolojideki en meşhur sorulardan biri, adını Henri Poincare’den alan Poincare sanısıydı. Bu, cebirle topoloji arasındaki bağı kuran sanıdır.

Sanının son döneme kadar bir türlü çözülemeyen kısmı kapalı 3-manifoldlarla ilgiliydi. Kimse Poincare sanısını 3-manifoldlar için ispatlayamamıştı. Ta ki 2002’de St. Petersburg’daki Steklov Enstitüsünden Griguri Perelman sonunda doğru ispatı yapana kadar. Matematikteki diğer büyük problemlerde olduğu gibi bu ispat da kendi dışındaki alanların, örneğin ısı difüzyonuyla ilgili bir tekniğin yardımını gerektiriyordu.

 

Topolojide simit ve kahve fincanı özdeştir.

Süreklilik dünyamızın temel özelliklerinden biridir ve süreklilik derinlemesine incelendiğinde bizi topolojiye götürür. Kaos kavramını günümüzde bir miktar anlayabilmemiz yine topoloji sayesindedir. Topolojinin en çok da muhtemel kuantum alanında çalışma yapanlar faydalanmaktadır. DNA molekülündeki burgu ve dönüşlerin tanımlanması ve analizinde de topolojik düşünceler gerektiği için topoloji moleküler biyolojinin de içindedir.

Kısacası topoloji uzunluk gibi nicel özelliklerin yerine nitel özelliklerle ilgilenir. Belki de bu yüzden günümüzde matematikçilerin en çok ilgisini çeken biri halini almıştır.

Konu hakkında bilgi almaya devam etmek isterseniz Möbius Şeridi – Klein Şişesi: İki Topolojik Nesne başlıklı yazıdan devam edebilirsiniz.

Matematiksel

Paylaşmak İyidir

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Kalkülüs ve Optimizasyon

Optimizasyon eldeki kısıtlı kaynakları en verimli biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir kısaca. Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');