Geometri

Yeni Başlayanlar İçin Topoloji: Nedir Ve Neden Önemlidir?

Topoloji ismini duyduğunda bir çok kişinin aklına topografi gelse de aslında ikisi birbirinden çok farklı şeylerdir. Topoğrafya, bir arazi yüzeyinin tabii veya suni ayrıntılarının meydana getirdiği şekil ile ilgidir. Bu şeklin kâğıt üzerinde harita ve tablo şeklinde gösterilmesiyle ilgili ölçme, hesap ve çizim işlerinin hepsini kapsar. Ancak topolojide kullanılan haritalar bu haritalardan çok daha farklıdır. Evet topolojide de haritalar vardır ancak bu haritalar daha çok bir matematiksel uzaydan diğerine giden sürekli fonksiyonlar ile ilgilidir. Süreklilik dünyamızın temel özelliklerinden biridir ve süreklilik derinlemesine incelendiğinde bizi topolojiye götürür. Kafanız hemen karışmasın basit devam edelim.

Topoloji Nedir?

Topoloji yüzeylerin ve genel şekillerin özelliklerini inceleyen, fakat uzunluk ve açılarla ilgilenmeyen geometri dalıdır. Basit bir ifadeyle, ölçümler olmadan şekillerin incelenmesidir. Klasik geometride, bir şekli kaydırabilir, yansıtabilir veya döndürebilirsiniz, bunlar eş şekiller olacaktır. Önemli olan açı ve uzunlukların değişmemesidir. Ancak topoloji bunlar ile ilgilenmez. Kesmeden, delmeden veya birbirine yapışmadan sürekli gerdirme veya bükme yoluyla şekillerin birbirine dönüşümleri ile ilgilenir. Hatta bu yüzden topolojiye bazen “lastik levha geometrisi” de denir. Topolojide bir küp, bir piramit ve bir küre aynı şeydir.

Topoloji de Bir Şeklin İçerdiği Delik Sayısı Önemlidir

Tipik topolojik bilgiler, bir şeklin içindeki deliklerin sayısı ve türü ile ilgilidir. Örneğin, “i” harfi bir boşlukla ayrılmış iki bölümden oluşur ve topolojik dönüşüm sonucunda bu boşluk kapanmaz. Dolayısıyla, “i”, “j” ve “11” sayısı aslında topoloji de birbirine eşdeğerdir. Ancak “L” veya “3” ile eşdeğer değildir. Bu nedenle “O” harfi, “A” harfi ve “9” sayısı topolojik olarak aynı şeylerdir. Ancak “8” sayısı iki delik içerdiği için farklıdır.

Kısacası topolojik nesneler bir, iki, üç, dört ya da daha fazla sayıda delik içerebilir ve iki nesnenin birbiri ile aynı olması bu nesnelerdeki delik sayısı ile ilgilidir.

topoloji
Nesneyi kesmeden veya yırtmadan birini diğerine doğru bükebilir, esnetebilir veya küçültebilirseniz, iki nesne topolojik olarak aynıdır. Klasik örnek, bir kahve fincanının topolojik olarak bir çörek ile aynı olmasıdır. Çöreğinizin bir tarafını oyup, girintiyi kahve fincanına benzeyene kadar daha da büyütün ve çöreğin geri kalanını fincanın sapı olacak şekilde küçültün. Öte yandan, bir topu çörek haline getirmek için, topolojide izin verilmeyen bir şey olan bir delik açmanız gerekir. Yani bir top ve bir çörek (veya kahve fincanı) topolojik olarak aynı değildir.

Kısaca Topoloji Tarihi

2.000 yıl süre Öklid geometrisi hakim olsa da 18. ve 19. yüzyılların başlarında, bazı matematikçiler, şekillerin küresel özelliklerini göz önünde bulundurarak geometrik nesnelere farklı bakmaya başladılar. 1900’lerin başlarında ise soyut cebirsel yapıları işin içine dahil etmek için “şekil” kavramından uzaklaşan topoloji kavramı ortaya çıktı. Ancak topoloji tanımı ortaya konulmadan önce, elbette bazı öncül adımlar gerekli idi. İlk hamle Euler’den geldi. 1750’de Leonhard Euler tüm çokyüzlülerin temel bazı özellikleri paylaştığını öne sürdü ve kendi adıyla anılan “Euler’in Çokyüzlüler Formülü”nü ortaya koydu. Ancak, 1813’te bir başka İsviçreli matematikçi Simone L’Huilier, Euler’in formülünün tüm çokyüzlüler için doğru olmadığını kanıtladı. Bu formül içinde delik içeren çokyüzlüler için ve dışbükey olmayan çokyüzlüler için yanlış sonuç veriyordu.

Topoloji, Yunanca’da yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos kelimelerinden türetilmiştir. Bu kelime ilk olarak 1847’de Johann Listing tarafından kaleme alınan “Topoloji İçin Ön Çalışma” adlı çalışmada kullanıldı. Listing, Euler’in formülünü karşılamayan veya farklı “dış” ve “iç” yüzeylere sahip olan şekillerle ilgileniyordu. Hatta August Möbius’tan birkaç ay önce Möbius şeridinin bir versiyonunu da tasarlamıştı. Ancak yine de 19.yy ortalarına kadar topoloji kendi koyamadı. 1904’te Henri Poincaré, Evrenin şeklini anlamak için topolojik bir temel oluşturmaya yardımcı olacak bir teori üreterek topolojiye somut bir gerçeklik kazandırdı.

Topoloji Ne İşe Yarar?

Topoloji günümüzde bilimin her alanında karşımıza çıkmaktadır. Örneğin, genetik ve moleküler biyoloji gibi alanlarda, belirli enzimler tarafından DNA çevresinde oluşturulan düğümlerin çözülmesine yardımcı olmak gibi çeşitli uygulamaları vardır. Topoloji, manyetik ve elektriksel alanları ölçmek ve değerlendirmek için de kullanılır. Topoloji, alanların şeklini belirleyebilir. Ayrıca topoloji, sicim teorisini tanımlamak veya gözlemlenen verilere uyan evrenin şeklinin modellerini oluşturmak için fizikte ayrı bir öneme sahiptir. Topoloji, bilgisayar ağ sistemlerinin tasarlanmasında da kritik önem taşır. İş istasyonlarının, anahtarların ve sunucuların düzeni, ağın fiziksel topolojisini oluşturur. Bu veri iletme kapasitesini ve hızını büyük ölçüde etkiler. Ayrıca aşağıdaki bağlantılar aracılığı ile başka kullanım alanları hakkında da fikir edinebilirsiniz.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu