Geometri

Yeni Başlayanlar İçin Topoloji: Nedir Ve Neden Önemlidir?

Süreklilik dünyamızın temel özelliklerinden biridir ve süreklilik derinlemesine incelendiğinde bizi topolojiye götürür. Kafanız hemen karışmasın basit devam edelim. Bu yazıda kısaca “Topoloji nedir? “sorusunun cevabını vermeye çalışalım. Ancak öncelikle kısa bir zaman yolculuğuna birlikte çıkalım.

2.000 yıl süre Öklid geometrisi hakim olsa da 18. ve 19. yüzyılların başlarında, bazı matematikçiler, şekillerin küresel özelliklerini göz önünde bulundurarak geometrik nesnelere farklı bakmaya başladılar. 1900’lerin başlarında ise soyut cebirsel yapıları işin içine dahil etmek için “şekil” kavramından uzaklaşan topoloji kavramı ortaya çıktı. Topoloji, Yunanca’da yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos kelimelerinden ortaya çıktı. Bu kelime ilk olarak 1847’de Johann Listing tarafından kullanıldı.

Topoloji Nedir?

Basit bir ifadeyle, ölçümler olmadan şekillerin incelenmesidir. Klasik geometride, bir şekli kaydırır, yansıtır r veya döndürürsünüz. Sonucunda elde edeceğiniz şekiller birbirine eş şekiller olacaktır. Önemli olan açı ve uzunlukların değişmemesidir. Ancak topoloji için bu gibi durumlar fazla önemli değildir. Topoloji, kesmeden, delmeden veya birbirine yapışmadan sürekli gerdirme veya bükme yoluyla şekillerin birbirine dönüşümleri ile ilgilenir. Hatta bu yüzden topolojiye bazen “lastik levha geometrisi” de denir.

Topolojide bir küp, bir piramit ve bir küre aynı şeydir. Konuya ilişkin ünlü bir örnek, bir çöreğin topolojik olarak bir kahve fincanı ile aynı şey olmasıdır. Bu dönüşümde korunan şey deliktir. Çöreğin ortasındaki delik, bardağın sapındaki delik olur. Diğer bir deyişle, delik yok olmaz.

topoloji
Bir çöreğin topolojik olarak bir kahve fincanı ile aynı şeye dönüşmesini görselde görebilirsiniz. Öte yandan, bir topu çörek haline getirmek için, topolojide izin verilmeyen bir şey olan bir delik açmanız gerekir. Yani bir top ve bir çörek (veya kahve fincanı) topolojik olarak aynı değildir.

Topoloji de Bir Şeklin İçerdiği Delik Sayısı Önemlidir

Bir küre topolojik olarak bir çörek veya kahve fincanı ile aynı değildir, çünkü herhangi bir deliği yoktur. Bu nedenle bir küreyi kesmeden bir çörek haline getiremezsiniz. Bir nesnedeki deliklerin sayısı topolojide önemli bir kavramdır. Çünkü delik sayısı düzgün dönüşümlerde korunmaktadır. Örneğin, “O” harfi, “A” harfi ve “9” sayısı topolojik olarak aynı şeylerdir. Çünkü hepsi bir delik içermektedir. Ancak “8” sayısı iki delik içerdiği için farklıdır. İki nesnenin birbiri ile aynı olması bu nesnelerdeki delik sayısı birbirine eşit olmalıdır. Topoloji, dönüşümler durumunda delik gibi hangi özelliklerin değişmez olduğuyla ilgilenir.

Kısaca Topoloji Tarihi

Topoloji tanımı ortaya konulmadan önce, elbette bazı öncül adımlar gerekli idi. İlk hamle Euler’den geldi. 1750’de Leonhard Euler tüm çokyüzlülerin temel bazı özellikleri paylaştığını öne sürdü. Bunun sonucunda kendi adıyla anılan “Euler’in Çokyüzlüler Formülü”nü ortaya koydu. Bu formül V + F – E = 2 biçimindedir. Burada V köşe sayısı, F yüz sayısı ve E kenar sayısıdır. Formül, tüm çokyüzlülerin temel özellikleri paylaştığını öne sürmektedir. Ancak, 1813’te bir başka İsviçreli matematikçi Simone L’Huilier, Euler’in formülünün tüm çokyüzlüler için doğru olmadığını kanıtladı. Bu formül içinde delik içeren ve dışbükey olmayan çokyüzlüler için yanlış sonuç veriyordu.

Sonrasında L’Huilier, her şeklin kendi “Euler karakteristiğine” sahip olduğu ve aynı Euler karakteristiğine sahip şekillerin ne kadar manipüle edilebileceklerine bakılmaksızın ilişkili olduğu bir sistem tasarladı. Devamında da Alman matematikçi Johann Listing 1847’de Vorstudien zur Topologie (Topolojiye Giriş Çalışmaları) adlı incelemesinde topoloji terimini ortaya attı. Aynı dönemde, bir başka Alman matematikçi Bernhard Riemann, René Descartes tarafından tasarlanan 2 boyutlu ve 3 boyutlu sistemlerin sınırlarının ötesine geçen yeni geometrik koordinat sistemleri tasarlamıştı.

Riemann’ın yeni çerçevesi, matematikçilerin görünüşte “imkansız” şekiller de dahil olmak üzere dört veya daha yüksek boyuttaki şekilleri keşfetmelerini sağladı. Böyle bir şekil, 1882’de Alman matematikçi Felix Klein tarafından tasarlanan “Klein şişesi” idi.

Klein şişesi
Klein şişesi de, Möbius şeridinin tuhaf özelliklerini taşıyan 3 boyutlu geometrik bir nesnedir. Normal olarak bir şişenin bir iç bir de dış yüzeyi olması gerekir. Ancak bu Klein şişesi için geçerli değildir. Bu şişenin de tek bir yüzü vardır yani aslında iç yüzeyi ve dış yüzeyi birdir. Ayrıca Klein şişesinin, kendi gövdesini delip “içine” giren, oradan da “dibine” açılan bir de boynu vardır.

Ancak yine de 19.yy ortalarına kadar topoloji kendi başına bir araştırma konusu olamadı. 1904’te Henri Poincaré, Evrenin şeklini anlamak için topolojik bir temel oluşturmaya yardımcı olacak bir teori üreterek topolojiye somut bir gerçeklik kazandırdı.

Evrenin Şekli Nedir?

Evrenin şekli uzun süre boyunca merak edilmiştir. Sonuçta 3 boyutlu bir dünyada yaşıyor gibiyiz. Ancak şekli hakkında herhangi bir anlamlı ifade kullanmamız için kendimizi bunun dışına, dört boyuta götürmemiz gerekiyor. Biliyoruz ki, 2 boyutlu bir yüzeyin şeklini anlamak için ona üç boyutlu olarak bakmamız gerekir. Şimdi, dört boyutun içine gömülmüş 3 boyutlu bir yüzey olan bir Evrende yaşadığımızı hayal edin. Bunun, 4 boyutlu uzaya gömülü bir küre olduğunu düşünebilirsiniz. İşte bu küre “3-küre” olarak da bilinir. “2-küre” dediğimiz zamanda, 3 boyutlu bir uzayda “normal” bir küreye (top gibi) eşdeğer bir şekli düşünmeliyiz.

1904’te Henri Poincare Evrenin şeklini anlamak için topolojik bir temel oluşturmaya yardımcı olacak bir teori üretti. Poincare varsayımı olarak bilinen şeyi önerdi. “Her basit bağlantılı, kapalı 3-manifold, 3-küreye homeomorfiktir.”dedi. Burada, 3-manifold”, yüzeyi büyütüldüğünde 3 boyutlu görünen, ancak daha yüksek boyutlarda bulunan bir şekildir. “Basit bir şekilde bağlanmış” olması da bir delik barındırmadığı anlamına gelir. Son olarak, “homeomorfik” yukarıda örneğini verdiğimiz, bir kupa ve bir çörek gibi birbirine dönüştürülebilen şekilleri tanımlar. Poincaré’ye göre, Evrenin delikler içermediği gösterilebilseydi, onu “3-küre” olarak modelleyebilirsiniz. ( Daha fazlası için: Düz, Küresel Ya da Hiperbolik: Evrenin Şekli Nedir?)

Topoloji ile ilgili gelişmeler 1900’lü yıllarda da devam etti. 1905’te Fransız matematikçi Maurice Fréchet, bir metrik uzay fikrini tasarladı. 20. yüzyılın başında da, Alman matematikçi David Hilbert, iki ve üç boyutlu Öklid uzaylarını alan ve onları sonsuz boyutlara genelleyen bir uzay fikrini icat etti. Topolojik matematiğin bu alanı “sonsuz boyutlu topoloji” olarak bilinir hale geldi.

Topoloji Ne İşe Yarar?

Topoloji günümüzde bilimin her alanında karşımıza çıkmaktadır. Örneğin, genetik ve moleküler biyoloji gibi alanlarda, belirli enzimler tarafından DNA çevresinde oluşturulan düğümlerin çözülmesine yardımcı olmak gibi çeşitli uygulamaları vardır. Ayrıca topoloji, sicim teorisini tanımlamak veya gözlemlenen verilere uyan evrenin şeklinin modellerini oluşturmak için fizikte ayrı bir öneme sahiptir. Topoloji, bilgisayar ağ sistemlerinin tasarlanmasında da kritik önem taşır. İş istasyonlarının, anahtarların ve sunucuların düzeni, ağın fiziksel topolojisini oluşturur. Bu veri iletme kapasitesini ve hızını büyük ölçüde etkiler. Ayrıca aşağıdaki bağlantılar aracılığı ile başka kullanım alanları hakkında da fikir edinebilirsiniz.

Topolojiye giriş amacıyla yazdığımız bu yazımızda kısaca topoloji nedir sorusuna cevap vermeye çalıştık. Konu ilginizi çekti ise, birbirinden ilginç özellikler ile tanışmaya hazır olun.



Kaynaklar ve ileri okumalar için:

Matematiksel

Başa dön tuşu