Pipetin kaç deliği vardır? İlk bakışta yanıt kolay gibi görünür. Kimine göre iki, kimine göre bir, hatta hiç deliği olmadığını söyleyenler bile vardır. Benzer tartışmalar “Plüton gezegen midir?” ya da “Sosisli sandviç gerçekten bir sandviç midir?” gibi sorularda da yaşanır. Bu soruların ortak noktası, doğru cevabın kullandığımız tanıma bağlı olmasıdır.
Matematikte de durum farklı değildir. Özellikle topologlar için “delik” gündelik hayatta kullandığımız anlamdan çok daha kesin bir kavramdır. Bir simit ile kahve fincanının neden aynı kabul edildiğini ya da bir pipetin gerçekten kaç deliğe sahip olduğunu anlamak için topolojinin dünyasına girmek gerekir.
Topoloji Nedir?
Topoloji, bir uzayın yırtılmadan veya kesilmeden yapılan dönüşümler sırasında değişmeyen özelliklerini inceleyen matematik dalıdır. Bu dönüşümlere bükme, germe ve sıkıştırma gibi işlemler dahildir.
Buradaki “uzay” kavramı yalnızca içinde yaşadığımız üç boyutlu dünyayı ifade etmez. Bir simidin yüzeyi, Klein şişesi ya da Möbius şeridi gibi geometrik yapılar da birer uzaydır. Hatta tam sayılar kümesi, polinomlar veya belirli özellikleri sağlayan fonksiyon kümeleri bile uygun biçimde tanımlandığında topolojik uzay olarak incelenebilir.
Topoloji, bir nesnenin tam olarak nasıl göründüğünden çok hangi temel özelliklerini koruduğuyla ilgilenir. Bir yüzey bükülebilir, gerilebilir veya sıkıştırılabilir. Ancak bu işlemler sırasında yeni bir delik açılamaz, var olan bir delik kapatılamaz ve yüzey yırtılamaz.
Bu nedenle topolojik açıdan bir top ile bir kase aynı sınıfta yer alır. Benzer şekilde bir simit ile kulplu bir kahve fincanı da eşdeğerdir. Çünkü her ikisinin de bir deliği vardır. Buna karşılık bir küreyi ya da bir kaseyi, yüzeyi kesmeden veya yeni bir delik açmadan simide dönüştürmek mümkün değildir.
Matematikçiler bu nedenle yüzeyleri sınıflandırırken delik sayısını temel ölçütlerden biri olarak kabul eder. Kapalı ve yönlendirilebilir yüzeylerde delik sayısı, yüzeyin topolojik sınıfını belirleyen en önemli özelliklerden biridir.
Topolojik eşdeğerlik nedir?
Topolojide iki uzay, birbirine çevrilebiliyorsa topolojik olarak eşdeğerdir. Bu ilişkiye homeomorfizm denir. Yani, bir şekli koparmadan, yırtmadan ya da yeni parçalar eklemeden başka bir şekle dönüştürebiliyorsak, bu iki şekil topolojik açıdan aynıdır. Ancak burada önemli bir nokta daha vardır. Dönüşüm geri alınabilir olmalıdır.
Örneğin bir doğru parçasını bükerek yarım çember hâline getirebiliriz. Sonra bu yarım çemberi tekrar düzleştirip doğru parçasına çevirebiliriz. Bu nedenle doğru parçası ile yarım çember topolojik olarak eşdeğerdir.
Ancak, bir doğru parçasını tek bir noktaya kadar küçültürsek işler değişir. Çünkü tek bir noktadan başlangıçtaki doğru parçasının hangi noktalarının nereye gittiğini yeniden çıkaramayız. Yani geri almak olası değildir.
Bu fark, topoloji ile klasik geometri arasındaki ayrımı da gösterir. Bu nedenle herhangi bir çokgen ya da basit kapalı eğri, topolojik açıdan bir çemberle aynıdır. Çember genellikle S¹ sembolüyle ifade edilir. Buradaki üstteki 1, çemberin bir boyutlu olduğunu belirtir.
Çemberi çoğu zaman iki boyutlu bir düzlemde çizeriz, ama üzerinde yaşayan çok küçük bir canlı yalnızca ileri-geri hareket edebilir. Onun için çember, yerel olarak kısa bir doğru parçası gibi görünür.
Topolojide bir dönüşümün önemli bir özelliği de sürekli olmasıdır. Yani bir şeklin başka bir şekle dönüşmesi için her biri küçük bir değişiklik içeren kesintisiz bir dönüşüm dizisi olmalıdır.
Bu durum bazı dönüşümlerin neden mümkün olmadığını da açıklar. Örneğin A harfi biçimindeki bir kil parçası, sürekli bir dönüşümle D harfine dönüştürülebilir. Ancak B ya da C harfine dönüştürülemez. Çünkü bu dönüşümler sırasında yeni boşluklar oluşturmak veya var olan bağlantıları değiştirmek gerekir.
Benzer şekilde, üç yapraklı düğüm de (trefoil knot) sıradan bir çembere dönüştürülemez. Düğümü çözmek için ipin kendi içinden geçmesi gerekir. Oysa topolojide buna izin verilmez.
Topolojik eşdeğerliğin ne anlama geldiğini gördük. Peki iki uzayın topolojik olarak farklı olduğunu nasıl anlayabiliriz? Örneğin herhangi bir çokgen topolojik açıdan bir çemberle aynı kabul ediliyorsa, hangi şekillerin birbirine eşdeğer olmadığını nasıl belirleriz?
Topolojik değişmezler nedir?
Matematikçiler bu sorunu çözmek için topolojik değişmez (topological invariant) adı verilen özellikleri kullanır. Bir özellik, topolojik olarak eşdeğer bütün uzaylarda aynı değeri koruyorsa topolojik değişmez olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, bir uzay bükülse, gerilse ya da biçimi değişse bile bu özellik değişmiyorsa, o özellik topolojik yapının bir parçasıdır.
Ancak bunun tersi her zaman doğru değildir. İki uzayın aynı topolojik değişmeze sahip olması, onların mutlaka topolojik olarak eşdeğer olduğu anlamına gelmez. Yani topolojik değişmezler, farklılığı kanıtlamak için yeterlidir; ama tek başına eşdeğerliği kanıtlamaya yetmez.
Topolojik değişmezlerin en önemli örneklerinden biri Euler karakteristiğidir. Euler karakteristiği, bir yüzeyin köşe, kenar ve yüz sayılarını kullanarak hesaplanır. Bu sayıların belirli bir birleşimi, yüzeyin topolojik yapısı hakkında bilgi verir. Bir çokyüzlünün Euler karakteristiği, köşe, kenar ve yüz sayılarıyla hesaplanır.
Yukarıda gördüğünüz beş Platonik cismin Euler karakteristiği ikidir. Bu sonucun aynı çıkması tesadüf değildir. Bu cisimlerin yüzeyleri topolojik olarak eşdeğerdir. Bu yüzden Euler karakteristikleri de aynıdır. Aynı zamanda, bir küre için de değer 2’dir. Yani, bu cisimlerin yüzeyleri topolojik olarak küreyle eşdeğerdir.
Buna karşılık simit yüzeyi yani torus için değer farklıdır. Torus üçgenlere bölünerek incelendiğinde v=12, e=24, f=12 değerleri elde edilir. Dolayısıyla χ(T)=12−24+12=0 olur. Bu sonuç, torusun küreyle topolojik olarak eşdeğer olmadığını gösterir. Başka bir deyişle, simit ile top aynı topolojik sınıfta değildir.
Homotopi Nedir?
Şimdiye kadar yalnızca geri alınabilir dönüşümlerden söz ettik. Ancak bazı durumlarda bu koşulu biraz gevşetmek isteriz. Bir dönüşüm hâlâ sürekli olmalıdır. Yani şekil bir anda kopuk kopuk değişmez. Fakat artık farklı noktaların birbirine yaklaşmasına, hatta birleşmesine izin veririz. Yeter ki bu süreç adım adım ve kesintisiz biçimde gerçekleşsin. Bu daha esnek ilişkiye homotopi denir.
Örneğin bir doğru parçası yavaş yavaş küçültülerek tek bir noktaya dönüştürülebilir. Bu yüzden doğru parçası ile nokta homotopik olarak aynı kabul edilir. Ancak çember için durum farklıdır. Bir çemberi tek bir noktaya küçültmeye çalıştığımızda, süreç bir noktada çemberin yapısını bozar. Çemberin sahip olduğu kapalı döngü kaybolur. Bu nedenle çember ile nokta homotopik olarak aynı değildir.
Matematikçiler geniş uzay ailelerini sınıflandırmak istediklerinde, homotopi çoğu zaman daha pratik bir başlangıç noktası sunar. Üstelik homotopi yalnızca kuramsal bir kavram değildir. Pratik uygulamaları da vardır. Bunun ilginç örneklerinden biri labirentlerin çözümüdür.
Bir labirentte amaç, başlangıç noktasından çıkışa ulaşan bir yol bulmaktır. Homotopi fikrinden yararlanan bazı algoritmalar, labirentin duvarlarını düşünsel olarak sürekli biçimde dönüştürerek olası yolları sadeleştirir. Çıkış varsa, bu yöntem sonunda onu ortaya çıkarır.
Topolojide Delikler Nasıl Sayılır? Homoloji Nedir?
Şimdiye kadar delikleri sezgisel olarak ele aldık. Ancak matematikte bu kavram çok daha kesin biçimde tanımlanır. Homoloji, bir uzaydaki farklı boyutlardaki delikleri belirlemeyi amaçlar. Örneğin bir simidin ortasındaki boşluk bir boyutlu bir deliği temsil ederken, küre gibi bazı yüzeyler iki boyutlu boşluklar oluşturur. Homoloji, bu yapıları cebirsel yöntemlerle inceleyerek uzayları sınıflandırmayı sağlar.
Bu yaklaşımın en önemli kavramlarından biri Betti sayılarıdır. Betti sayıları, bir uzaydaki birbirinden bağımsız deliklerin sayısını gösterir. Örneğin:
- β₀, bağlantısız parçaların sayısını,
- β₁, bağımsız halka veya tünellerin sayısını,
- β₂ ise içi boş hacimlerin sayısını ifade eder.
Bu sayılar sayesinde iki uzay, yalnızca görünümlerine bakılarak değil, taşıdıkları topolojik özelliklere göre de karşılaştırılabilir.
Bugün topoloji yalnızca soyut matematiğin konusu değildir. Topolojik veri analizi, sensör ağları, biyoloji ve yüksek boyutlu veri kümeleri gibi alanlarda da kullanılır. Kalıcı homoloji gibi yöntemler, büyük veri kümelerinde gözle fark edilmeyen boşlukları, kümelenmeleri ve yapısal örüntüleri belirlemeye yardımcı olur.
Bu yüzden topoloji, gündelik nesnelerle başlayan merak uyandırıcı soruları modern bilimin araçlarına bağlayan güçlü bir matematik dilidir. Topoloji ile ilgili daha fazla okumak isterseniz: Delik Nedir? Bir Pipette Kaç Delik Vardır?
Kaynaklar ve ileri okumalar için:
- Penrose R. The topology of ridge systems. Ann Hum Genet. 1979 May;42(4):435-44. doi: 10.1111/j.1469-1809.1979.tb00677.x. PMID: 475332
- .Topology 101: The Hole Truth. Kaynak site: Quanta Magazine. Yayınlanma tarihi: 26 Ocak 2021. Bağlantı: Topology 101: The Hole Truth
Matematiksel
