GeometriMATEMATİK

Königsberg Köprüsü Problemi Matematiği Nasıl Değiştirdi?

Baltık Denizi kıyısında Litvanya ve Polonya arasında sıkışmış Rusya’nın Kaliningrad Oblastı olarak bilinen bir bölgesi var. Burası II. Dünya Savaşı’ndan sonrasında aceleyle inşa edilen kalitesiz gri apartmanlarla dolu kasvetli bir sanayi şehridir. Bu sadece mimarlığı sevenler için değil, aynı zamanda nostaljik matematikçiler için de üzücüdür. Çünkü tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan Leonhard Euler, 18. yüzyılda burada bulunan Königsberg şehrinin düzeni sayesinde, sonunda matematiğin iki yeni alanına, topoloji ve çizge teorisine, katkıda bulunan bir bulmacayı yanıtlamıştı.

Königsberg, Pregel nehrinin kıyısında inşa edilmiştir. Yedi köprü, iki adayı ve nehrin kıyılarını birbirine bağlıyordu. Königsberg vatandaşlarının çoğu Pazar öğleden sonralarını şehirde dolaşarak geçiriyordu. Sonra zamanla bir eğlence başladı. Dolaşmaya çıkanlar her köprüyü yalnızca bir kez geçerek şehrin içinde yürüyebilir mi? Bu soru zamanla, Königsberg Köprüsü problemi olarak bilindi. İşin içine Euler karışına kadar da bulmaca şehir sakinlerini ve matematikçileri oldukça oyaladı.

Temsili bir çizim

Euler’in Königsberg İle İlgisi Ne?

Carl Leonhard Euler o zamanlarda, Königsberg’in yaklaşık 130 km. batısında bulunan Prusya’da bir şehir olan Danzig’in belediye başkanıydı. 1736’da Euler’e yazılan bir mektup, Königsberg Köprüsü probleminden haberdar olmasını sağladı. Euler’in ise bu probleme bir cevap vermesi sadece 4 gününü alacaktı. Euler çözümü için tüm alakasız bilgileri göz ardı etti. Çözüm için Königsberg haritası da gerekli değildi. Bize gereken sadece Königsberg köprüleriydi. Bu yüzden Euler köprüleri çizgiler, adalar ve anakarayı ise daireler şeklinde çizdi. Bir köprüden diğerine ancak her ikisi de aynı daireye bağlıysa yürüyebilirsiniz.

Königsberg Köprülerinin grafik olarak gösterimi; Köprüler çizgiler ile anakara ve adalar da daireler ile gösteriliyor.

Königsberg Köprüsü Problemi Çözümü

Königsberg kentinde her köprüyü tam olarak bir kez geçerek dolaşmanın imkansız olduğunu gösteren Königsberg Köprüsü Probleminin çözümünü, 1735’te Euler Petersburg Akademisi üyelerine sundu. Çözümü basitçe şu şekilde aktarabiliriz. Euler öncelikle her bir daireyi ( düğümü) ‘tek’ veya ‘çift’ olarak tanımladı. Bir düğüm, kendisinden çıkan tek sayıda çizgi varsa tektir aksi halde çifttir. Sonunda da kuralını belirledi. Her yolun sadece bir kez kullanıldığı bir devre, devrede hiç tek dereceli düğüm yoksa ya da iki tane tek dereceli düğüm varsa mümkündür. Ayrıca eğer iki tek düğüm varsa, devreden geçen yol tek düğümlerden birinde başlamalı ve diğerinde bitmelidir.

Böyle bir yürüyüşü gerçekleştirmek isteyen kişinin iki seçeneği vardır. Seçeneklerinden ilki bir tur yapmaktır yani başladığı noktada yürüyüşünün bitirmektir. Diğer seçenek ise bir noktada yürüyüşe başlayıp başka bir yerde yürüyüşü tamamlamaktır. Önemli olan tek bir şey vardır. O da her köprüyü sadece bir kez geçmek. Aynı köprüden gidip geri dönmek bu nedenle mümkün değildir. Eğer ilk senaryodaki gibi bir yürüyüş yapar yani bir tur atarsanız yola çıktığınız kara parçasına bağlı en az iki köprü olması gerekir. Birini giderken diğerini de dönerken kullanacaksınız. Yani köprü sayısı çift olmalıdır. Grafik üzerinde düşünürsek de her daireye çift sayıda çizgi bağlı olmalıdır.

Farklı bir başlangıç ​​ve bitiş noktası olan ikinci senaryodaki gibi bir yürüyüşte, başlangıç ​​noktasında bir köprü ve bitiş noktasında bir köprü vardır. Yürüyüşünüz esnasında da bir köprüden kara parçasına ayak basar, diğer köprüden de çıkarak yolunuza devam ederseniz. Bu durumda eğer A noktasından B noktasına gidiyorsanız yola A noktasındaki köprüden geçerek çıkmalı sonra bir giriş bir çıkış iki ucu olan bir kara parçasından geçmeli ve son olarak bir köprü ile B noktasında varmalısınız. Şimdi yukarıdaki grafiğe göz atın. Her ada parçasına bağlı tek sayıda çizgi olduğunu göreceksiniz. İşte bu nedenle Königsberg şehrinin içinde her köprüden bir kere geçerek dolaşmak imkansızdır.

Ya 8. Köprü Eklenirse?

19. yüzyılın sonlarında bölgeye 8. köprü inşa edildi. Bu da elbette bulmacanın cevabını değiştirdi. Çünkü bu sayede artık başlanılan noktaya geri dönmeden turu tamamlamak mümkün olmuştu. Çünkü tek düğümlerin sayısı ikiye düşmüştü ve tura başlayan herkes bu tek düğümlerin birinden yola çıkıp diğerinde turunu tamamlıyordu.

Bölgeye 8. köprü yapıldıktan sonra harita değişti.

Ne yazık ki, 1944’te hava saldırıları eski köprülerin çoğunu yok etti. Ancak Königsbergerliler farkında olmadan Euler devrelerinin keşfedilmesini sağlamışlardı. Günümüzde bu devreler ile uğraşanların eğlenceden farklı amaçları olduğunu muhtemel tahmin edebilirsiniz. Bu fikir artık Google Haritalar ile rotaları planlamak için de kullanılıyor.

Göz Atmak İsterseniz

Kaynak: Why Do Buses Come in Threes?: The Hidden Maths of Everyday Life; Jeremy Wyndham;ISBN-10 ‏ : ‎ 9780471379072

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu