Bugün Rusya’ya bağlı Kaliningrad’ın gri ve kasvetli görüntüsüne bakınca, bu şehrin matematik tarihinde böylesine önemli bir rol oynadığını düşünmek zordur. Ancak 18. yüzyılda kent, Prusya’nın Königsberg şehri olarak bambaşka bir kimliğe sahipti.
Pregel Nehri şehrin içinden geçiyor, nehir üzerindeki iki büyük ada ile iki kıyıyı birbirinden ayırıyordu. Yedi farklı köprü de bu kara parçalarını birbirine bağlıyordu.
O dönemde şehir sakinleri, yedi köprünün her birinden yalnızca bir kez geçerek tamamlayabilecekleri bir yürüyüş rotası bulmaya çalışıyordu. Ancak hangi yolu denerlerse denesinler, köprülerden birini ikinci kez geçmek zorunda kalıyorlardı.
Problem zamanla yerel düşünürlerin de ilgisini çekti. Sonunda ünlü İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’e mektup yazarak bu soruna açıklık getirmesini istediler. Euler başlangıçta problemin matematikle pek az ilişkisi olduğunu düşünüyordu. Bir bakıma haklıydı çünkü çözüm için gereken matematiksel yaklaşım henüz ortaya çıkmamıştı.
Euler daha sonra Königsberg’in Yedi Köprüsü problemini ele aldı. Ancak şehir halkının aradığı rotayı bulmadı. Bunun yerine böyle bir rotanın neden mümkün olmadığını matematiksel olarak gösterdi. Bu çözümle çizge kuramının temellerini attı ve daha sonra topolojiye dönüşecek düşünce biçimine öncülük etti.
Königsberg Köprüsü Problemi Neden Önemlidir?
Her problemde, önce gereksiz ayrıntıları ayıklamak gerekir. Geriye yalnızca problemi tanımlayan temel unsurlar kalır. Yedi köprü probleminde köprülerin uzunluğu, adaların yüzölçümü ya da haritanın hangi yöne baktığı sonucu değiştirmez. Önemli olan, kara parçalarının birbirine hangi köprülerle bağlandığıdır.
Euler bu ayrıntıları kaldırınca karmaşık şehir haritası basit bir diyagrama dönüştü. Her kara parçasını bir noktayla, her köprüyü de bu noktaları birbirine bağlayan bir çizgiyle gösterdi. Böylece önünde artık bir harita değil, bağlantılardan oluşan soyut bir yapı vardı. Euler’in asıl yeniliği de burada başladı.
Modern matematik bu tür yapılara “çizge” ya da “graf” adını verir. Ancak “graf” sözcüğü, koordinat düzlemindeki eğriler ve istatistiksel grafiklerle kolayca karışır. Bu nedenle günlük anlatımda “ağ” sözcüğü de kavramı açıklamaya yardımcı olur.
Bir çizgede noktalar “düğüm” ya da “köşe”, bunları birbirine bağlayan çizgiler ise “kenar” adını alır. Çizgeler yalnızca köprüleri ve kara parçalarını temsil etmez. Sosyal medya kullanıcıları arasındaki ilişkileri, proteinler arasındaki etkileşimleri, ulaşım ağlarını ve internetin yapısını da aynı yöntemle modelleyebiliriz.
Böylece Königsberg problemini şu soruya dönüştürürüz: Bir çizgenin her kenarından yalnızca bir kez geçerek kesintisiz bir yol çizmek mümkün müdür?
Yanıtı bulmak için her düğüme bağlanan kenarların sayısına bakarız. Matematikçiler bu sayıya düğümün derecesi adını verir. Bağlantılı bir çizgede bütün düğümlerin derecesi çiftse, her kenardan bir kez geçip başladığımız noktaya dönebiliriz. Yalnızca iki düğümün derecesi tekse, birinden başlayıp diğerinde biten bir yol oluşturabiliriz. İkiden fazla düğümün derecesi tek olduğunda ise böyle bir yol çizilemez.
Königsberg çizgesinde dört düğümün de derecesi tekti. Bu nedenle Euler, şehir sakinlerinin aradığı rotanın bulunmadığını matematiksel olarak kanıtladı.
Königsberg Köprüsü Problemi Çözümü Nedir?
Bir çizgenin her kenarından yalnızca bir kez geçen bir yol düşünün. Yolun ortasındaki bir düğüme bir kenardan giriyorsak, başka bir kenardan çıkmamız gerekir. Bu yüzden bu düğümlere bağlı kenarların sayısı çift olmalıdır.
Yalnızca başlangıç ve bitiş düğümleri bu kuralın dışında kalır. İki düğümün kenar sayısı tekse yol birinde başlar, diğerinde biter. Bütün düğümlerin kenar sayısı çiftse yol başladığı noktaya geri döner.
Bu düşünce, çizge kuramının ilk temel sonuçlarından biri sayılır. Her kenardan yalnızca bir kez geçen yollar bugün Euler yolu adını taşır. Teknik olarak Euler, öncelikle böyle bir yolun hangi koşullarda var olamayacağını gösterdi. Bu koşullar sağlandığında yolun mutlaka var olduğunu kanıtlayan genel sonuç ise daha sonra ortaya çıktı.
Königsberg çizgesine baktığımızda dört düğümün de tek dereceye sahip olduğunu görürüz. Dolayısıyla kent sakinleri aradıkları yolu boşuna arıyordu. Yedi köprünün her birinden yalnızca bir kez geçen bir rota yoktu.
Burada ilginç bir ayrım ortaya çıkar. Her köprüden değil de her kara parçasından yalnızca bir kez geçmek isteseydik, ilk bakışta benzer görünen ama çok daha zor bir problemle karşılaşırdık. Çizgedeki her düğümü tam bir kez ziyaret eden bir yola Hamilton yolu denir.
Euler yolunun varlığını düğümlerin derecelerine bakarak kolayca test edebiliriz. Hamilton yolu içinse buna benzer hızlı ve genel bir yöntem bilmiyoruz. Bu nedenle Hamilton yolu problemi, bilgisayar biliminde çözümü zor kabul edilen problem sınıflarından birinde yer alır.
Euler başlangıçta köprü problemini sıradan bulmuştu. Ancak alışık olduğu matematiksel araçlarla çözememesi zamanla ilgisini çekti. Bir arkadaşına yazdığı mektupta şu ifadeyi kullandı: “Bu soru son derece sıradan görünüyordu. Yine de ne geometrinin, ne cebirin ne de sayma sanatının onu çözmeye yetmesi, soruyu ilgilenmeye değer kıldı.”
O dönemde geometri daha çok uzunluk, açı ve alan gibi ölçülebilir niceliklerle ilgileniyordu. Köprü problemi ise görünüşte geometrik olmasına rağmen hiçbir ölçüm gerektirmiyordu. Köprülerin uzunluğu, nehrin genişliği ya da adaların biçimi sonucu değiştirmiyordu. Önemli olan yalnızca kara parçalarının birbirine nasıl bağlandığıydı.
Bu düşünce biçimi, topoloji adı verilen başka bir matematik dalının da temellerini hazırladı. Topoloji, cisimleri esnek bir maddeden yapılmış gibi gerip büksek bile değişmeden kalan geometrik özellikleri inceler.
Sonuç olarak
Çizge kuramı ile topoloji bugün hâlâ yeni matematiksel sonuçlar üretmeye devam ediyor. Bütün bunların başlangıcında ise yedi köprünün her birinden yalnızca bir kez geçmeye çalışan bir grup kent sakini vardı.
Ek Okuma İçin: Graf (Çizge) Teorisi Dünyamızı Nasıl Şekillendiriyor
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- The bridges of Königsberg. yayınlanma tarihi: 5 Ağustos 2016; Bağlantı: The bridges of Königsberg
- How the Seven Bridges of Königsberg Spawned New Math. Yayınlanma tarihi: 9 Mart 2024. Kaynak site: Scientific American. Bağlantı: How the Seven Bridges of Königsberg Spawned New Math
Matematiksel
