Fizikteki en güçlü formüllerden biri, integral olarak bilinen bir tür toplamı gösteren ince, uzun bir S işaretiyle başlar. Ardından, eylem adı verilen bir niceliği temsil eden ikinci bir S gelir. Bu iki S, birlikte bugüne dek geliştirilmiş belki de en etkili denklemlerden birini oluşturur. Bu formüle, Feynman yol integrali denir.
Fizikçilerin anlayabildiği kadarıyla bu yöntem, bir elektronun, bir ışık ışınının, hatta bir kara deliğin davranışını son derece kesin biçimde öngörür. Yol integrali o kadar çok başarılı sonuç vermiştir ki birçok fizikçi onu gerçekliğin özüne açılan doğrudan bir pencere olarak görür.
Ancak bu denklem, binlerce fizik makalesinin sayfalarını süslese de katı bir hesaplama yönteminden çok, bir düşünce biçimine benzer. Gerçekliğimizin, bütün olasılıkların bir tür karışımı, yani toplamı olduğunu düşündürür. Fakat araştırmacılara bu toplamın tam olarak nasıl hesaplanacağını söylemez.
Bu nedenle fizikçiler, farklı kuantum sistemleri için yol integralini kurmaya ve hesaplamaya yarayan çok sayıda yaklaşık yöntem geliştirmek üzere onlarca yıl harcamıştır.
Feynman Yol İntegrali Nedir?
Kuantum mekaniği, 1926’da Erwin Schrödinger’in parçacıkların dalga benzeri durumlarının zaman içinde nasıl değiştiğini açıklayan denklemi geliştirmesiyle sağlam bir matematiksel temele kavuştu. Yaklaşık on yıl sonra Paul Dirac, kuantum dünyasını açıklamak için farklı bir yaklaşım ortaya koydu.
Klasik fizikte bir cismin hareketini yalnızca aldığı yol değil; hızı, enerjisi ve hareket boyunca geçen süre birlikte belirler. Fizikçiler bütün bu bilgileri eylem adı verilen tek bir nicelikte toplar.
Bir cisim başlangıç noktasından bitiş noktasına pek çok farklı yoldan gidebilir. Ancak klasik fizikte doğa bu yollardan birini seçer. Fizikçiler bu seçimi eylem ilkesi ile açıklar. Kabaca söylemek gerekirse doğa, hareketin bütünü açısından en uygun yolu izler.
Richard Feynman, Dirac’ın bu fikrini daha ileri taşıdı ve 1948’de yol integrali yaklaşımını geliştirdi. Klasik fizikte bir parçacığın başlangıç noktasından bitiş noktasına giderken belirli bir yol izlediğini düşünürüz. Feynman ise kuantum dünyasında hesabı yalnızca bu tek yol üzerinden yapmadı.
Parçacığın iki nokta arasında izleyebileceği bütün yolları hesaba kattı. Bu yolların bazıları iki noktayı doğrudan birleştirir; bazıları sapar, kıvrılır ya da zikzaklar çizer. Her yol sonuca belirli bir katkıda bulunur.
Fizikçiler bütün bu katkıları toplar; bazıları birbirini güçlendirirken bazıları birbirini söndürür. Sonuçta ortaya çıkan toplam, parçacığın bir noktadan diğerine geçişine ilişkin kuantum genliğini verir.
Gerçekliğimiz Tüm Olası Gerçekliklerin Toplamı mı?
Yol integrali fikrinin ne anlama geldiğini en iyi gösteren örneklerden biri çift yarık deneyidir. Fizikçiler bu deneyde elektron ya da foton gibi parçacıkları, üzerinde iki yarık bulunan bir engele doğru gönderir. Ardından parçacıkların engelin arkasındaki ekranda hangi noktalara ulaştığını gözlemler.
Parçacıklar yalnızca küçük bilyeler gibi davransaydı, her yarığın arkasında birer yığın oluşması gerekirdi. Oysa ekranda aydınlık ve karanlık şeritlerden oluşan bir girişim deseni ortaya çıkar.
Feynman’ın yaklaşımı bu sonucu, parçacığın ekrandaki bir noktaya ulaşabileceği bütün olası yolları hesaba katarak açıklar. Bu yolların bazıları birinci yarıktan, bazıları ikinci yarıktan geçer; bazılarıysa çok daha dolambaçlıdır.
Her yol, sonuca bir kuantum genliğiyle katkı sağlar. Bazı yolların katkıları birbirini güçlendirirken bazıları birbirini söndürür. Bu nedenle parçacık bazı bölgelerde daha sık, bazı bölgelerde ise daha seyrektir. Ekrandaki aydınlık ve karanlık şeritler de böyle oluşur.
Girişim deseni, parçacığın iki yarıktan geçebileceği olası yolların her ikisinin de sonucu etkilediğini gösterir. Yol integrali yaklaşımı bu fikri yalnızca çift yarık deneyiyle sınırlamaz. Feynman’a göre ortada herhangi bir engel bulunmasa bile, parçacığın başlangıç ve bitiş noktaları arasında izleyebileceği yolların tümü hesapta rol oynar.
Bu yolların büyük bölümü birbirini söndürür. Özellikle çok dolambaçlı yolların katkıları farklı yönlere dağıldığı için toplamda belirgin bir etki bırakmaz.
Buna karşılık klasik fizikte beklediğimiz yola yakın yolların katkıları birbirini güçlendirir. Bu nedenle kuantum düzeyindeki sayısız olasılık, büyük ölçeklerde bize tek ve düzenli bir hareket yolu varmış gibi görünür.
Böylece klasik fizikteki tek ve düzenli hareket yolu, kuantum mekaniğindeki sayısız olası yolun toplamından ortaya çıkar. Feynman ayrıca yol integrali yaklaşımının Schrödinger denklemiyle aynı fiziksel sonuçları verdiğini de gösterdi.
Yol İntegrali Ne İşe Yarar?
Feynman, 1949’da elektromanyetik alanın kuantum kuramını geliştirirken yol integralinden yararlandı. Daha sonra fizikçiler, diğer parçacıkları ve temel kuvvetleri temsil eden alanların davranışlarını hesaplamak için de aynı yaklaşımı kullandı.
Günümüzde Büyük Hadron Çarpıştırıcısı gibi parçacık hızlandırıcılarında gerçekleşen çarpışmaların sonuçlarını öngören pek çok hesaplamanın temelinde yol integrali bulunur. Bu nedenle yol integrali yalnızca kuantum mekaniğini farklı biçimde yorumlayan bir yaklaşım değildir; modern kuantum alan teorisinin en önemli hesaplama araçlarından biridir.
Yol integrali fizikte son derece başarılıdır. Ancak yöntemin matematiksel temeli her zaman aynı ölçüde sağlam değildir. Sorun, hesaba katılması gereken olasılıkların sayısından kaynaklanır. Tek bir parçacık bile iki nokta arasında sonsuz sayıda yol izleyebilir.
Fizikçiler bu güçlüğü aşmak için yaklaşık hesaplama yöntemleri kullanır. Örneğin sürekli uzay-zamanı küçük parçalardan oluşan sonlu bir ızgara gibi ele alırlar. Bu yöntem, özellikle güçlü nükleer kuvvetin incelenmesinde önemli sonuçlar verir.
Bu hesaplamalar sayesinde fizikçiler protonların ve diğer parçacıkların bazı özelliklerini tahmin edebilir. Sonuçların deneylerle uyuşması, yol integralinin matematiksel sorunlarına rağmen neden modern fiziğin en güçlü araçlarından biri olduğunu gösterir.
Yol İntegrali Uzay-Zamana Uygulanabilir mi?
Fizikçiler yol integralini yalnızca parçacıklara ve kuantum alanlarına değil, kütleçekime de uygulamak istiyor. Çünkü Einstein’ın genel görelilik kuramına göre madde ve enerji uzay-zamanı eğriltir; biz bu eğriliği kütleçekimi olarak algılarız.
Bu durumda fizikçiler, bir parçacığın izleyebileceği yollar yerine uzay-zamanın alabileceği bütün olası biçimleri hesaba katmak zorundadır. Başka bir deyişle, farklı biçimlerde eğrilmiş olası evrenlerin katkılarını toplarlar ve bu toplamdan bizim evrenimize benzeyen bir sonuca ulaşmaya çalışırlar.
Ancak hangi uzay-zaman biçimlerini hesaba katmaları gerektiğini henüz bilmiyorlar. Yalnızca farklı biçimlerde eğrilen uzay-zamanları mı toplamalılar? Yoksa solucan delikleri içeren, parçalanan ya da yeniden birleşen uzay-zamanları da hesaba katmalılar mı?
Fizikçiler bu sorular üzerinde henüz uzlaşamadı. Bu nedenle yol integrali, kuantum kütleçekimini açıklamak için güçlü bir fikir sunsa da uzay-zamana nasıl uygulanacağı hâlâ açık bir problem olarak duruyor.
Kaynaklar ve İleri Okumalar
- How Our Reality May Be a Sum of All Possible Realities. Bağlantı: How Our Reality May Be a Sum of All Possible Realities. Quanta Magazine. Yayınlanma tarihi: 6 Şubat 2023
- Feynman, R.P.. (2005). Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics. 10.1142/9789812567635_0002.
Matematiksel
