Adı Gibi Kendi de İlginç Bir Teorem: Hairy Ball Yani Saçlı Top Teoremi

Herhangi bir topun tüm yüzeyinin tüylerle kapladığınızı düşünün. Şimdi elinize bir tarak alarak bu topun üzerindeki tüyleri taramaya çalışın. Bunun kolay bir iş olmadığını kısa zaman sonra fark edeceksiniz. Cebirsel topolojide var olan Hairy Ball yani Tüylü ya da Saçlı Top Teoremine göre bu tüylerin bir kısmı eninde sonunda yine havaya kalkacaktır.

Bir sabit nokta teoremi olan bu klasik teorem ilk olarak matematikçi Henri Poincaré tarafından ortaya atılmış ve 1912’de Hollandalı matematikçi Luitzen Brouwer tarafından kanıtlanmıştır. Bu teoreme göre, eğer bir küre saçlarla kaplıysa ve hepsini düz hale getirmek için bu tüyleri düzgün bir şekilde fırçalamaya çalışırsak, her zaman düz duran en az bir saç veya saçsız kel bir nokta geride kalacaktır. Bu tüyün bulunduğu noktada bir tür tekillik oluşacaktır. Tüy istenilen tarafa yatmayıp dik durmakta ısrar edecektir.

Eğer bu tanımı matematiksel olarak yapmaya çalışırsak (kabul edelim, biraz daha korkutucu gözüküyor) işin içine vektör alanlarını katmanız gerekiyor. Bir vektör alanı temel olarak iki veya üç boyutlu bir düzlemdeki her noktaya iki veya üç boyutlu bir vektör tahsis eden bir fonksiyondur. Fizikçiler, elektromanyetik ve yerçekimi alanlarının yanı sıra hava ve su gibi sıvıların akışını da içeren birçok olayı modellemek için vektör alanlarını kullanır.

Bir vektörü bu vektör alanı içinde küçük bir ok olarak düşünün. Bu ok için önemli olan ne kadar uzun olduğu ve hangi yöne baktığıdır. Sıfır vektörü de sadece sıfır uzunlukta hayali bir oktur. Saçlı top teoremi belirli koşullar altında her zaman bir yerde en az bir sıfır vektörü bulabileceğimizi söyler. ( Teorik tanımına daha fazla girmek istemedik. Kaynaklar kısmından inceleme yapabilirsiniz.)

İçi boş (bir diğer deyişle; delikli) bir cisim olan torusta saçlı top teoremi işlemez. Yani soldaki gibi gözüken tüylü bir torusun tamamını tek bir yöne taramak mümkündür.

Saçlı Top Teoremi Nerede Karşımıza Çıkar?

Şu ana kadar aktardıklarımızdan yola çıkarak bu teoremin pek bir işe yaramadığını düşünebilirsiniz. Ancak elbette yanılıyorsunuz. Aslında bedenimiz bizlere matematik öğretmeye çalışır. Şimdi gelin, yeni doğmuş bir bebeğin saçlarına bakalım. Bu küçük kafanın tepesindeki saç kümesi, bebeğin saç tellerinin nereye doğru uzayacağını bilemediği bir karmaşıklık noktasıdır. Bu saç kümesinin arka tarafındaki saçlar sola, ön tarafındaki saçlar sağa, yanlardaki saçlar ise canları nereye isterse oraya doğru uzar. Bu saç yığının tam ortasında da saçsız bir nokta yer alır. Bu bebek büyüdükçe kafası da onunla birlikte büyüyecektir. Ancak bu nokta değişmeden aynı kalacaktır.

Bu durumun aynısını doğada da gözlemleyebiliriz. Bir kasırga hayal edelim. Kasırganın odağındaki rüzgar, herhangi bir yöne esmez, fakat odaktaki rüzgara yakın rüzgarlar her yöne eser. Saç tellerinin yönleri, rüzgar hareketleri arasında uyumsuzluk söz konusu olduğunda, bu uyumsuzlukları gidermek için doğanın bulduğu çözüm, onları olabilecek en küçük noktaya hapsetmek olmuştur. 

topoloji horz
Topoloji, şekillerin sürekli deformasyondan (bozulmadan) sonra bile aynı kalan özellikleriyle ilgilenen bilim dalıdır.. Bunun ne anlama geldiğini gözümüzün önüne getirebilmek için, bebeğimizin saçlarının ince bir elastik kumaş üzerine resmedildiğini hayal edelim. Şimdi bu kumaşın şeklini bozalım, onu uzatalım, bükelim, döndürelim, fakat asla kesmeyelim. Bu gayretimiz, kumaşa resmettiğimiz çizimin geometrik yapısını bozacaktır, fakat çizimin topolojik yapısı aynı kalacaktır.

Bu Teorem Ne İşe Yarar?

Verdiğimiz örneklerden de anlayabileceğiniz gibi bu teorem bize bazı sınırlamalar olduğu gerçeğini anımsatır. Tüylü top teoreminin en yaygın olarak kullanılan uygulamalarından biri Dünya atmosferiyle bağlantılıdır. Az öncede dediğimiz gibi rüzgarları vektör alanları olarak düşünürseniz, bu teorem bize rüzgarın dünyanın her yerinde birlikte akamayacağını söyler. Bu durumda rüzgarın olmadığı en az bir nokta olacaktır.

Saçlı top teoreminin kullanım alanlarından biri meteorolojidir. Teoreme göre herhangi bir anda dünyanın herhangi bir noktasında hiç rüzgar yoktur.

Dünyamızı saran manyetik alan çizgilerini düşünelim. Tüylü top teoremi, manyetik alan çizgilerini bir kürenin etrafına sarmanın ve sıfır manyetik alana sahip en az bir nokta olmadan tamamen kaplamanın imkansız olduğunu da ima eder. Kısacası bu teorem bize bazı sınırlamalar olduğunu kanıtlar. Üstelik bu sınırlamalar sadece küreler için geçerli değildir. Topolojik olarak bir küreye eşdeğer olan yani eğilerek, bükülerek bir top haline getirilebilecek herhangi bir şekilde de aynı sorunlar ile karşılaşılacaktır.



Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip Not

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Başa dön tuşu