Saçını ne kadar dikkatli tararsan tara, bir yer mutlaka dik kalır. Bu can sıkıcı durum, “Tüylü Top Teoremi” denilen matematiksel bir teoremle ilgilidir.
Bu teoreme göre, tamamen tüylerle kaplı bir topun üzerindeki bütün tüyleri, hiçbir yerde kabarma ya da yön bozulması olmadan düzgünce yatırmak imkânsızdır. Ama ilginç biçimde, aynı şey bir simit ya da halka biçimli bir yüzey için geçerli değildir. Yani “tüylü bir simit” üzerindeki tüyleri kusursuz biçimde taramak olasıdır.
Tüylü Top Teoremi Nedir?
Şimdi, kısa ve düz saçları olan bir başı matematiksel olarak bir küre gibi düşünelim.. Başın üzerindeki her saç teli de bize bir yön göstersin. Bu durumdai her noktada saçın hangi tarafa doğru yattığını küçük bir okla gösterebiliriz.
Matematikte buna vektör alanı denir. Vektör alanının en tanıdık örneklerinden biri rüzgâr yönüdür. Dünya üzerindeki her noktada rüzgârın hangi yöne estiğini belirleyebiliriz. Bu yönleri bir kürenin üzerine küçük oklarla çizersek, ortaya tüylerle kaplı bir topa ya da hindistancevizine benzeyen bir görüntü çıkar.
Tüylü Top Teoremi tam da burada devreye girer. Teorem, bir küre üzerinde bütün okları her yerde düzgün ve kesintisiz biçimde yerleştirmenin imkânsız olduğunu söyler. Başka bir deyişle, küre biçimindeki bir yüzeyde saçları tamamen kusursuz tarayamazsınız. Mutlaka bir noktada saçın yönü bozulur.
Bunu anlamak için Dünya üzerindeki rüzgâr benzetmesi işe yarar. Bir an için Kuzey Kutup Dairesi boyunca doğuya doğru yürüdüğünüzü düşünün. Yolculuk boyunca rüzgârın yönü hiç değişmesin.
Başlangıçta rüzgârı arkanızdan esiyor gibi hissedersiniz. Ancak çember boyunca yürüdükçe, rüzgâr size önce solunuzdan, sonra önünüzden, en sonunda da sağınızdan geliyormuş gibi görünür. Başladığınız noktaya geri döndüğünüzde ise rüzgâr yine arkanızdan esiyor olur. Yani sizin bakış açınızdan, rüzgâr yürüyüş boyunca saat yönünde dönmüş gibidir.
Şimdi aynı yürüyüşü Güney Kutup Dairesi’nde yaptığınızı düşünün. Yine doğuya doğru yürüyorsunuz ve başlangıçta rüzgârı arkanızdan hissediyorsunuz. Fakat bu kez rüzgâr size önce sağınızdan, sonra önünüzden, en sonunda da solunuzdan geliyormuş gibi görünür. Başlangıç noktasına döndüğünüzde rüzgâr yine arkanızdadır. Ancak bu kez rüzgârın yönü, sizin bakış açınızdan saat yönünün tersine dönmüş gibidir.
İşte sorun burada ortaya çıkar. Kuzeyde rüzgârın yönü saat yönünde, güneyde ise saat yönünün tersinde dönüyormuş gibi görünür. Bu iki farklı davranış, kürenin bir yerinde mutlaka bir uyumsuzluk ya da sıfır noktası oluşması gerektiğini gösterir. Tüylü Top Teoremi’nin özü de budur.
Tüylü Top Teoremi Nerede Karşımıza Çıkar?
Buradaki fikir ilk bakışta karışık görünebilir. Rüzgârın yönünü Dünya’nın her noktasında küçük oklarla gösterdiğimizi düşünelim. Eğer bu oklar düzgün ve kesintisiz bir alan oluşturuyorsa, bir noktadan diğerine geçerken yönlerini ani sıçramalarla değiştiremezler. Yön değişimi yavaş ve uyumlu olmak zorundadır.
Şimdi bir çember boyunca yürüdüğünüzü düşünün. Sonunda başladığınız noktaya geri dönersiniz. Bu nedenle rüzgârı başlangıçta hangi yönden hissediyorsanız, aynı noktaya döndüğünüzde yine bununla tutarlı bir sonuç elde etmeniz gerekir. Başka bir deyişle, rüzgâr yönü çember boyunca dönecekse bunu yarım kalmış bir dönüşle değil, tam turlar halinde yapmalıdır.
Kuzey Kutup Dairesi’nde bu dönüş bir yönde gerçekleşir. Güney Kutup Dairesi’nde ise aynı durum ters yönde ortaya çıkar. Yani kürenin kuzeyinde ve güneyinde birbirine zıt iki dönüş davranışı vardır.
Tüylü Top Teoremi’nin kritik noktası burasıdır. Bir küre üzerinde bu iki zıt davranışı, hiçbir yerde kopukluk oluşturmadan birleştirmek mümkün değildir. Mutlaka en az bir noktada okların yönü bozulur ya da tanımsız hale gelir. Bu da vektörün sıfır olduğu nokta anlamına gelir; çünkü uzunluğu sıfır olan bir okun artık belirli bir yönü yoktur.
Rüzgâr örneğinde bu, yatay rüzgârın durduğu bir nokta gibi düşünülebilir. Saç örneğinde ise saçların düzgünce taranamadığı, yönün karıştığı ya da küçük bir açıklığın oluştuğu noktaya karşılık gelir.
Saçlı top teoreminin şaşırtıcı sonuçlarından biri şudur. Dünya üzerinde mutlaka bir yerde rüzgârın esmediği bir nokta vardır. Meteorolojik olarak bu, dünyanın bir yerinde her zaman bir kasırga bulunduğu ve bu kasırganın gözünde hiç rüzgâr olmadığı anlamına da gelir. Dahası, bu teoremin nükleer füzyonla ilgili sonuçları da vardır.
Tüylü Top Teoremi Ne İşe Yarar?
Tüylü Top Teoremi’nin belki de en ilginç uygulaması nükleer füzyon enerjisiyle ilgilidir. Füzyon enerjisi, belki bir gün enerji krizini hafifletmeye yardımcı olabilecek büyük bir vaat taşır. Fosil yakıtların yol açtığı iklim sorunları olmadan çok büyük miktarda enerji üretme potansiyeline sahiptir. Ayrıca geleneksel nükleer fisyon reaktörleriyle ilişkilendirilen radyoaktif risklerin daha azını taşır.
Kısaca söylemek gerekirse, füzyon reaktörleri hidrojen gibi bir yakıtı alıp onu çok yüksek sıcaklık ve basınca maruz bırakarak çalışmaya başlar. Bu koşullar yakıtı bileşenlerine ayırır ve plazma oluşur. Plazma, elektronlardan ve diğer yüklü parçacıklardan oluşan bir buluttur. Bu parçacıklar sürekli hareket eder ve zaman zaman birleşerek yeni parçacıklar oluşturur. Bu süreçte enerji açığa çıkar.
Füzyon reaktörü inşa ederken temel bir mühendislik sorunu vardır: Güneş’in çekirdeğinden 10 kat daha sıcak olan plazmayı nasıl kontrol altında tutarsınız? Hiçbir malzeme bu sıcaklığa dayanamaz; böyle bir ortamda kendisi de parçalanıp plazmaya dönüşür.
Bu yüzden bilim insanları zekice bir çözüm geliştirmiştir. Plazmanın manyetik özelliklerinden yararlanarak onu güçlü bir manyetik alan içinde hapsederler. En doğal kap tasarımları, örneğin kutular ya da silindir biçimli hazneler, topolojik olarak küreye denktir. Böyle yapıların çevresindeki manyetik alan sürekli bir teğet vektör alanı oluşturur. Bu noktada ise böyle “tüylü” yapıların başına ne geldiğini artık biliyoruz.
Manyetik alandaki bir sıfır noktası, kapta bir sızıntı anlamına gelir. Bu da tüm reaktör için felaket demektir. Füzyon reaktörleri için öne çıkan tasarım olan tokamak, bu sorunu halka biçimli, yani simit şeklinde bir hazne kullanarak aşar.
Sonuç Olarak
Bu da gösteriyor ki topoloji, yalnızca teorik bir merak değil; geleceğin temiz enerjisinin merkezinde yer alacak kadar gerçek ve etkili bir araç. Bütün bunlara rağmen, kellik ya da saçın ters çıkması konusunda matematiği gerçekten suçlayamayız. Çünkü teknik olarak başımız, bu teoremin uygulanması için gerekli koşulları tam olarak sağlamaz.
Öncelikle başımızda yeterince saç yoktur. Matematiksel dünyada, yüzeyin her noktasında bir vektör bulunması gerekir. Oysa gerçek bir başta her noktadan bir saç teli çıkmaz.
Üstelik bedenimiz de tam anlamıyla bir küre değildir. Ağzımızdan başlayıp sindirim sistemimiz boyunca devam eden bir açıklık da dâhil olmak üzere, vücudumuzda birden fazla açıklık vardır. Bu yüzden bir topoloğun gözünde insan bedeni, bir küreden çok simide benzer.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Hairy balls, cyclones and computer graphics; Yayınlanma tarihi: 2 Eylül 2016; Bağlantı: https://chalkdustmagazine.com/
- McGrath, Peter. (2016). An Extremely Short Proof of the Hairy Ball Theorem. The American Mathematical Monthly. 123. 502. 10.4169/amer.math.monthly.123.5.502./
Matematiksel
