Alüminyum kutuların ve plastik şişelerin arkalarında bulunan evrensel geri dönüşüm sembolü gibi tek taraflı nesnelerle günlük yaşamınızda muhtemelen karşılaşmışsınızdır. Bu matematiksel nesneye Mobius şeridi denir.
Alman matematikçi August Möbius tarafından 1858’de keşfedilmesinden bu yana bu şekil çevrecileri, sanatçıları, mühendisleri, matematikçileri ve daha birçok insanı büyülemiştir. Bunun nedeni Möbius şeridinin birden fazla şaşırtıcı özelliği olmasıdır. Normalde bir yüzeyin iki tarafı olur: İçi dışı ya da önü arkası. Ancak Möbius şeridi oluşturulduktan sonra yalnızca bir yüzeye sahiptir.
Aslında bu şekil en basit tek taraflı yüzeydir ve bir kağıt şeritten yapılması oldukça kolaydır. İsterseniz hemen deneyebilirsiniz. İnce uzun dikdörtgen biçiminde bir kağıt alın. Sonrasında bir yüzünü kırmızı noktalar diğer yüzünü ise yeşil noktalar ile boyayın. Şimdi şeridin iki ucunu alın ve bükün. Yani, kırmızı noktalı taraf yeşil noktalı tarafla birleşecek şekilde 180 derece çevirin. Ardından iki ucu birbirine yapıştırın.
Bu bir Möbius şerididir. Bu şeridin yüzeyinde parmağınızı gezdirirseniz kırmızı ve yeşil noktaların her birine dokunabilirsiniz. Elinizdeki şeridi yapıştırdığınız yerden ayırıp, bir kere daha kendi etrafında çevirirseniz aynı sonucu elde edemezsiniz. Ancak 3. defa çevirdiğinizde yine içi dışı aynı olan tek bir yüzeye sahip olursunuz. Genel olarak çift sayıda büküm her zaman iki taraflı bir yüzey üretecektir. Ancak tek taraflı bükümler ise size tek taraflı bir yüzey verecektir.
Möbius Şeridi basitliğine rağmen karşılaştığımız en ilgi çekici yapılardan biridir. Bu nedenle de bir yüzyılı aşkın süredir matematikçileri büyülemiştir. Bu geometrik yapı ile ilgili en zorlu bulmacalardan biri de aslında aldatıcı derecede basit bir sorudur: Bir Möbius Şeridi kendi içinde dolaşmadan önce ne kadar küçülebilir?
Bu soru 1977’de matematikçiler Charles Weaver ve Benjamin Halpern tarafından akademik dünyaya soruldu. O zamandan beri matematikçiler doğru cevabı bulmaya çalışırken pek çok defa hüsrana uğradılar. Ancak Brown Üniversitesi’nden matematikçi Richard Schwartz, sonunda bulmacayı çözdüğünü iddia ediyor.
Möbius Şeridi Bulmacasının Çözümü Nedir?
Möbius Şeridi “yönlendirilemeyen” bir yüzeye sahiptir. Teknik olarak konuşmak gerekirse Möbius şeridi, üç boyutlu uzayda oluşturulabilen en basit, yönlendirilemeyen, iki boyutlu yüzeydir. Günlük anlamda bu şu anlama gelecektir. Eğer yüzeyde yürümeye başlayan bir karınca olsaydınız, bir tarafı diğerinden ayırt edemezdiniz. Bir kalem alıp şeridin ortasından bir çizgi çizerseniz, çizginin şeridin her iki yüzünden de geçtiğini fark edeceksiniz.
Alman matematikçiler August Ferdinand Möbius ve Johann Benedict Listing özelliklerini birbirlerinden bağımsız olarak 1858’de keşfettiler. Ancak isim babası August Ferdinand Möbius olacaktı.
Bu önbilgiden sonra şimdi sorunun nasıl çözüldüğü kısmına geçebiliriz. Schwartz minimum Möbius şeridi problemini ilk kez dört yıl önce duymuş ve o zamandan sonra da sorunun müptelası olmuştu. Çalışmaları sonunda meyvesini verdi. Bulduğu cevaba göre, mükemmel bir Möbius şeridinin √3’ten (yaklaşık 1,73) daha büyük bir en-boy oranına sahip olması gerekmekteydi. Yani olası bir yapının çökmemesi için, 1 santimetre uzunluğundaki bir şeridin genişliğinin 1,73 santimetreyi geçmesi gerekiyordu.
Ancak Schwartz bu sonuca tahmin edebileceğiniz gibi kolayca gelmemişti. Bunu yapabilmek için bir Möbius şeridini dilimler halinde düşünmesi gerekiyordu. Sonucunda 2 boyutlu şeridin sanıldığı gibi paralelkenar şeklinde olmadığını, bunun yerine yamuk şeklinde olduğunu keşfetti.
Möbius Şeridi Ne İşe Yarar?
Yazıyı bu noktaya kadar okuduysanız, pek çok benzer yazıda olduğu gibi, iyi ama bu benim ne işime yarar ki sorusunun bir kere daha aklınıza gelmiş olması olasıdır. Aslında bakarsanız günümüzde pek çok mühendis ve bilim insanı Möbius Şeridi’ni pratik nedenlerden dolayı büyüleyici bulur. Örneğin, Möbius şeridi olarak tasarlanan konveyör bantları, aşınma ve yıpranmayı eşit şekilde dağıtır ve geleneksel konveyör bantlarından iki kat daha uzun ömürlü olur. Elektronikte Möbius dirençleri benzersiz elektromanyetik özelliklerinden dolayı kullanılır.
Bu şerit daha pek çok farklı biçimde hayatımıza dahil olmuş olsa da kuşkusuz en önemli etkisi matematikte olmuştur. Özellikle topoloji alanında bir devrim yaratmıştır. Süreklilik dünyamızın temel özelliklerinden biridir ve süreklilik derinlemesine incelendiğinde bizi topolojiye götürür.
Topoloji, matematiksel uzayları, özellikle de bir uzayın şeklinden kaynaklanan özellikleri tanımlayan bir matematik dalıdır. Bir topolog, parçaları kesmeden veya birbirine yapıştırmadan hareket ettirildiğinde, büküldüğünde, gerildiğinde veya büküldüğünde korunan nesnelerin özelliklerini inceler.
Örneğin, birbirine dolanmış bir çift kulaklık, topolojik açıdan, birbirine dolanmamış bir çift kulaklıkla aynıdır. Çünkü birini diğerine dönüştürmek yalnızca hareket ettirmeyi, eğmeyi ve bükmeyi gerektirir. Yani dönüşüm yapmak için kesme veya yapıştırma gerekmez.
Sonuç olarak
Matematikte sıklıkla olduğu gibi, bir problemi çözmek, daha karmaşık bir problemi çözmenin kapısını açar. Schwartz’ın aklındaki bir sonraki sorun, tek bir yerine üç bükümlü bir Möbius şeridi oluşturmak için kullanılabilecek en kısa kağıt şeridini bulmaktır. August Möbius’un keşfi, doğal dünyayı incelemenin yeni yollarını açtı. Bunun sonucunda topoloji çalışmaları çarpıcı sonuçlar üretmeye devam edecektir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Mathematician finds brilliant solution to 50-year-old Mobius strip puzzle. Yayınlanma tarihi: 13 Eylül 2023. Kaynak site: Zmescience. Bağlantı: Mathematician finds brilliant solution to 50-year-old Mobius strip puzzle
- Schwartz, Richard. (2023). The Optimal Paper Moebius Band.
- Mathematician proves that Möbius band must have an aspect ratio greater than √3. Yayınlanma tarihi: 13 Eylül 2023. Kaynak site: Phys.org. Bağlantı: Mathematician proves that Möbius band must have an aspect ratio greater than √3
- The weird world of one-sided objects. Yayınlanma tarihi: 24 Eylül 2018. Kaynak site: Conversation. Bağlantı: The weird world of one-sided objects
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
