Geometri

Möbius Şeridi Ve Klein Şişesi: İçi Yüzü Bir İki Topolojik Nesne

19. yüzyıl Alman matematikçisi August Möbius’un adını taşıyan bir Möbius şeridi kolayca saniyeler içinde yapılabilir. Ortaya çıkan şekil ise, karmaşık geometrik şekillerle ilgili anlayışımızı geliştiren bazı beklenmedik özelliklere sahiptir. Felix Klein ise iki Möbius şeridinden oluşan bir şekil olan Kleinsche Flasche’yi (Klein şişesi) tanımlar. Gelin şimdi bu iki şekli biraz daha yakından inceleyelim.

19. yüzyıl matematik için yaratıcı bir dönemdi. Bunun nedeni yeni bir araştırma alanı olan topolojinin ve beraberinde birçok yeni geometrik şeklin ortaya çıkmasıydı. Bu hareketliliğin başında August Möbius ve Johann Listing gibi matematikçiler yer alıyordu. 1858’de, ikisi de Listing’in ilk keşfettiği söylenen Möbius şeridi üzerine çalışmalar yapmaya başladı.

M.S 200 yılından kalma bir Roma mozaiği. Yunan ebedi zaman tanrısı Aion’un arkasında Möbius şeridini görebilirsiniz. Bu bilinen en eski Möbius şekli örneğidir. Kaynak: https://tr.nipponkaigi.net/wiki/Aion_(deity)

Normalde bir yüzeyin iki tarafı olur: İçi dışı ya da önü arkası. Ancak Möbius şeridi oluşturulduktan sonra yalnızca bir yüzeye sahiptir. Möbius şeridi, uzunca bir şeridin bir ucunun 180 derece bükülerek diğer ucu ile birleştirilmesiyle elde edilir. Bir karınca olduğunuzu ve bu şeridin üzerinde yürüdüğünüzü düşünün. Belli bir doğrultuda yürümeyi sürdürecek olursanız, eninde sonunda şeridin her iki yüzünü de (aslında tek) dolaşmış olursunuz. Geometride bu şerit “yönlendirilemeyen” bir yüzeyin klasik bir örneği olarak kabul edilir. Möbius şeridi, üç boyutlu uzayda oluşturulabilen en basit, yönlendirilemeyen, iki boyutlu yüzeydir.

Möbius Şeridi
Möbius şeridinin formu sanatçılara ve mimarlara ilham kaynağı olmuştur. Hollandalı sanatçı M.C. Escher, şekli sonsuz bir şekilde devriye gezen karıncalar kullanarak kullanmıştır.

Möbius şeridi ile yapılan deneyler, başka beklenmedik sonuçlar da üretir. Örneğin, şeridin merkezinin etrafına bir çizgi çizip, bu çizgi boyunca şekli keserseniz, şekil ikiye bölünmez. Aksine, daha uzun bükülmüş şekil oluşturur. Aslında bir parça kağıt, makas, yapıştırıcı sayesinde bu şerit üzerinde yapabileceğiniz daha bir çok şaşırtıcı deneme var. Merak ederseniz aşağıdaki videoya da göz atabilirsiniz.

Klein Şişesi

Klein şişesi de, Möbius şeridinin tuhaf özelliklerini taşıyan 3 boyutlu geometrik bir nesnedir. Çoğu şişenin bir iç bir de dış kısmı varken, Klein şişesinin tek bir yüzü vardır yani aslında iç yüzeyi olmayıp sadece dış yüzeyi vardır. Klein şişesinin, kendi gövdesini delip “içine” giren, oradan da “dibine” açılan bir de boynu vardır. Klein şişesi ilk olarak 1882’de Alman matematikçi Felix Klein tarafından tasarlandı. Akıllara durgunluk veren tasarımı, esasen birbirine bağlı iki Mobius şeridinden oluşuyor.

Klein şişesi ortadan ikiye kesilir ise iki tane Möbius şeridinden oluştuğu görülebilir.

Möbius Şeridini yaparken, dikdörtgen biçimindeki şeridi uçlarından 180 derece ters olacak şekilde yapıyorduk. Klein Şişesi de bir silindiri aynı yukarıdaki biçimde 180 derece ters olacak şekilde birleştirilerek elde edilir. Günlük yaşamda bir işlev üstlenemeyecek olan Klein şişesi, artistik bir biblo olmanın ötesinde ciddi bir matematiksel değer taşır. Klein şişesi yalnızca dört boyutlu uzayda bulunur, ancak bir Klein şişesinin modeli üç boyutlu olarak yapılabilir. Ancak bu model orijinal modelden farklıdır çünkü bir noktada şekil kendine temas etmek zorundadır. Ancak dört boyutlu uzayda durum bu biçimde değildir.

Klein şişesinin tuhaf özellikleri sayısız topoloji problemine olduğu kadar, sanat yapıtlarına, bulmacalara da ilham kaynağı olmuştur. Bu eser Alan Bennett’in İngiltere’nin Bedford Bilim Müzesi için yaptığı Klein şişesi dizisinden biridir. Eser birbirine geçmiş 3 Klein şişesinden oluşmaktadır.

Bir Klein Şişesinin su ile doldurulduğunda ne olacağını merak ederseniz aşağıdaki videoya göz atabilirsiniz. Möbius şeridinin günlük yaşamda kullanabiliriz. Ancak aynı durum videoda da göreceğiniz gibi Klein şişesi için geçerli değildir. Bir Klein şişesinin nasıl çizileceğini merak ederseniz bu siteyi ziyaret edebilirsiniz.

Kaynak: The Math Book: Big Ideas Simply Explained; Yayıncı: DK; ISBN-10 : 1465480242

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.