Möbius Şeridi – Klein Şişesi: İki Topolojik Nesne

Bu yazıda iki topolojik şekli tanıtalım sizlere: Möbius Şeridi ve Klein Şişesi.

Normalde bir yüzeyin iki tarafı olur. Bir topun, bir kağıdın dışıyla içi farklı yüzlerdir; bir yüzden öbürüne geçmek için delik açmak gerekir başka çare yoktur. Tek taraflı bir yüzeyin nasıl olabileceğini ilk başta anlaşılamasa da bu sorun Alman matematikçi ve gökbilimci August Möbius’un, 19. yüzyılda bulduğu bir şekil sayesinde çözüldü. Bu şekli elde etmek iç in yapmanız gereken bir kağıt şeridi alıp bir ucunu bir tur döndürerek diğer ucuyla birleştir­mektir. Oluşan tek taraflı ve tek kenarlı kıvrık şekle “Möbius şeridi” denir. Bu şeridin özelliği şudur. Diyelim ki şeridin bir yüzeyini boyamak istiyorsunuz, elinizi kaldırmadan boyamaya devam ederseniz göreceksiniz ki iş bittiğinde şeridin tamamı boyanmış olacaktır. Ayrıca bu şeridi tam ortasından geçen çizgi boyunca keserseniz bir başka durum ortaya çıkar. İkiye ayırdığımız kağıdın parçaları hala birbirine bağlı durumdadır.

Johann Benedict Listing ve August Ferdinand Möbius birbirinden bağımsız bu şerit üzerinde çalışmalar yapsa da aslında ünlenmesi sanatçı ve matematikçi M. Escher tarafından yapılan çizimler sayesinde olmuştur.

 

 

Möbius şeridine benzer biçimde elde edilen bir başka ilginç şekilde Klein Şişesidir. Bu şişe ise tek bir ağızdan oluşmaktadır. Yine aynı biçimde tek yüzü vardır, aslında bunun tek sebebi kapalı bir yüzey olmasındandır. Klein şişesinin bundan dolayı iç yüzeyi olmayıp sadece dış yüzeyi vardır. Yukarıda dediğimiz gibi tek ağzı olduğu, içine dökülen herhangi bir sıvı yine aynı açıklıktan dökülecektir.

Möbius şeridi ve Klein şişesi aralarındaki fark Möbius şeridini üç boyutta gösterebilmemize rağmen, Klein şişesi için dört boyuta ihtiyacımız vardır.

Möbius Şeridini yaparken, dikdörtgen biçimindeki şeridi uçlarından 180 derece ters olacak şekilde yapıyorduk. Klein Şişesini yaparken ise bir silindiri aynı yukarıdaki biçimde 180 derece ters olacak şekilde birleştirilerek elde edilir.

Klein şişesine bakarken ona 4-boyutlu uzayda var olan bir varlığın 3-boyutlu uzaydaki yansıması olarak bakınız. Fakat üç boyutlu uzaydaki yansımasında bir kesik varmış gibi görünmektedir. Ancak, elinizle onun yüzeyini yokladığınızda kapalı ve sonlu fakat sınırsız 2-boyutlu bir yüzey olduğu sonucuna varırsınız. Tam ortasından kestiğimizde ise iki adet Möbius şeridi karşımıza çıkacak.

Peki Klein şişesine baktığınızda kulpu varmış gibi görünüyor, değil mi? Sakın aldanmayın, bu geometrinin bize oynadığı bir oyundur bu bir yanıltıcı görüntüdür. Bu yanılgı 4-boyutlu Klein şişesini bilgisayarda programladığınızda açıkça ortaya çıkmaktadır. Görüntüde Klein şişesi hem kulplu hem de kulpsuz gözükür.

Bu yüzeylerin her ikisi de topologlann “manifold” adını verdiği, küçük parçalarına tek başlarına bakıldığında iki-boyutlu kağıda benzeyen geometrik yüzeylere örnektir. Klein şişesinin kenarı olmadığından buna “kapalı” 2-manifold denir.

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Sanatçının Bakış Açısı ve Metni Kurgulaması Bağlamında Matematik ve Edebiyat İlişkisi Üzerine Bir İnceleme

İnsanda hayranlık, coşkunluk, duygudaşlık, haz gibi hisleri açığa çıkaran güzel sanatlar, birbirleriyle doğrudan ya da …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');