Olasılık teorisi, yalnızca şans oyunlarını değil, insanların risk karşısındaki davranışlarını da anlamamıza yardımcı olur. Bunun en ünlü örneklerinden biri olan St. Petersburg Paradoksu, yüksek ödül vaat eden bir oyunun neden her zaman mantıklı olmadığını gösterir.
Size bir oyun teklif ediyorum. Adil bir zar atıyoruz. Zar 1 ya da 2 gelirse 10 dolar kazanıyorsunuz. Zar 3 gelirse 20 dolar alıyorsunuz. Diğer sonuçlarda ise hiçbir şey kazanmadan oyundan ayrılıyorsunuz. Bu oyunda doğrudan para kaybetmediğiniz için her atış başına sizden 10 dolarlık bir katılım ücreti istiyorum. Kabul eder misiniz?
Buna içgüdülerinizle karar verebilirsiniz. Ancak riskin buna değip değmediğini anlamanın daha sistemli bir yolu da var: olasılık teorisi.
Standart bir zarın altı yüzü vardır; yani altı olası sonuç bulunur. Bu sonuçların yalnızca ikisinde, yani olasılıkların üçte birinde, 10 dolar kazanırsınız. Zarın 3 gelme olasılığı ise altıda birdir ve bu durumda 20 dolar alırsınız. Bu olasılıkları kazanacağınız miktarlarla çarpıp topladığınızda sonuç 40/6, yani 20/3 olur. Başka bir deyişle, istatistiksel olarak bu oyundan her turda ortalama 6,66 dolar kazanırsınız.
Ama ben her atış için sizden 10 dolar istiyorum. Bu durumda uzun vadede her oyunda ortalama 3,33 dolar ben kazanırım. Bu yüzden, tüm koşullar birlikte düşünüldüğünde, bu teklifi reddetmeniz daha mantıklıdır.
St. Petersburg paradoksu nedir?
1713 yılında matematikçiler Nicolaus I Bernoulli ve Pierre de Montmort, bundan biraz daha karmaşık bir senaryo üzerine fikir alışverişinde bulundu. Bu senaryoda, bir madeni para ilk kez yazı gelene kadar atılıyordu. Atış sayısı arttıkça kazanılacak para da artıyordu; ödül her seferinde ikiye katlanıyordu. İlk turda kazanç 1 dolar, sonraki olasılıklarda 2 dolar, ardından 4 dolar şeklinde devam ediyordu.
Şimdi böyle bir oyunu size teklif ettiğimi düşünün. Üstelik katılım ücreti olarak çok yüksek bir miktar, 2.000 dolar istiyorum. Kabul eder misiniz?
Elbette, aklı başında çoğu insan bu soruya kesin bir “hayır” yanıtı verir. Peki bu oyun için makul katılım ücreti ne olmalı?
Bunu anlamak için matematiğe, özellikle de beklenen değer kavramına başvurabiliriz. Madeni paranın ilk atışta tura gelme olasılığı 1/2’dir. Üst üste iki kez tura gelme olasılığı 1/4, üç kez tura gelme olasılığı 1/8’dir. Bu şekilde olasılık her turda yarıya düşerek devam eder.
Öte yandan kazanç her durumda ikiye katlanır. Bu nedenle beklenen değer şu sonsuz toplamla hesaplanır: 1/2 × 1 + 1/4 × 2 + 1/8 × 4 + 1/16 × 8 + … Bu toplamın her terimi 1/2’ye eşittir. Sonsuz sayıda terim olduğu için beklenen değer de sonsuza gider.
Matematiksel açıdan bakıldığında sonuç şaşırtıcıdır: Bu oyun için hiçbir katılım ücreti fazla yüksek değildir. Teorik olarak oyunu her zaman kabul etmeniz gerekir.
Bernoulli ve Montmort, düşünce deneylerini Saint Petersburg’daki bir kumarhanada geçecek şekilde kurguladıkları için, bu sezgilere aykırı sonucu daha sonra Saint Petersburg Paradoksu olarak adlandırdılar. Ancak bu, katı anlamda gerçek bir paradoks değildir. Buradaki asıl çelişki, matematiğin önerdiği davranışı insanların büyük olasılıkla asla benimsemeyecek olmasıdır.
Risk Almaya Değer mi?
Bu oyunun en büyük sorunu, teoride sonsuz para gerektirmesidir. Çünkü ödül her turda ikiye katlanır. Bu yüzden oyunu düzenleyen kişinin çok büyük bir servete sahip olması gerekir. Gerçek hayatta ise hiç kimsenin sonsuz parası yoktur. Kumarhanelerin bile ödeme sınırı vardır.
Diyelim ki oyunu düzenleyen kişinin elinde toplam 1.050 dolar bulunuyor. Bu durumda oyun sonsuza kadar devam edemez. Çünkü oyuncu üst üste kazanmaya devam ederse ödenecek miktar hızla büyür.
Örneğin 11 turun sonunda ödenmesi gereken para 1.024 dolara ulaşır. Yani kasadaki para neredeyse tamamen tükenir. Bu nedenle oyun pratikte burada sona yaklaşır. İşte bu noktada oyunun beklenen değeri de değişir. Başlangıçta teorik olarak sonsuz görünen kazanç, artık sınırlı hâle gelir. Yapılan hesap sonucunda oyunun beklenen değeri yaklaşık 5,5 dolar çıkar.
Bu yüzden giriş ücreti 6 dolarsa oyunu kabul etmek mantıklı değildir. Çünkü uzun vadede ortalama kayıp yaşarsınız. Ancak giriş ücreti 5 dolara düşerse bu kez oyunun sizin için avantajlı hâle gelme ihtimali ortaya çıkar.
Peki Ya Oyunu Bir Milyarder Düzenleseydi?
İlk bakışta bu durumda oyunun çok daha kârlı olacağı düşünülebilir. Ancak ödüller o kadar hızlı büyür ki en büyük servetler bile kısa sürede yetersiz kalır.
Örneğin yalnızca 38 turun sonunda ödenmesi gereken miktar 137 milyar doları aşar. Bu rakam dünyanın en zengin insanlarını bile zorlayacak seviyededir. Bu nedenle rakibiniz milyarder bile olsa oyunun beklenen değeri düşündüğünüz kadar yüksek olmaz. Hesaplamalara göre mantıklı kabul edilebilecek giriş ücreti yalnızca yaklaşık 19 dolardır.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Hayden BY, Platt ML. The mean, the median, and the St. Petersburg paradox. Judgm Decis Mak. 2009 Jun 1;4(4):256-272. PMID: 24179560; PMCID: PMC3811154.
- Mathematical mysteries: The gentlemen from Basle and the Petersburg Paradox. Yayınlanma tarihi: 1 Kasım 2002. Bağlantı: Mathematical mysteries: The gentlemen from Basle and the Petersburg Paradoxx
- Gupta M, Sharma A. Fear of missing out. A brief overview of origin, theoretical underpinnings and relationship with mental health. World J Clin Cases. 2021 Jul 6;9(19):4881-4889. doi: 10.12998/wjcc.v9.i19.4881. PMID: 34307542; PMCID: PMC8283615.
Matematiksel
