“Puanlar problemi” ya da “bahsin bölüşülmesi problemi” olarak bilinen bir soru, matematikçileri 150 yıldan uzun süre uğraştırdı
Basit bir şans oyunu oynadığımızı düşünelim. İkimiz de ortaya 50’şer dolar koyuyoruz ve yazı tura atmaya başlıyoruz. Yazı gelirse sen bir puan alıyorsun, tura gelirse ben. İlk 10 puana ulaşan kişi ortadaki 100 doların tamamını kazanacak.
Oyun ilerliyor ve skor şu anda senin lehine 8’e 6. Tam o sırada telefonum çalıyor. Acil bir durum çıkıyor ve hemen gitmem gerekiyor. Şimdi ortada bir sorun var. Sen bana 50 dolarımı geri vermek istemiyorsun, çünkü öndesin. Ama ben de tüm parayı sana bırakmak istemiyorum, çünkü hâlâ şansım var. Üst üste birkaç kez kazanıp oyunu çevirebilirim. Peki bu durumda parayı bölüşmenin en adil yolu nedir?
“Puanlar problemi” ya da “bahsin bölüşülmesi problemi” olarak bilinen bu soru, matematikçileri 150 yıldan uzun süre uğraştırdı. Bunun iyi bir nedeni vardı: Problem ilk ortaya atıldığında olasılık kuramı henüz doğmamıştı.
17. yüzyıl matematiğinin iki büyük ismi Blaise Pascal ve Pierre de Fermat, bu problem üzerine ünlü bir mektuplaşmalarını yürüttü. Yalnızca paranın nasıl adil biçimde paylaşılması gerektiğini bulmakla kalmadılar, aynı zamanda modern olasılık kuramının temellerini de attılar.
Bu yaklaşım, bugün olasılık teorisinin temelini oluşturur. Aynı zamanda finansal kararlar alırken, sigorta hesapları yaparken ya da risk içeren herhangi bir durumda nasıl düşünmemiz gerektiğini de gösterir.
Puanlar Problemi Nasıl Çözülür?
1494 yılında İtalyan matematikçi Luca Pacioli, Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità (Aritmetik, Geometri, Oranlar ve Orantılar Özeti) adlı ders kitabında bu probleme ilk çözümlerden birini önerir. Ona göre oyuncular, oyun kesildiği anda sahip oldukları puanlara göre parayı paylaşmalıdır.
Bizim örneğimizde toplam 14 atış yapılmıştır ve sen bunların sekizini kazanmışsındır. Pacioli’nin çözümüne göre potun sekizde değil, on dörtte sekizini alırsın. Bu da yaklaşık 57,14 dolar eder. Ben ise kalan on dörtte altıyı alırım.
İlk bakışta bu çözüm makul görünür. Ancak 50 yıldan fazla bir süre sonra Niccolò Tartaglia, bu yöntemin bazı uç durumlarda başarısız olduğunu fark etti.
Diyelim ki oyun yalnızca tek bir para atışından sonra kesilir. Pacioli’nin kuralına göre o tek atışı kazanan kişi tüm parayı alır. Oysa oyun daha yeni başlamıştır ve sonuç kesinleşmekten çok uzaktır. Bu açıkça adil değildir. Zaten puanlar problemi de tam olarak adil paylaşımın ne olduğunu belirlemeye çalışır.
Tartaglia Hangi Çözümü Önerdi?
Niccolò Tartaglia alternatif bir yöntem önerdi. Varsayalım ki bizim örneğimizde iki atış farkla öndesin. Oyunu kazanmak için gereken 10 atışın beşte birine ulaşmış durumdasın. Hedefe bu kadar yaklaşmış olduğun için Tartaglia, kendi koyduğun parayı geri alman ve rakibinin parasının beşte birini de eklemen gerektiğini söyler. Yani ortaya koyduğun 50 doların tamamını alırsın. Buna benim 50 dolarımın beşte birini eklersin ve toplamda 60 dolar elde edersin.
Bu yaklaşım özellikle uç durumlarda daha adil görünür. Örneğin oyun yalnızca bir atıştan sonra kesilirse, kazanan kişi rakibinin tüm parasını almak yerine yalnızca onda birini alır. Pacioli’nin yöntemi, oyuncuyu o ana kadarki atış sayısına göre ödüllendirirken Tartaglia’nın yöntemi, toplam oyun uzunluğuna göre ödüllendirir.
Bununla birlikte Tartaglia “bölüşüm hangi şekilde yapılırsa yapılsın, anlaşmazlık çıkacaktır” diye yazdı. Ona göre bu problemin kusursuz bir matematiksel çözümü yoktur ve zaten tartışma yaratmak için tasarlanmıştır.
Nitekim bu kuşku tamamen yersiz değildir. Diyelim ki hedefin 200 puan olduğu bir oyunda bir oyuncunun 199, diğerinin 190 puanı var. Tartaglia’nın yöntemine göre önde olan oyuncu, rakibinin parasının yalnızca dokuz bölü iki yüzünü alır. Bu da 2,25 dolara karşılık gelir.
Oysa rakibinin kazanabilmesi için üst üste 10 kez yazı-tura kazanması gerekir. Bu kadar düşük bir ödeme, öndeki oyuncunun kazanma ihtimalinin ne kadar yüksek olduğunu yansıtmaz.
Tartışma 17. yüzyılın ortalarına kadar bir sonuca ulaşmadı. Bu dönemde Fransız bir kumarbaz ve entelektüel bir sosyete figürü, matematikçi Blaise Pascal’dan yardım istedi. Pascal, çözümün oyunun kesildiği andaki skorda değil, skorun gelecekte alabileceği olası değerlerde yattığını hemen fark etti. Bunu kanıtlamak için arkadaşı ve meslektaşı Pierre de Fermat’ya yazdı.
Aralarındaki yazışmalar, probleme iki tamamen farklı yaklaşım ortaya koydu. Dikkat çekici olan şuydu: Bu farklı yollar her seferinde aynı sonuca ulaştı. Bu örtüşme, sonuçlarına duydukları güveni pekiştirdi.
Puanlar Probleminin Çözümü Nedir?
Pierre de Fermat’nın çözümü, oyunun kesildiği andan sonra ortaya çıkabilecek tüm olası devamları dikkate almaya dayanır. Bu olası senaryoların hangilerinin hangi oyuncunun zaferiyle sonuçlandığını sayar. Bir oyuncuya verilecek adil pay, o oyuncunun kazanacağı olası geleceklerin toplam içindeki oranına eşit olmalıdır.
Bizim örneğimizde skor 8’e 6 ve hedef 10 puandır. Fermat, oyunun en fazla beş yazı-tura atışı içinde sona ereceğini görür. Diyelim ki ilk oyuncu bir atış kazanır ve ikinci oyuncu üç atış kazanır. Bu durumda skor 9’a 9 olur ve oyun bir sonraki atışta biter.
Fermat’nın yöntemi bu noktada, beş atışın tüm olası sonuçlarını listeler. Ardından bu sonuçlardan hangilerinin oyuncuları 10 puana ulaştırdığını sayar. Bazı senaryolarda oyun beş atıştan önce biter. Bu bir sorun değildir. Hesaplamayı kolaylaştırmak için, oyun erken bitse bile yazı-tura atışlarının sanki devam ettiği varsayılır.
Sonuç açıktır. İlk oyuncu, 32 olası senaryonun 26’sında oyunu kazanır. Bu da toplamın 26/32’sine karşılık gelir. Yani yüzde 81,25. Buna göre ilk oyuncu potun 81,25 dolarını almalıdır.
Pierre de Fermat’nın çözümü zarifti, ancak önemli bir sorunu vardı. Ya olası devamların sayısı çok fazla olursa? Blaise Pascal bu soruna dahiyane bir yanıt verdi. Bunu yaparken aynı zamanda, daha sonra beklenen değer kavramı olarak adlandırılacak fikrin ilk temellerini ortaya koydu. Bu kavram bugün hâlâ modern olasılık kuramının en temel yapı taşlarından biridir.
Puanlar Problemine Blaise Pascal’ın Cevabı
Blaise Pascal’ın yöntemi tartışmasız bir kabulle başlar: Oyun kesildiği anda skor eşitse, iki oyuncu parayı eşit bölüşmelidir. Örneğin skor 9’a 9 ise, her oyuncu 50 dolar alır. Buradan geriye doğru ilerlenir.
Eğer skor 9’a 8 ve ilk oyuncu öndeyse, Pascal bir sonraki atıştan sonra ne olacağına bakar. Yüzde 50 ihtimalle öndeki oyuncu yazı kazanır, 10 puana ulaşır ve tüm parayı alır. Diğer yüzde 50 ihtimalde ise rakibi kazanır ve skor 9’a 9 olur. Bu durumda para eşit bölüşülür. Bu nedenle ilk oyuncunun beklenen kazancı şöyle olur: yüzde 50 × 100 dolar + yüzde 50 × 50 dolar = 75 dolar
Dolayısıyla oyun 9’a 8’de kesilirse, ilk oyuncu 75 dolar almalıdır. Aynı akıl yürütme her durum için adım adım uygulanabilir. Skor 9’a 7 olduğunda ilk oyuncunun payı 87,50 dolar olur. Çünkü bir sonraki atışta kazanırsa 100 dolar alır, kaybederse oyun 9’a 8’e gelir ve bu durumda payı 75 dolar olur. Bu iki olasılığın ortalaması 87,50 dolardır.
Skor 9’a 6 olduğunda bu değer 93,75 dolara çıkar. Skor 8’e 7 olduğunda ise 68,75 dolar olur. Bu değer, 9’a 7 durumundaki pay ile 8’e 8’deki eşit paylaşımın ortalamasıdır. Son olarak 8’e 6 durumunda ilk oyuncunun payı şu şekilde hesaplanır: yüzde 50 × 93,75 + yüzde 50 × 68,75 = 81,25 dolar
Bu sonuç, Pierre de Fermat’nın yöntemiyle elde edilen sonuçla tamamen aynıdır. Her iki yaklaşım da aynı fikre dayanır: Adil paylaşım, olası gelecek durumlara bağlıdır ve her bir durum gerçekleşme olasılığına göre ağırlıklandırılmalıdır.
Sonuç Olarak
Bugün bu hesaplara beklenen değer denir. Beklenen değer kavramı 17. yüzyıldaki bu oyunlarla sınırlı kalmaz. Günümüzde risk analizinin temel aracıdır. Bir sigorta uzmanı prim belirlerken, bir finans analisti portföy değerlendirirken ya da bir oyuncu bahis yaparken aynı hesabı yapar.
Her olası sonucun finansal etkisini o sonucun olasılığıyla çarpar ve hepsini toplar. Belirsizlik kaçınılmazdır. Ancak Pascal ve Fermat, bu belirsizliği sistemli bir şekilde ele almanın yolunu gösterir. Geleceği kesin olarak bilemeyiz, ama en azından onu nasıl fiyatlandıracağımızı biliriz.
Kaynaklar ve ileri okumalar
How a Renaissance gambling dispute spawned probability theory. Kaynak site: Scientific Amreican. Yayınlanma tarihi: 19 Nisan 2026. Bağlantı: How a Renaissance gambling dispute spawned probability theory
Matematiksel
