Bileşik Faiz İle Euler Sayısının İlişkisi Nedir?

Borçla ilgili belki de tek iyi şey, matematikteki en önemli sabitlerden biriyle beklenmedik bir bağ kurmasıdır. Bu sabit, Euler sayısı olarak bilinen e sayısıdır. Sürekli bileşik faiz düşüncesi, yani borcun ya da paranın giderek daha sık aralıklarla faizlendirilmesi, bizi doğrudan bu özel sayıya götürür.

İnsanlık tarihinin en eski dönemlerinden beri para insan kaygılarının merkezinde yer alır. Hayatta çok az şey servet edinme ve finansal güvence sağlama isteği kadar yaygındır. Bu nedenle on yedinci yüzyılın başlarında isimsiz bir matematikçinin ya da bir tüccar veya tefecinin paranın büyümesi ile bir matematiksel ifadenin sonsuzdaki davranışı arasında bağlantı kurması şaşırtıcıdır.

Para ile ilgili her konunun merkezinde faiz kavramı bulunur. Faiz, borç alınan paraya karşılık ödenen bedeldir. Faiz uygulaması yazılı tarihin başlangıcına kadar uzanır. Bilinen en eski matematik metinlerinin büyük bir bölümü faizle ilgili problemleri ele alır.

Örneğin milattan önce 1700 yılına ait ve bugün Louvre Müzesinde bulunan bir Mezopotamya kil tableti şu soruyu içerir. Yıllık yüzde 20 faiz oranıyla işletilen bir para ne kadar sürede iki katına çıkar.

Bu problemi cebirsel olarak ifade etmek için, her yılın sonunda paranın %20 oranında, yani 1,2 katsayısıyla arttığını göz önünde bulundururuz. x yılın sonunda toplam miktar 1,2^x katına çıkmış olacaktır. Bu miktarın başlangıçtaki paranın iki katına eşit olması gerektiğinden, 1,2^x = 2 denklemini elde ederiz .

Bu denklemi çözmek logaritmalar gerektirir; ancak Babilliler bu araca sahip değildi. Buna rağmen yaklaşık bir çözüm bulmayı başardılar. Louvre’daki tablette verilen sonuç 3;47,13,20 şeklindedir; bu ifade 3 + 47/60 + 13/60² + 20/60³ anlamına gelir ve yaklaşık olarak 3,7870’e karşılık gelir ve gerçek sonuca son derece yakındır.

Aslında Babilliler bir tür logaritma tablosu kullanıyordu. Günümüze ulaşan kil tabletlerin bazıları 1 bölü 36, 1 bölü 16, 9 ve 16 sayılarının ilk on kuvvetini listeler. İlk iki sayı altmışlık sistemde 0;1,40 ve 0;3,45 olarak yazılmıştır. Ancak Babillilerin bu tabloları genel kullanım için değil, bileşik faizle ilgili belirli bir problemi çözmek için hazırlandığı anlaşılmaktadır.

Bileşik Faiz Nedir?

Diyelim ki yıllık %5 faiz veren ve faizin her yıl bileşik olarak işlendiği bir hesaba 100 dolar (“ana para”) yatırıyoruz. Bir yılın sonunda bakiyemiz 100 × 1,05 = 105 dolar olur. Banka daha sonra bu yeni tutarı aynı faiz oranıyla yeniden yatırılmış yeni bir ana para olarak kabul eder.

İkinci yılın sonunda bakiye 105 × 1,05 = 110,25 dolar; üçüncü yılın sonunda ise 110,25 × 1,05 = 115,76 dolar olur ve bu şekilde devam eder. (Yani yalnızca ana para değil, ana paranın faizi de faiz getirir. Bileşik faiz ifadesi buradan gelir.)

Görüldüğü gibi, bakiyemiz ortak çarpanı 1,05 olan bir geometrik dizi şeklinde artar. Buna karşılık, basit faiz uygulanan bir hesapta yıllık faiz oranı yalnızca başlangıçtaki ana paraya uygulanır. Eğer 100 dolarımızı %5 basit faizle yatırsaydık, bakiyemiz her yıl 5 dolar artacak ve 100, 105, 110, 115 şeklinde bir aritmetik dizi oluşturacaktı.

Bu örnekten genel durumda ne olacağını görmek kolaydır. Yıllık r oranında faiz veren ve faizin her yıl eklendiği bir hesaba P dolar yatırdığımızı düşünelim. Hesaplamalarda r değeri her zaman ondalık olarak yazılır.

Bu durumda birinci yılın sonunda bakiyemiz P çarpı 1 artı r olur. İkinci yılın sonunda P çarpı 1 artı r üzeri 2 olur ve bu şekilde devam eder. Bu miktarı S ile gösterirsek şu formülü elde ederiz.

Bu formül bankacılık, krediler, ipotekler ve düzenli ödemeler gibi neredeyse tüm finansal hesaplamaların temelini oluşturur. Bankacılıkta farklı faiz ekleme yöntemleri vardır. Faizin yılda n kez eklendiğini düşünelim. Her dönem için banka yıllık faiz oranını n sayısına böler.

Bu durumda her dönem için faiz oranı r bölü n olur. Bu durumda, t yıl içinde toplam n çarpı t kadar dönem vardır. Bu nedenle P miktarındaki bir ana para t yılın sonunda şu değere ulaşır. Birinci denklem, ikinci denklemin özel bir durumudur. Bu durum n eşittir 1 olduğunda ortaya çıkar.

Bileşik Faiz İle e Sayısının İlişkisi Nedir?

Bernoulli ailesi, çok sayıda başarılı matematikçi yetiştirmiş ünlü bir aileydi. Ancak bu aile içinde Jacob Bernoulli, en başarılı isimlerden biri olarak öne çıktı. Kalkülüse yaptığı çeşitli katkılar, onun matematik dünyasında tanınmasını sağladı. Bunun yanında Bernoulli, irrasyonel matematik sabiti e’nin temel özelliklerini belirleyen ilk matematikçilerdendi.

Ancak, e’nin ortaya çıkışı bambaşka bir alanda gerçekleşti. Jacob Bernoulli’nin bileşik faiz üzerine yaptığı çalışmalar, bu sayının matematik tarihinde görünür hâle gelmesini sağladı. Jacob Bernoulli, 1683 yılında bileşik faiz problemi üzerinde çalışırken e sayısıyla karşılaştı.

Onu ilgilendiren temel soru, sürekli bileşik faizin davranışıydı. Başka bir deyişle Bernoulli şu limitin değerini anlamaya çalışıyordu:

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

Binom teoremini kullanarak yaptığı hesaplamalar, bu limitin 2 ile 3 arasında bir değere yaklaşması gerektiğini gösteriyordu. Bu düşünceyi daha somut biçimde şöyle açıklayabiliriz.

Bir bankaya başlangıçta 1 dolar yatırıldığını ve bankanın yıllık yüzde 100 faiz verdiğini düşünelim. Faiz yıl sonunda bir kez işletilirse, yıl sonunda hesaptaki para 2 dolar olur. Bernoulli’nin sorduğu soru şuydu: Banka faizi yıl içinde daha sık aralıklarla işletirse yıl sonunda hesaptaki para ne kadar olur?

Faiz yılda iki kez işletilirse, her altı aylık dönem için faiz oranı yüzde 50 olur. Bu durumda başlangıçtaki 1 dolar, yıl boyunca iki kez 1,5 ile çarpılır. Yani yıl sonunda hesaptaki para 2,25 dolar olur.

Faiz üç ayda bir, yani yılda dört kez işletilirse, her dönem için faiz oranı yüzde 25 olur. Bu kez sonuç 1×1,25⁴=2,4414….olur. Genel olarak faiz yılda n kez işletilirse, her dönem için faiz oranı $\frac{1}{n}$ olur. Bu durumda yıl sonunda hesaptaki para şu ifadeyle verilir:

$$1 \times \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

Bernoulli, n değeri büyüdükçe bu ifadenin belirli bir sayıya yaklaştığını gördü. Örneğin faiz haftalık işletildiğinde yıl sonunda hesap yaklaşık 2,692597 dolara ulaşır. Faiz günlük işletildiğinde ise sonuç yaklaşık 2,714567 olur.

Zaman aralıkları giderek küçültüldüğünde, bu dizinin yaklaşık olarak 2,7182818… değerine yaklaştığı görülür. Bu sayı bugün e sabiti olarak bildiğimiz sayıdır.

Sonuç Olarak

Matematik tarihinde e’nin ilk önemli yaklaşımlarından biri Bernoulli’nin bu çalışmasıyla ortaya çıkmıştır. Ayrıca bu örnek, bir sayının limit süreciyle tanımlanmasının erken ve önemli örneklerinden biri sayılmaktadır.

Yazının devamında okumak isterseniz: 72 Kuralı: Paranızı İki Katına Çıkarmanın Ardındaki Basit Matematik

Kaynaklar ve İleri Okumalar

• Maths in a minute: Compound interest and e. Yayınlanma Tarihi: 7, Şubat, 2018; Yayınlandığı Yer: Plus.maths; Bağlantı: https://plus.maths.org/
• Reichert, S. e is everywhere. Nat. Phys. 15, 982 (2019). https://doi.org/10.1038/s41567-019-0655-9

Matematiksel