Günlük Hayatımızda Matematik

Bileşik Faiz İle e Sayısının İlişkisi Nedir?

Borçla ilgili tek iyi şey, matematikteki en önemli sabitlerden biriyle bağlantılı olmasıdır. Bu sayı Euler sayısı diğer adıyla e sayısıdır. Aslında yaşamda değişim ya da büyümeyi içeren bir şey yapmak istediğimizde muhtemelen arka planda bir yerlerde bu sayı gizlidir. Bunun nedeni sayının bileşik faiz ile olan bağlantısıdır.

Bileşik faiz, tasarruf için bir nimet, borç için ise bir lanettir.

Bağlantının nasıl olduğunu anlayabilmeniz için yazıya örnekle başlayalım. Diyelim ki bir yerden %3 yıllık faizle 100 lira borç para aldınız. 3 yıl boyunca da borcunuzu geri ödemediniz. Ödemeye karar verdiğiniz gün ne kadar para planlamanız gerekiyor dersiniz? Eğer matematik ile aranız iyi değilse yıl başına 3 lira fazla ödeyeceğinizi düşünebilirsiniz. Ancak geri ödemeyi planladığınız 109 lira eksik kalacaktır. Maalesef işler böyle yürümez.

Gerçekten de bir yılın sonunda geri ödeme yapmanız gereken miktar 103 liradır. Bunu 100+0,03 x100=103 biçiminde kolayca hesaplayabilirsiniz. Ancak bir sonraki yıl ne kadar borcunuz olduğunu öğrenmek için ikinci yılın faizini eklemeniz gerekir. Önce ödememiz gereken faize bakalım. Bu faiz 0,03x (100 x (1+0,03)) = 3,09 kadar olacaktır. Bunun sonucunda da ikinci yılın sonunda borcunuz. 103+3,09=106,9 lira olmuştur.

Üçüncü yıla geçtiğinizde ise faiz 0,03x (100 x (1+0,03)2)= 3,18 lira olacaktır. Yani üç yılın sonunda ödemeniz gereken toplam borç aslında 106,9+3,18= 109,27 liradır. Bu hesaplamanın neticesinde, her yıl tahakkuk eden faiz tutarının bir önceki yıl tahakkuk eden tutardan fazla olduğunu görebilirsiniz. Hesaplamanın kolay olması açısından 100 lira borç aldığımızı varsaymıştık. Bu nedenle tahmin ettiğimiz ile hesaplanan sonuç arasındaki fark size fazla rahatsız edici gelmeyebilir. Ancak daha fazlasını aldıysanız, faizin artışı çok belirgindir. Bu da hem borcun laneti ve hem de tasarrufun nimetidir.

Bileşik Faiz Hesaplaması

Yukarıdaki faiz hesaplamasında bir kalıp görmüş olmalısınız. Aslında bu kalıp da bizi bir formüle götürecektir. Bu formül anapara x (1+ borç yüzdesi) yıl biçimindedir. Matematik dilinde ifade etmemiz gerekirse formül P( 1+ r)n biçiminde yazılabilir. ( Hesaplamalarda faiz yüzdesi yani r ondalık sayı olarak yazılmalıdır. Yani %3=0,03 haline dönüşür.)

Şimdi bu formülün nasıl çalıştığını ve yazının başında söylediğimiz gibi e sayısı ile bağlantısını anlayabilmek için yine işi basitten tutalım. Bir örnek ile formülümüzü inceleyelim. Diyelim ki bu sefer 1 lira paranız var ve bunu bankaya yatırmaya karar veriyorsunuz. Yani P=1. Olmaz ama diyelim ki çok cömert bir banka buldunuz ve yıllık faiz yüzdeniz %100. Bu durum da r=1 olacaktır. Bunları formülde yerine yazıp ilk yılın sonunda toplam ne kadar paranız olduğunu hesaplayalım. Sonuç 1. ( 1+1)2 = 2 liradır. Ancak bankalar bazen uyguladıkları faizleri değiştirir. Şimdi de bankamız size yıllık faiz yerine 3 aylık faiz vermeyi öneriyor. 3 ay bir yılın dörtte biridir. Bu durumda size 4 defa faiz verecek. Şimdi bu bilgileri yerine yazınca bakalım neler olacak.

Sonuç 1.(1+1/4)4 = 2,44 lira olacaktır. Eğer bankanız aylık faiz üzerinden çalışmaya karar verirse bu durumda 1.(1+1/12)12 =2,61 lira elde ederseniz. Ayrıca günlük faiz hesaplaması da yapabilir. Bu da 1.(1+1/365)365 =2,71 lira biçiminde olacaktır. Şimdi artık bunu genelleyelim. Gördüğünüz gibi elde ettiğimiz formül 1.(1+1/n)n biçimine dönüştü. n sayısı büyüdükçe kazancınız ( çoğu zaman elbette borcunuz) büyümektedir.

e Sayısı ile Bileşik Faiz Nasıl İlişki İçindedir?

Saatlik, saniyelik vs gibi bu hesaplamayı çok daha uzatırsanız ulaşacağınız sayı giderek 2,718281828459045… gibi bir sonuca ulaşacaktır. İşte bu bizim e sayımızdır. e sayısı bileşik faiz formülümüzün n sonsuza giderken ulaşacağı limittir.

Bu sayı büyümeyle ilgilidir. Bu nedenle içinde büyüme olan denklemlerde karşımıza çıkar. Bileşik faiz ile e sayısını birleştiren ilk kişi ise 1683’te matematikçi Jacob Bernoulli olmuştur. Bunu elbette kredi kartı borçlarımızın çığ gibi neden büyüdüğünü araştırırken değil (1+1/n)n limitinin ne olacağı konusunda kafa patlatırken bulmuştur.

Göz atmak isterseniz…

Kaynaklar ve İleri Okumalar

  • Maths in a minute: Compound interest and e; Yayınlanma Tarihi: 7, Şubat, 2018; Yayınlandığı Yer: Plus.maths; Bağlantı: https://plus.maths.org/
  • Wednesday Is E Day. Can We Make It As Fun As Pi Day?; Yayınlanma Tarihi: 7, Şubat, 2018; Yayınlandığı Yer: Slate; Bağlantı: https://slate.com

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu