Hepimiz sosyal medya kullanıyoruz. Bu süreçte de bir çok kısa, anlık cevap verilmesi gereken matematik ya da akıl yürütme soruları ile karşılaşıyoruz. Bu sorular genellikle sıralı bir kaç sayıdan sonra “Dizideki bir sonraki sayı nedir” biçiminde başlıyor. Amaç sayılar arasındaki kuralı yani örüntüyü bulmak ve sonraki sayıyı elde etmektir. Bir kaç örnek mi istiyorsunuz. Elbette. Aşağıdaki dizilerde bir sonraki sayılar nelerdir?
- 1, 3, 5, 7, 9, 11…
- 1, 4, 9, 16, 25, 36…
- 1, 2, 4, 8, 16…
Şimdi cevaplara geçelim. Sizin de tahmin ettiğiniz gibi ilk dizimiz tek sayılardan oluşuyordu. Bu nedenle sıradaki sayımız 13 olmalıdır. İkinci dizimiz kare sayılardan oluşuyor. Bu nedenle bir sonraki sayımız 49 olacak. Son dizimiz de 2 sayısının kuvvetlerinden oluşuyor. Bu nedenle aradığımız bir sonraki sayı 32 olmalı. Emin misiniz?
Matematikte Genelleme Yapmak Kolayca Tuzağa Düşmenize Neden Olacaktır?
Fikir, dizinin terimlerinin üretildiği kuralı diğer adıyla örüntüyü tespit etmektir. Ancak bu örüntü temelinde hiçbir zaman ilk birkaç terim tarafından belirlenmez. Aslına bakarsanız bu nedenle bugüne kadar sorulmuş bir çok örüntü ya da bir sonraki sayıyı bul sorusu hatalıdır. Bunun nedenini son sayı dizimiz üzerinden aşağıdaki örnekler ile aktarmaya çalışalım.
Oluşan Bölge Sayısını Bulalım
Sorumuz bir çember üzerindeki noktaları birleştirerek oluşturulan bölgelerin sayısını bulmak olsun. Bunu aşağıdaki şekil üzerinden bulmaya çalışalım. Çember üzerinde aldığımız bir nokta 1 bölge oluştururken (çemberin iç bölgesi), çember üzerinde alınan farklı iki nokta 2 bölge oluşturur. Devamında üç noktadan 4 bölge meydana gelecektir. Dört ve beş nokta da, sırasıyla 8 ve 16 bölge oluşturur.
Böylece az önce bahsettiğimiz 1, 2, 4, 8, 16 sayı dizisine geri dönüyoruz. İçgüdülerimizde haklı olduğumuz hissi biraz daha pekişti öyle değil mi? Peki, çember üzerinde alınan birbirinden farklı altı nokta birleştirilirse kaç tane bölge oluşur? Ne yazık ki cevap 32 değil. Bir sonraki sayı 31 olacaktır.
Her terimin iki katını alarak giden ve 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 biçiminde devam eden örüntüler gibi, yukarıdaki örnekte açıkladığımız 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99 diyerek devam eden örüntüler de vardır.
Lagrange polinomu
Ara değer hesabı mühendislik problemlerinde sıklıkla karşılaşılan bir işlemdir. Bilinen değerlerden bilinmeyen ara değerin ya da değerlerin bulunması işlemine interpolasyon denir. Lagrange interpolasyonu, bilinen noktalara göre önce bir eğri uydurulması sonra eğriyi temsil eden denklemden istenilen noktaların değerlerinin elde edilmesine dayanır.
Lagrange yöntemine göre interpolasyon hesabı yapılırken kullanılacak polinom forma sahip fonksiyonun derecesi sahip olunan ölçüm değerlerinin adedinden bir eksik olacak şekilde seçilir. Bu ön bilgi devamında konu hakkında daha fazla bilgi edinmek için bu kaynağa göz atabilirsiniz.
Şimdi aşağıdaki şekle bakalım. Bu şekilde 1,4,9,16 dizisini solda çizili olarak görüyorsunuz. Ancak aşağıdaki görselde sağ tarafta aynı sayılar ile başlayan ancak bambaşka bir cevaba ulaşan başka bir grafik elde ettik. Burada da gördüğünüz gibi şu anki sayı dizimiz 1,4,9,16,50,30,20 ve 40 biçiminde devam ediyor.
Sonuç olarak sizlere aktarmaya çalıştığımız durum şudur. Bir dizinin ilk terimleri verildiğinde, verilen tüm değerlere uyan ancak daha sonrasında bambaşka değerler ile devam eden bir çok matematiksel fonksiyon vardır. Bu nedenle örüntünün kuralını bulunuz ya da bir sonraki sayı kaçtır sorularının hepsi temelinde birden çok cevaba sahiptir.
Matematikçiler bu durumun farkındadır. Bu nedenle içgüdüleri ne kadar ikna edici olursa olsun, arka planda hayal bile edemedikleri bir şey olduğunu bilirler. Bu nedenle de genelde içgüdülerine fazla güvenmezler. Bir sonraki zeka sorusunu çözerken bunların da aklınızda bulunmasını öneririz.
Kaynaklar ve ileri okuma:
- Where Proof, Evidence and Imagination Intersect; Yayınlanma tarihi: 14 Mart 2019; bağlantı: https://www.quantamagazine.org
- What’s the Next Number? yayınlanma tarihi: 24 Kasım 2022; Bağlantı: https://thatsmaths.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
