Henüz Kimsenin Çözemediği 11 Matematik Problemi

Matematikte çözülememiş birçok problem vardır. Özellikle sayılar teorisinin neresinden bakarsanız bakın, derinlerine indikçe çözülemeyen problemlere denk gelirsiniz. Çözümü oracıkta gibi gözükür ancak ne yaparsanız yapın cevaba bir türlü ulaşamazsınız. Bazı örnekler sunalım…

1- Goldbach Hipotezi

Goldbach Hipotezi

Goldbach hipotezi, Alman Matematikçi Christian Goldbach (1690 – 1764) tarafından 1742 yılında ortaya atılmıştır. Goldbach hipotezi sayılar teorisindeki en eski problemlerden biridir. Bu varsayımın geçerli olduğu gösterilmiştir, ancak kanıtlanamamıştır. Hipotez “2’den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir” biçimindedir.

Goldbach hipotezinin çözümü iki farklı biçimde yapılacaktır. Ya iki asalın toplamı olarak yazılamayan bir çift sayı keşfedilecektir ya da birisi neden her çift sayının bu şekilde temsil edilebileceğini kanıtlayacaktır. Ama nihai mutlu sona henüz kimse ulaşmış değil… :).

2- Riemann Hipotezi

Çözülememiş ödüllü matematik problemlerinden biri olan Riemann Hipotezi Alman Matematikçi Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866) tarafından 1859 yılında ortaya atılmıştır. Riemann hipotezi özünde asal sayıların sayı doğrusu üzerine dağılımı ile ilgilidir. Riemann hipotezine yönelik bir çözüm, yüzlerce başka teoremi kanıtlayacaktır. Belirli algoritmaların nispeten kısa bir sürede çalışacağını belirleyecek ve asal sayılar arasındaki boşlukların dağılımını açıklayacaktır.

1900 yılında David Hilbert bu hipotezi, modern matematiğin en önemli çözülmemiş sorularından birisi olduğunu belirtmiştir. 24 Eylül 2018 tarihinde Abel ödülü ve Fields madalyası sahibi ünlü matematikçi Michael Atiyah, Riemann hipotezinin “basit” bir ispatını bulduğunu iddia etmiş olmasına rağmen konu üzerinde tartışmalar hala süregelmekte. Detaylar için: Riemann Hipotezi: Dünyanın En Zor ve Ünlü Problemi

3- İkiz Asal Varsayımı

Asal sayılar bilindiği gibi kendisinden ve 1’den başka böleni bulanmayan sayılara verilen addır. İkiz asallar ise aralarındaki farkın 2 olduğu asal sayılardır (örneğin 3 ile 5 ya da 17 ile 19 gibi). Asal sayıların sonsuz oluşu Öklid tarafından kanıtlanmıştır. Ancak ikiz asalların sayısı sonsuz mudur? sorusu uzun zamandan beri matematikçilerin aklını kurcalamakta.

İkiz asal sayılar kavramı ilk olarak 1846 yılında Fransız Matematikçi Alphonse de Polignac (1826 – 1890) tarafından sunulmuştur. Norveçli Matematikçi Viggo Brun (1885 – 1978), “eleme metoduyla” bir x sayısından küçük ikiz asal sayıların sayısının, x/(log)2 ’den küçük olduğunu göstermiştir. Matematikçiler 18. yüzyıldan beri asal sayıların daha küçük sayılar arasında daha yaygın olduğunu biliyor. Daha büyük sayılara baktıkça bu sayılar giderek daha nadir hale geliyor. Üstelik İkiz asal sayılar, sıradan asal sayılara göre daha da nadirdir. Bu matematik problemi hakkında daha fazla bilgi için: Matematikçilerin İkiz Asallar İle İlgili Sorunları Nedir?

4- NP Problemlerinin Gerçekte P Problemleri Olup Olmadığı

Bilgisayarlar algoritmalarla çalışır. Ancak bazı algoritmaları gerçekleştirmek sadece mikro saniyeler alırken, bazılarını gerçekleştirmek bugünkü hızla bile milyarlarca yıl alır. Burada kilit fikir, bir algoritmanın verimliliğidir. 

Adım sayısının n’in bir kuvveti gibi olduğu bir algoritmanın “polinom” zamanda çözüleceği söylenir. Bilgisayarlar bu tür problemleri kolayca halleder. Bu algoritmalar da verimli algoritmalardır. Verilen iki sayının en küçük ortak katını bulma, bir sayının asal olup olmadığını sap­tama, dört işlem aritmetik hesapları P sınıfındaki problemlerdir. Ancak bazen bir probleme ne yapay, ne de doğal zeka, bazı makul bir zamanda cevap veremez. Bu tarz problemleri çözebilen verimli bir algoritma yoktur. Bu NP problemidir.

P sınıfındaki her problem NP sınıfındadır; çünkü polinom zamanda çözümü bulmak kendi kendisinin doğrulamasıdır. Ancak NP problemleri için bir polinom zaman algoritması bulmak mümkün müdür? Bunu henüz kimse bilmiyor. Daha fazlası için: P ile NP Birbirine Eşit midir? Bu Ne Demektir?

5- Collatz Sorunu

Açıklaması en kolay matematik problemi budur desek hata yapmış olmayız.1932’de, 20 yaşında bir Alman matematik öğrencisi olan Lothar Collatz, ilk bakışta basit bir hesaplamadan başka bir şey gibi görünmeyen bir muamma ile karşılaştı. Kural çok basitti. Eğer sayınız çift ise 2’ye bölün, tek ise 3 ile çarpıp 1 ekleyin. Sonra, sonucunuza yine kuralı uygulayın. Bu işlemi istediğiniz kadar tekrar edin. Aslında matematikçilerin çoğuna göre hangi sayıyla başlarsa başlasın sayılar 4, 2, 1, 4 … döngü­süyle devam eder.

Hemen şöyle bir örnekle başlayabiliriz. n=5 için 5,16,8,4,2,1,4,2,1 şeklinde olacaktır. Benzer biçimde n=11 için, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1. Collatz hangi başlangıç numarasını test ederse etsin sonunda hep 1 cevabına ulaşınca, sayı teorisinde yeni bir yasa keşfetmiş olabileceğinden şüphelendi. Bu nedenle varsayımı için bir kanıt aramaya koyuldu. Ancak ne yazık ki çabaları boşa çıktı. Ne varsayımını kanıtlamayı ne de bir karşı örnek bulmayı yani 1 ile bitmeyen bir sayı döngüsü bulmayı başardı. Collatz hayatı boyunca bu varsayım hakkında kayda değer bir şey yayınlayamadı.

Paul Erdös bu sayılar ile ilgili yorumunda, “Matematik henüz böyle problemlere hazır değil”demiştir. Şimdiden deneyenlere sabırlar dileriz. Detaylar: Basit Ama Hala Çözümsüz: 3n+1 Diğer Adıyla Collatz Problemi

6- 196 Sayısı Sorunu

Palindrom, tersten okunuşu aynı olan cümle, sözcük veya sayılardır. Palindromik sayı dizisi için de algoritma bulunmuştur. Fakat belirtmek gerekir ki algoritma her sayı için sağlanmamaktadır. Algoritma şu şekilde işler: Sayının tersiyle kendisi toplanır. Çıkan sayı palindromik sayı ise algoritmayı durulur. Aksi takdirde algoritmayı uygulamaya devam edilir. Örnek olarak 45 sayısını alalım.

  • 45 + 54 = 99 palindromik sayı olduğundan algoritma durdurulur.
  • 78 + 87 = 165 çıkan sayı palindromik sayı olmadığından algoritmaya devam edilir.
  • 165 + 561 = 726 yine palindromik sayı değil, yine algoritmaya devam,
  • 726 + 627 = 1353 yine devam edilsin.
  • 1353 + 3531 = 4884 palindromik bir sayı olduğundan algoritma durdurulur.

Bu kurala uymayan sayılarda mevcuttur. Kurala uymadığı bilinen en küçük sayı 196’dır ve şimdiye kadar kimse 196’nın palindromik sayısına ulaşamamıştır. Bu sayı  dışında 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887,… gibi pek çok sayı da kurala uymayan sayılara örnek olarak sunulabilir.

1990 yılında John Walker adlı bir programcı, 196 sayısı için algoritmanın 2.415,836 yinelemesini hesaplayarak, palindromik olmayan, milyon basamaklı bir sayı bulmuştur. Bu sonuç yıllar içinde sürekli olarak iyileştirilmiştir. Öyle ki, 2012 yılına gelindiğinde, 196 sayısı için yinelemeli işlem bir palindromik sayı verirse; sonuçta ortaya çıkan palindromik sayının 600 milyondan fazla basamağa sahip olacağı belirlenmiştir.

7- 10 Sayısı Yalnız Bir Sayı mıdır?

Yalnız sayı, herhangi bir dost sayı çifti olmayan sayı gruplarına verilen addır. Peki, dost sayı nedir? Dost sayılar, bölenlerinin toplamının sayının kendisine oranlandığında aynı sayıyı veren sayı çiftleridir. Dost sayılara örnek vermek gerekirse; 6 ve 28 sayı çiftini ele alalım. 6’nın bölenleri toplamı (6+ 3 + 2 + 1 = 12) 12 olup 12/6 = 2 eder. 28 sayısının bölenleri toplamı (28 + 14 + 7 + 4 + 2 + 1 = 56) 56 olup 56/28 = 2 olduğundan 6 ve 28 sayı çifti dost sayılardır.

Yalnız sayılar ise dost olmayan sayılar dizisini ifade eder. 18, 45, 48, 52, 136, 148, 160, 162, 176, 192, 196, 208, 232, 244, 261, 272, 292, 296, 297, 304, 320, 352 ve 369 gibi sayılar yalnız sayılardır. Matematikçilerin hala üzerinde tartıştıkları konu ise 10 sayısının yalnız sayı olup olmadığıdır. Çünkü daha hiçbir matematikçi 10’un dost bir sayı çiftini elde edemedi.

8- Mutlu Son Problemi

Bu problem, Macar Matematikçi Paul Erdös (1913 – 1996) tarafından ortaya atılmıştır. Probleme bu adın verilmesinin sebebi ise bu problem ile uğraşan iki matematikçi Esther Klein (1910 – 2005) ile George Szekeres’ın (1911 – 2005) birbirleriyle evlenmeleri olmuştur.

Bu matematik problemi şu şekilde: Bir kâğıdın üzerinde rastgele yerlere beş tane nokta koyunuz. (Noktalar düz bir çizgi oluşturacak biçimde yerleştirilmemeli). Bu noktalardan dördünü kullanarak bir konveks dörtgen elde etmeniz her zaman mümkün. Aslında dört kenarlı şekiller için 5 nokta lazımken, beş kenarlı şekiller için 9, altı kenarlı şekiller içinse 17 nokta gerekir. Peki bir dışbükey yedigen çizebildiğinizden emin olmak için kaç noktaya ihtiyacınız var? Bunu kimse bilmiyor. Aynı şekilde 8, 9, 10 için de bilmiyoruz. Detaylar: Anlaması Kolay Çözmesi Zor: Mutlu Son Problemi

9- Alanı ve Köşegeni Tam Sayı Olan Bir Euler Tuğlası Bulma

Varlığı ya da yokluğu matematikçiler tarafından ispat edilmemiş olan bir çözümsüz matematik problemi daha. Problem aslında şunu söyler: bir küboid şekilde (üç boyutlu uzayda) a > b > c iken; hacim köşegeni ve yüzey köşegenlerinin tamsayı olduğu mükemmel küboid bir şekil var mıdır?

Daha basit anlatalım. Dik üçgenin kenarları arasında kurulan Pisagor teoremini herkes bilir. (3-4-5), (5-12-13) gibi Pisagor üçgenlerinde ise tüm kenar uzunlukları tam sayıdır. Şimdi bu fikri üç boyuta taşıyalım. Üç boyutlu uzayda, dört sayı var. Yukarıdaki resimde, bunlar a, b, c ve  g olarak gösterilmekte. İlk üçü kutunun boyutları ve g de kutunun bir üst köşesinden alt zıt kösesine giden bir köşegenin uzunluğu. Euler’in tuğlası diye de isimlendirilen bu soruda amaç tuğlanın bütün yüzey köşegenlerinin tamsayı olması (d, e ve f) aynı zamanda hacim köşegenin de tamsayı olmasıdır.(g)

Bu kutu mükemmel kuboid olarak isimlendiriliyor. Matematikçiler birçok olasılığı denediler ve henüz bir tane bile bulamadılar. Fakat böyle bir kutunun olmadığını da ispatlayamadılar, bu nedenle mükemmel kuboid avına devam…  

10- Euler-Mascheroni Sabitinin Rasyonel Olup Olmaması

Matematiksel analizin sayılar teorisinde Euler-Mascheroni sabiti “ϒ” işareti ile sembolize edilir. Bu sembolün formülü, harmonik seri ile doğal logaritma arasındaki limit veya farka eşittir. Euler, sonsuz serilerle ilgili bu sabiti 1735 yılında tanımlamış ve 16 basamağına kadar hesaplamıştır (0,5772156649015328). Lorenzo Mascheroni ise 1790 yılında 32 basamağına kadar hesaplayarak buluşu genişletmiştir. Formülü aşağıdaki gibidir. Matematikçilerin kafasını kurcalayan soru ise şu: acaba bu sabit rasyonel bir sayı mıdır yoksa değil midir?

11- Herhangi Bir Mükemmel Tek Tam Sayı Var mı?

Mükemmel sayılar, kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamının kendisine eşit olduğu sayılar olarak bilinir. Örneğin 6 sayısı mükemmel bir sayıdır. Çünkü kendisi hariç bölenleri 1,2 ve 3 olup 1 + 2 + 3 = 6’dır ve kurala uymaktadır. Mükemmel sayılar kavramından ilk olarak Pisagor bahsetmiştir. Öklid Elementler adlı eserinde bu konuya ilişkin bir algoritmaya yer vermiştir.

Algoritmanın formülünü ise 2p-1(2p-1) olarak bulmuştur. Şöyle ki eğer p ile (2p-1) sayıları asalsa 2p-1(2p-1) çarpımı da mükemmel sayıyı verecektir. 3 sayısını ele alalım. 3 ile 7 sayısı birbiriyle asal sayılardır ve 23-1(23 -1) = 28 mükemmel bir sayıdır.

Daha sonra Fransız Matematikçi Marin Mersenne, Mersenne asalları başlığında bulduğu (2p-1) formülüyle mükemmel sayılar arasında bağlantı kurmuştur. Euler ise Öklid’in formülünün her mükemmel sayıya denk geldiğini kanıtlamıştır. Bir sayının bölenlerini toplama işlemi σ olarak tanımlansın. σ(n) = 2n  formülüyle Euler, Öklid’in formülizasyonunu resmileştirmiştir.

Mesela σ(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42’dir; fakat 42 sayısı 2 x 20’ye eşit olmadığından 20 sayısı, mükemmel bir sayı değildir. σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56’dır ve 56 sayısı 2 x 28’e eşit olduğundan 28 sayısı, mükemmel bir sayıdır. Herhangi mükemmel tek sayının var olup olmadığı 2 bin yıldır matematikçilerin araştırma konusunu oluşturmakta ve tarihin en eski matematik sorularından biri olarak kabul edilmekte. Daha fazlası için: 2000 Yıllık Çözümsüz Bir Soru: Tek Mükemmel Sayı Var mıdır? Matematiğin büyülü yolculuğu hiç bitmeyecek gibi…


Kaynaklar:

Matematiksel

Olgun Duran

Ömür boyu öğrencilik felsefesini benimsemiş amatör tiyatro oyuncusu ve TEGV gönüllüsü; kitaplarından, doğaya hayranlığından, yeni yerleri görmekten, gittiği yerlerin kültürünü keşfetmekten ve bunların uğruna çabalamaktan vazgeç(e)meyen kişi...  
Başa dön tuşu