Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Matematikte çözülememiş birçok problem vardır. Özellikle sayılar teorisinin neresinden bakarsanız bakın, derinlerine indikçe çözülemeyen problemlerine denk gelirsiniz. Bu yazının konusunu da matematikte öne çıkan çözülmemiş bazı problemler ve bunlar hakkında kısa bilgiler oluşturmaktadır.

1- Goldbach Hipotezi

Goldbach Hipotezi

Goldbach hipotezi, Alman Matematikçi Christian Goldbach (1690 – 1764) tarafından 1742 yılında ortaya atılmıştır. Varsayım şunu söyler: “2’den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir.” Yani 4 ve 4’den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı olarak yazılabilmekte. Goldbach bu varsayımını dile getirirken o dönemde 1 sayısını asal sayı olarak kabul etmiş; hatta hipotezine ek olarak 7’den büyük her tek sayının, üç asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini öne sürmüştür ki bu varsayım, Goldbach varsayımının zayıf türü olarak adlandırılmıştır.

Rus Matematikçi Ivan Matveyevich Vinogradov (1891 – 1983) tarafından 7’den büyük her tek sayının, üç asal sayının toplamı olarak yazılabileceği varsayımı kanıtlanmıştır. Çinli Matematikçi Chen Jing Run (1933 – 1996) ise varsayımın biraz ilerisine giderek yeterince büyük olan her çift sayının bir asal ve en fazla iki asal çarpana sahip bir sayının toplamı olduğunu kanıtlamıştır. Ama nihai mutlu sona henüz kimse ulaşabilmiş değil… 🙂

2- Riemann Hipotezi

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Milenyum problemlerinden biri olan bu varsayım, Alman Matematikçi Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866) tarafından 1859 yılında açıklanmıştır. Çözene 1 milyon dolarlık ödül kazandıracak olan bu hipotez, Riemann’ın zeta fonksiyonu olarak adlandırılan ve aşağıdaki gibi formüle edilen bir eşitlik içerir:

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Buradaki s değişkeni reel ya da karmaşık sayılardan biri olabilir. s = 1 için seri ıraksar; yani değeri sonsuz olur. Fonksiyonun Riemann tarafından belirtilen basit kökleri (yani  koşulunu sağlayan) negatif çift tamsayılardır. Karmaşık analitik düzlemde ise x = 0 ve x = 1 doğruları arasında sonsuz tane kök bulunmaktadır.

Ayrıca Riemann, x = 1/2 doğrusu etrafında bu köklerin simetrik olduğunu da söylemektedir. İşte asıl sorunda burada başlamaktadır. 1900 yılında David Hilbert bu hipotezi, modern matematiğin en önemli çözülmemiş sorularından birisi olduğunu belirtmiştir. 24 Eylül 2018 tarihinde Abel ödülü ve Fields madalyası sahibi ünlü matematikçi Michael Atiyah, Riemann hipotezinin “basit” bir ispatını bulduğunu iddia etmiş olmasına rağmen konu üzerinde tartışmalar hala süregelmekte.

3- İkiz Asal Varsayımı

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Asal sayılar bilindiği gibi kendisinden ve 1’den başka böleni bulanmayan sayılara verilen addır. İkiz asallar ise aralarındaki farkın 2 olduğu asal sayılardır (örneğin 3 ile 5 ya da 17 ile 19 gibi). Asal sayıların sonsuz oluşu Öklid tarafından kanıtlansa da ikiz asalların sayısı sonsuz mudur? sorusu uzun zamandan beri matematikçilerin aklını kurcalamakta.

İkiz asal sayılar kavramı ilk olarak 1846 yılında Fransız Matematikçi Alphonse de Polignac (1826 – 1890) tarafından sunulmuştur. Norveçli Matematikçi Viggo Brun (1885 – 1978), “eleme metoduyla” bir x sayısından küçük ikiz asal sayıların sayısının, x/(log)2 ’den küçük olduğunu göstermiştir. Bu sonuç da Brun sabiti olarak ifade edilir ve bütün ikiz asal sayı çiftler toplamının yakınsak olduğunu kanıtlar. Bunun yanında Brun, her çift sayının en fazla 9 tane asal çarpanı olacak şekilde, iki tane sayının farkı olarak sonsuz biçimde gösterilebileceğini kanıtlamıştır.

Brun sabiti

Brun sabiti, 1976’da 100 milyara kadar ikiz asal sayılar kullanılarak yaklaşık 1.90216054 olarak hesaplandı. 2010 yılında ABD’li Matematikçi Thomas Nicely, Brun sabiti için 1.902160583209 ± 0.000000000781,2 × 1016 ‘dan küçük tüm ikiz asal sayılara dayalı bir değer buldu. 2005 yılında Türk Matematikçi Cem Yıldırım ile ABD’li Matematikçi Daniel Goldston, Elliott-Halberstam varsayımına* dayanarak “İki asal sayı arasındaki farkın bazı koşullarda ortalama farkın çok çok altında olabileceğini kanıtlamışlar ve Cole Ödülü’nü kazanmışlardır.

Ayrıca asal sayıların dağılımı teorisinde, aralarındaki farkın 16 veya daha az olduğu sonsuz sayıda asal sayı olduğunu ispatlamışlardır. (*Ayrıntılı bilgi için: https://arxiv.org/pdf/2005.03811.pdf)

2013 yılına gelindiğinde ise Amerikalı Matematikçi Yitang Zhang, herhangi bir varsayım olmaksızın, 70 milyondan fazla ikiz asal sayı bulunmasını sağlayarak çalışmaları geliştirdi. Her ne kadar yaklaşık olarak ifade edilen kanıtlar bulunsa da bu hipotez hala güzelliğini korumakta; çünkü bu güzellik, matematiğin kesin sonuca duyduğu aşktan gelmekte.

4- NP Problemlerinin Gerçekte P Problemleri Olup Olmadığı

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Tam polinoma (Polynomial – P) karşı belirleyici olmayan polinom (Non-Deterministic Polynomials – NP) arasındaki çatışma, Massachusetts Teknoloji Enstitüsü’nde (MIT) yardımcı doçent olan John Forbes Nash Jr.’ın 1955 yılında ABD Ulusal Güvenlik Ajans’ına yazdığı mektup ile ortaya çıkar. Bu mektupta “hesaplamalı zorluk varsayımından” söz ederek çok karmaşık bir kodun kırılması için gereken zamanın, şifreleme anahtarının uzunluğuna üstel olarak bağlı olduğunu belirtmiştir.

ABD’li Bilgisayar Bilimcisi Stephen Cook, Boole’un cebirsel işlemlerini kullanarak –bir formüldeki değişkenlere ifadeyi doğru yapacak şekilde değer atama işlemi– belirleyici olmayan polinom problemlerini (NP) ortaya çıkarır. 1979 yılına gelindiğinde ise Rus Matematikçi Leonid Henry Khachiyan (1952 – 2005) bir polinom zaman algoritması keşfeder.

Problem aslında temel olarak bilgisayar bilimlerinin alanına aittir. Burada bulunmak istenen, bilgisayar tarafından çözülebilen her sorunun mümkün olan en kısa zamanda çözülüp çözülemeyeceğidir. Yani polinom zaman algoritmasını yaratabilmek mümkün olacak mıdır? Çünkü herhangi bir NP probleminin çözümü için bulanacak bir algoritma, diğer NP problemlerinin çözümüne de kolaylık sağlayacaktır.

5- Collatz Sorunu

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

1937 yılında Alman Matematikçi Lothar Collatz (1910 – 1990) tarafından ortaya atılan bu problem 3n + 1 problemi olarak da geçer. Problemin özü şudur: “tüm sayıların 1’e indirgenmesi mümkün müdür?” Yani herhangi bir n sayısı seçilsin -eğer seçilen sayı tekse- bu sayı 3 ile çarpılır ve 1 eklenip 2’ye bölünürse ve aynı zamanda çıkan sonuca göre de algoritmaya devam edilirse sonuç 1’e ulaşır mı?

Ya da seçilen (çıkan sonuç) sayı çiftse, sayı 2’ye bölünür ve algoritmaya devam edilirse sonuç 1’e ulaşır mı?

Bir örnek ile anlatmak istersem: n = 5 olsun. (5 x 3) + 1 = 16 olduğundan sonuç çift sayıdır ve 2’ye bölünür. 16/2 = 8 yine çift sayı olduğundan 8/2 = 4 bulunur. Yine çıkan sayı (4), 2’ye bölünür ve 2 elde edilir. Son olarak bir kez daha sayı 2’ye bölününce 1 sayısına ulaşmış oluruz. Basit bir örnekle ne kadar kolay görünüyor öyle değil mi? Oysaki işin en zor kısmı burada yatıyor.

6- Palindromik 196 Sayısının Algoritma Uygulandığında Sona Ermemesi

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Bu soruna geçmeden önce palindrom kavramı hakkında bilgi vermek gerekir. Palindrom, tersten okunuşu aynı olan cümle, sözcük veya sayılardır. Palindromik sayı dizisi için de algoritma bulunmuştur. Fakat belirtmek gerekir ki algoritma her sayı için sağlanmamaktadır. Algoritma şu şekilde işler: Sayının tersiyle kendisi toplanır. Çıkan sayı palindromik sayı ise algoritmayı durdurulur, aksi takdirde algoritmayı uygulamaya devam edilir. Örnek olarak 45 sayısını alalım.

45 + 54 = 99 palindromik sayı olduğundan algoritma durdurulur.

78 + 87 = 165 çıkan sayı palindromik sayı olmadığından algoritmaya devam edilir.

165 + 561 = 726 yine palindromik sayı değil, yine algoritmaya devam,

726 + 627 = 1353 yine devam edilsin.

1353 + 3531 = 4884 palindromik bir sayı olduğundan algoritma durdurulur.

Bu kurala uymayan sayılarda mevcuttur. Kurala uymadığı bilinen en küçük sayı 196’dır ve şimdiye kadar kimse 196’nın palindromik sayısına ulaşamamıştır. Bu sayı  dışında 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887,… gibi pek çok sayı da kurala uymayan sayılara örnek olarak sunulabilir.

1990 yılında John Walker adlı bir programcı, 196 sayısı için algoritmanın 2.415,836 yinelemesini hesaplayarak, palindromik olmayan, milyon basamaklı bir sayı bulmuştur. Bu sonuç yıllar içinde sürekli olarak iyileştirilmiştir. Öyle ki, 2012 yılına gelindiğinde, 196 sayısı için yinelemeli işlem bir palindromik sayı verirse; sonuçta ortaya çıkan palindromik sayının 600 milyondan fazla basamağa sahip olacağı belirlenmiştir.

7- 10 Sayısı Yalnız Bir Sayı mıdır?

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Yalnız sayı, herhangi bir dost sayı çifti olmayan sayı gruplarına verilen addır. Peki, dost sayı nedir? Dost sayılar, bölenlerinin toplamının sayının kendisine oranlandığında aynı sayıyı veren sayı çiftleridir. Dost sayılara örnek vermek gerekirse; 6 ve 28 sayı çiftini ele alalım. 6’nın bölenleri toplamı (6+ 3 + 2 + 1 = 12) 12 olup 12/6 = 2 eder. 28 sayısının bölenleri toplamı (28 + 14 + 7 + 4 + 2 + 1 = 56) 56 olup 56/28 = 2 olduğundan 6 ve 28 sayı çifti dost sayılardır. Yalnız sayılar ise dost olmayan sayılar dizisini ifade eder.18, 45, 48, 52, 136, 148, 160, 162, 176, 192, 196, 208, 232, 244, 261, 272, 292, 296, 297, 304, 320, 352 ve 369 gibi sayılar yalnız sayılardır.

Matematikçilerin hala üzerinde tartıştıkları konu ise 10 sayısının yalnız sayı olup olmadığıdır. Çünkü daha hiçbir matematikçi 10’un dost bir sayı çiftini elde edemedi. Bakalım ilerleyen zamanlarda bu sorunun cevabı bulunabilecek mi?

8- Mutlu Son Problemi

Bu problem, Macar Matematikçi Paul Erdös (1913 – 1996) tarafından ortaya atılmıştır. Probleme bu adın verilmesinin sebebi ise bu problem ile uğraşan iki matematikçi Esther Klein (1910 – 2005) ile George Szekeres’ın (1911 – 2005) birbirleriyle evlenmeleri olmuştur. Problem şunu sorar: n sayıda nokta kullanılarak kaç tane konveks n-gen çizilebilir?

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Şimdiye kadar yapılan çalışmalarla 17 nokta kullanılarak altıgen çizildiği kanıtlanmıştır. Ama daha yüksek sayıda verilen noktalarda kaç farklı n-gen oluşturulacağı konusu hala tartışılmakta ve dolayısıyla bu problemin çözümüne ulaşanı da 1 milyon dolar para ödülü beklemekte.

9- Alanı ve Köşegeni Tam Sayı Olan Bir Euler Tuğlası Bulma

Varlığı ya da yokluğu matematikçiler tarafından ispat edilmemiş olan bu problem aslında şunu söyler: bir küboid şekilde (üç boyutlu uzayda) a > b > c iken; hacim köşegeni ve yüzey köşegenlerinin tamsayı olduğu mükemmel küboid bir şekil var mıdır?

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Bu probleme Euler (İsviçreli Matematikçi ve Fizikçi, 1707 – 1783) tarafından iki paremetrik çözüm bulunmuşken, Nicholas Saunderson (İngiliz Matematikçi, 1682 – 1739) ise 1740 yılında Pisagor’un teoremi aracılığıyla bu problemi aşağıdaki gibi formülize etmesine rağmen soru halen tartışılmakta.  

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Problemin çözümü kim bilir ne zamana bulunabilecek?

10- Euler-Mascheroni Sabitinin Rasyonel Olup Olmadığının Belirlenmesi

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Matematiksel analizin sayılar teorisinde Euler-Mascheroni sabiti “ϒ” işareti ile sembolize edilir ve Euler’in “e” sabiti ile karıştırılmamalıdır. Bu sembolün formülü, harmonik seri ile doğal logaritma arasındaki limit veya farka eşittir. Euler, sonsuz serilerle ilgili bu sabiti 1735 yılında tanımlamış ve 16 basamağına kadar hesaplamıştır (0,5772156649015328). Lorenzo Mascheroni (İtalyan Matematikçi, 1750 – 1800) ise 1790 yılında 32 basamağına kadar hesaplayarak buluşu genişletmiştir. Aşağıdaki gibi fomülize edilir:

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Matematikçilerin kafasını kurcalayan soru ise şu: acaba bu sabit rasyonel bir sayı mıdır yoksa değil midir? Bakalım cevabı kimler bulabilecek?

(Daha ayrıntılı bilgi için Prof. Dr. Ali Nesin’in Analiz II kitabına bakabilirsiniz.)

11- Herhangi Bir Mükemmel Tek Tam Sayı Olup Olmadığının Belirlenmesi

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Bu sorunun ne olduğunu anlatmadan önce mükemmel sayılar hakkında bilgi verilmesi gerekmekte. Mükemmel sayılar, kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamının kendisine eşit olduğu sayılar olarak bilinir. Örneğin 6 sayısı mükemmel bir sayıdır. Çünkü kendisi hariç bölenleri 1,2 ve 3 olup 1 + 2 + 3 = 6’dır ve kurala uymaktadır. Mükemmel sayılar kavramından ilk olarak Pisagor bahsetmiş ve Öklid Elementler adlı eserinde bu konuya ilişkin bir algoritmaya yer vermiştir.

Okuma Önerisi: Pisagor ve Mükemmel Sayılar

Algoritmanın formülünü ise 2p-1(2p-1) olarak bulmuştur. Şöyle ki eğer p ile (2p-1) sayıları asalsa 2p-1(2p-1) çarpımı da mükemmel sayıyı verecektir. 3 sayısını ele alalım. 3 ile 7 sayısı birbiriyle asal sayılardır ve 23-1(23 -1) = 28 mükemmel bir sayıdır.

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Daha sonra Fransız Matematikçi Marin Mersenne(1588 – 1648), Mersenne asalları başlığında bulduğu (2p-1) formülüyle mükemmel sayılar arasında bağlantı kurmuştur. Euler ise Öklid’in formülünün her mükemmel sayıya denk geldiğini kanıtlamıştır. Bir sayının bölenlerini toplama işlemi σ olarak tanımlansın. σ(n) = 2n  formülüyle Euler, Öklid’in formülizasyonunu resmileştirmiştir.

Mesela σ(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42’dir; fakat 42 sayısı 2 x 20’ye eşit olmadığından 20 sayısı, mükemmel bir sayı değildir. σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56’dır ve 56 sayısı 2 x 28’e eşit olduğundan 28 sayısı, mükemmel bir sayıdır.

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Ünlü Fransız Filozof ve Matematikçi Descartes (1596 – 1650), ilk sahte mükemmel tek sayı örneğini keşfetmiş ve bu sayıyı 198,585,576,189 olarak belirlemiştir.

Yani; (198,585,576,189) = σ(32 x 72 x 112 x 132 x 22,0211) = 397,171,152,378 ve σ (198,585,576,189) = 2 x 198,585,576,189 = 397,171,152,378 olduğundan kurala uygun bir sayı elde etmiştir. Oysaki Descartes’in sahte sayı bulmasının sebebi 22,021 sayısının asal olmamasından kaynaklanmaktaydı (22,021 = 192 x 61). Fakat Descartes, mükemmel tek sayının varlığına inanmış ve bunun üzerine derin araştırmalar yapmıştır.

Herhangi mükemmel tek sayının var olup olmadığı 2 bin yıldır matematikçilerin araştırma konusunu oluşturmakta ve tarihin en eski matematik sorularından biri olarak kabul edilmekte.

1888’de James Sylvester, hiçbir mükemmel tek sayının 105’e bölünemeyeceğini kanıtladı. 1960’da Karl K. Norton, mükemmel tek sayının 3, 5 veya 7 ile bölünememesi durumunda en az 27 asal çarpana sahip olması gerektiğini kanıtladı. Yine Paul Jenkins, 2003 yılında mükemmel tek sayının en büyük asal faktörünün 10.000.000’i aşması gerektiğini buldu. Pascal Ochem ve Michaël Rao, yakın zamanda herhangi bir mükemmel tek sayının 10 1500‘den büyük olması gerektiğini belirlediler (ve daha sonra bu sayıyı 10 2000‘e çıkardılar ). Pace P. Nielsen, 2015 yılında mükemmel tek sayının minimum 10 farklı asal faktöre sahip olması gerektiğini gösterdi. Araştırmalar şimdilik böyle yol almakta, bakalım tarihin eski sorularından biri olan bu soru, kesin bir cevaba kavuşabilecek mi?

Matematikte Henüz Çözülememiş 11 Problem

Cambridge Massachusetts’teki Clay Matematik Enstitüsü (CMI) yıllar içinde matematikte çözülemeyen klasik sorulardan 7 tanesini seçmiş ve her bir sorunu çözen kişiye 1 milyon dolar para ödülü vereceğini duyurmuştur. 1900 yılında David Hilbert, matematikte birçoğu çözülmüş, ancak bazıları hala çözülmeyi bekleyen 23 önemli problemin (Hilbert problemleri) bir listesini önermiştir. Hilbert’ten yüz yıl sonra Smale (2000), 18 önemli sorunun bir listesini sunmuştur. Matematiğin büyülü yolculuğu hiç bitmeyecek gibi…

Kaynakça:

Matematiksel

Olgun Duran

Ömür boyu öğrencilik felsefesini benimsemiş amatör tiyatro oyuncusu ve TEGV gönüllüsü; kitaplarından, doğaya hayranlığından, yeni yerleri görmekten, gittiği yerlerin kültürünü keşfetmekten ve bunların uğruna çabalamaktan vazgeç(e)meyen kişi...  

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu