Matematikte bazı problemler vardır; ilk bakışta çözümü çok kolaymış gibi görünür. İlk birkaç denemde doğru sonuca ulaşmak kolaydır. Hatta binlerce, milyonlarca sayı denendiği zamanlarda bile sonucun doğru olduğunu görebiliriz. Buna rağmen matematikçiler “artık doğru kabul edelim” demez. Çünkü matematikte çok sayıda örnek, kanıt yerine geçmez.
Goldbach Hipotezi de bu tür problemlerin en ünlülerinden biridir. Goldbach Hipotezi adını Türkçede sık görürüz. Matematikçiler ise bu problem için daha çok Goldbach Sanısı der.
Goldbach Sanısı, 2’den büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini öne sürer. İlk bakışta oldukça basit görünen bu önerme, yaklaşık üç yüzyıldır matematikçilerin çözemediği en önemli açık problemlerden biri olmayı sürdürüyor.
Goldbach Sanısı Nedir?
7 Haziran 1742’de Christian Goldbach, Leonhard Euler’e gönderdiği bir mektupta asal sayılarla ilgili iki önerme ortaya attı. Bunlardan biri, 2’den büyük her tam sayının üç asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini söylüyordu.
Ancak burada küçük bir tarihsel ayrıntı var. Goldbach, dönemin yaygın anlayışına uygun olarak 1’i de asal sayı kabul ediyordu. Günümüzde 1 asal sayı sayılmadığı için, bu önerme modern matematikte 5’ten büyük her tam sayı, üç asal sayının toplamı olarak yazılabilir biçiminde ifade edilmektedir.
Euler, 30 Haziran 1742’de Goldbach’a verdiği yanıtta, daha önce aralarında konuştukları başka bir önermeyi hatırlattı. 2’den büyük her çift sayıyı, iki asal sayının toplamı olarak yazmak mümkündür.
Örneğin 4 sayısı 2 + 2, 6 sayısı 3 + 3, 8 sayısı 3 + 5, 10 sayısı ise 3 + 7 ya da 5 + 5 biçiminde yazılabilir. Bugün Goldbach Sanısı denildiğinde kastedilen önerme de budur. Euler, mektubunda bu ifadenin doğru olduğuna kesin gözüyle baktığını, ancak bunu kanıtlayamadığını yazdı.
Goldbach Sanısının İspatı Neden Bu Kadar Zor?
Goldbach’ın bu gözlemi üzerinden yaklaşık üç yüzyıl geçti. Bu süre boyunca matematikçiler sanıyı bilgisayarlarla giderek daha büyük sayılar üzerinde sınadı. Bugün, 4×1018’den küçük bütün çift sayıların iki asal sayının toplamı olarak yazılabildiği doğrulandı.
Buna rağmen matematikçiler bunu bir kanıt olarak kabul etmez. Çünkü bilgisayar yalnızca belirli bir aralıktaki sayıları kontrol eder. Kontrol edilen aralık ne kadar büyürse büyüsün, onun ötesinde sonsuz sayıda çift sayı mevcuttur. Dolayısıyla henüz incelenmemiş bir yerde karşı örnek ortaya çıkma olasılığı her zaman vardır.
Bunu daha iyi anlamak için bilgisayarın doğruladığı her çift sayıyı bir listeye yazdığını düşünün. Zamanla elinizde milyonlarca, hatta trilyonlarca satırlık bir liste oluşur. Bu liste Goldbach Sanısı’nın doğru olduğuna dair güçlü bir izlenim verir. Ancak biri listede yer almayan daha büyük bir çift sayıyı gösterip “Peki bunun için neden doğru olduğunu biliyorsun?” diye sorduğunda, elinizde kesin bir cevap olmaz.
İşte matematiksel ispat ile bilgisayar doğrulaması arasındaki fark budur. Bilgisayar tek tek örnekleri kontrol eder. Matematiksel ispat ise sanının neden bütün çift sayılar için doğru olduğunu gösterir. Goldbach Sanısı’nın teorem hâline gelebilmesi için de böyle genel bir ispat gerekir. Bugüne kadar hiç kimse bunu başaramadı.
.
Asal sayıların dağılımını inceleyen istatistiksel çalışmalar da Goldbach Sanısı’nı destekler. Sayılar büyüdükçe, bir çift sayıyı iki sayının toplamı olarak yazmanın daha fazla yolu ortaya çıkar. Bu da bu toplamların en az birinin iki asal sayıdan oluşma olasılığını artırır. Ancak bu yalnızca güçlü bir sezgidir; matematiksel kanıt yerine geçmez.
Gelecekte Bir Gün Bir Çözüm Bulmak Mümkün mü?
Goldbach Sanısı iki şekilde çözülebilir. Matematikçiler ya iki asal sayının toplamı olarak yazılamayan bir çift sayı bulur ve sanıyı çürütür ya da her çift sayının neden bu biçimde yazılabildiğini gösteren genel bir kanıt ortaya koyar.
Bugüne kadar pek çok güçlü matematikçi bu problemi denedi, ama sonuç alamadı. Bir gün kanıt gelirse, büyük olasılıkla yeni bir fikir ya da alışılmışın dışında bir yöntem içerecek.
19. yüzyılın sonlarında İtalyan matematikçi Giuseppe Peano, doğal sayılar için beş temel aksiyom geliştirdi. Amaç, doğal sayılarla ilgili her matematiksel önermeyi bu temel kurallardan hareketle değerlendirebilmekti.
Ancak Goldbach Sanısı’nın yanı sıra İkiz Asallar Sanısı, Riemann Hipotezi ve Collatz Sanısı gibi kolayca ifade edilen birçok problem hâlâ çözülemedi. Bu durum, matematikte ilginç bir soruyu gündeme getiriyor: Bir önerme doğru olduğu hâlde kullandığımız aksiyomlar içinde kanıtlanamayabilir mi?
Kurt Gödel’in eksiklik teoremleri, böyle bir olasılığın en azından ilke olarak mümkün olduğunu gösterdi. Yine de matematikçiler bugün Goldbach Sanısı için böyle bir durumdan şüphelenmiyor. Genel kanıtın henüz bulunamamış olması, onun kanıtlanamayacağı anlamına gelmiyor.
Büyük olasılıkla çözüm, bugüne kadar denenen yöntemlerden farklı yeni bir matematiksel fikir gerektirecek. Yaklaşık üç yüzyıldır çözülemeyen bu problem, bu yüzden sayı kuramının en büyük meydan okumalarından biri olmayı sürdürüyor.
Kaynaklar ve İleri Okumalar
- The Subtle Art of the Mathematical Conjecture. yayınlanma tarihi: 7 Mayıs 2019. Kaynak site: Quanta Magazine. Bağlantı: The Subtle Art of the Mathematical Conjecture
- Castelvecci, D. Mathematicians come closer to solving Goldbach’s weak conjecture. Nature (2012). https://doi.org/10.1038/nature.2012.10636
Matematiksel
