En İlginç Dizilerden Birisi İle Tanışın: Kolakoski Dizisi

Matematikte birbirinden ilginç sayı dizileri bazen tesadüfen bazen de akıllıca planlanmış bir biçimde karşımıza çıkar. Şimdi size bir sayı dizisi vereceğiz. Bu diziyi gerçekten ilginç bulacaksınız. Dizimiz sadece 1 ve 2 sayılarından oluşacak. ( 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1…) Hemen bu sayılar arasında bir ilişki aramaya çalışmayın. Çünkü standart bir bakış açısı ile bu ilişkiyi bulmak pek de mümkün değil.

O zaman şimdi diziye farklı bir açıdan bakalım. Dizinin ilk terimi 1 ile başlıyor yani bir tane birimiz var. İki ve üçüncü terimler 2, yani iki tane 2’miz var. Dördüncü ve beşinci terimlerimiz ise 1, yani iki tane birimiz var. Altıncı terimimiz 2. Yani bir tane 2’miz var. Yedinci terimimiz ise 1. Yani bir tane daha 1’imiz var. Muhtemelen mantığımızı anladınız. O zaman Kolakoski Dizisi ile tanışmaya hazırsınız.

Kolakoski Dizisi: İlk bakışta sıkıcı bir grup 1’ler ve 2’ler gibi görünebilir. 
Ama diziyle ilgili harika olan şey, kendini tanımlaması ve bunu tekrar tekrar yapması.

Yukarıda gördüğümüz dizi size ilk başlangıçta fazla ilginç gelmemiş olabilir. O zaman biraz daha dikkatlice bakalım. Bu dizi aslında kendini tanımlayan bir dizidir. Orijinal dizi ile bu dizideki elemanların kaç defa kullanıldığını tanımlayan dizi aynı terimlerden oluşmaktadır. Yani ikinci dizi, birinci dizinin birebir aynısıdır. Bu dizi aynı zamanda özyinelemelidir, yani aynı işlemi az önce oluşturduğunuz diziye uygulayabilir ve tamamen aynı Kolakoski dizisini yeniden elde edebilirsiniz.

William Kolakoski Kimdir?

Bir çok kişi adını fazla duymasa da Kolakoski Dizisi aslında matematikçiler arasında oldukça bilinmektedir. Bu dizi ilk olarak bir matematikçi ve makine mühendisi olan ve Princeton Üniversitesi’nde Albert Einstein ile çalışmış olan Rufus Oldenburger (1908-1969) tarafından 1939 yılında yazılan bir makalede yer aldı. Oldenburger, Chicago Üniversitesi’nden 1928’de AB derecesi, 1930’da matematik alanında yüksek lisans ve doktora derecesini almıştı. İki kitabın yazarı ve beş kitabın editör-ortak yazarı oldu ve 110 makale yazdı. Ancak diziye adını veren kişi Oldenburger yerine William Kolakoski (1944-1997) oldu.

William Kolakoski’nin otoportresi

İşin ilginç tarafı Kolakoski, aslen bir matematikçi değil, bir ressamdı. Ancak kendisinin ilgi alanı Recreational Mathematics yani eğlence amaçlı matematik idi. Recreational mathematics’in kapsamı içine her türlü matematiksel bulmaca, zeka soruları, akıl oyunları, mantık bilmeceleri dahil edilebilir. Kolakoski Dizisi de bunlardan birisidir.

Bu arada Wiliam Kolakoski aynı zamanda bir şizofreni hastasıydı. Ayrıca hayatı boyunca resmin yanısıra özgür irade ve determinizm konuları ile meşgul oldu. Son derece zeki ve başarılı olmasına rağmen hastalığı hayatının kontrolünü sıklıkla kaybetmesine neden oluyordu. Sonucunda Kolakoski, ilaç yardımı olmadan kendi beynini kontrol edemez hale gelmişti.

Kolakoski Dizisi İle Nasıl Tanıştık?

1965 yılında William Kolakoski dizinin ilk 41 terimini ortaya koydu. Kolakoski, dizi üzerine yıllarca çalışmaya devam etti ve bu konuda bir külliyat oluşturdu. Bu çalışmaları, Carnegie Mellon Üniversitesi Kütüphanelerinde William Kolakoski Koleksiyonu olarak tutulmaktadır.

Peki bu diziyi oluşturmak için bir kural var mıydı? Herhangi bir terim bulmak için bir formül bulmak mümkün müydü? Dizi periyodik miydi? Aslında bu soruların cevaplarını kendisi de bilmiyordu. Bu nedenle bu cevaplar ile uğraşma işini de asıl matematikçilere bıraktı. 1966 yılında Necdet Uçoluk, Kolokoski’nin 1. ve 3. sorularını yanıtladı. (Dizi periyodik değildir). Kolakoski ve Uçoluk görünüşe göre Oldenburger’in makalesinden habersizdiler.

Dizinin tanımlanıp oluşturulabilmesi gördüğünüz gibi son derece kolaydır. Ancak bu dizi basitliğe rağmen, bazıları elli yıldan fazla zamandır matematikçileri meşgul eden ilginç ve karmaşık matematiksel problemler de içermektedir. Bu problemleri incelemek isterseniz yazımızın sonundaki bağlantılara göz atabilirsin.



Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım


Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz