Kolakoski Dizisi: En İlginç Sayı Dizilerden Birisi İle Tanışın

Matematikte birbirinden ilginç sayı dizileri bazen tesadüfen bazen de akıllıca planlanmış bir biçimde karşımıza çıkar. Şimdi size bir sayı dizisi vereceğiz. Bu diziyi gerçekten ilginç bulacaksınız. Şimdi sadece 1’ler ve 2’lerden oluşan bir sayı dizisi düşünün: Örneğin 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2… ya da 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 gibi…

Hemen bu sayılar arasında bir ilişki aramaya çalışmayın. Çünkü standart bir bakış açısı ile bu ilişkiyi bulmak pek de mümkün değil. Şimdi yeni bir dizi oluşturun. Ancak bu dizi de 1’leri ve 2’leri öyle bir sırayla yazın ki ardışık 1’lerin sayısını ve 2’lerin sayısını saydığınızda ilk dizi ile tamamen aynı diziyi elde edin.

Sözlerimiz karmaşık geldiyse haklısınız. Şöyle açıklayalım. Rastgele yazdığımız ilk diziyi ele alalım: 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2…Bu dizide soldan sağa doğru hareket ederek 1’ler ve 2’lerin kaç kez üst üste yazıldığını sayın.

• 1’den 3 tane var, yani yeni dizimizin ilk sayısı 3’tür.
• Hemen ardından 2’de 1 tane geliyor yani yeni dizimizin ikinci sayısı 1’dir.
• Sonra 1 tane 1 var. Bu durumda üçüncü sayımız 1 olacaktır.
• Devamında 2 tane 2 var, bu da dördüncü sayımızın 2 olduğu anlamına geliyor.
• Sonra 2 tane 1 var. Yani dizimizin beşinci sayısı 2’dir.
• Son olarak, 2 tane 2 var, bu da altıncı sayımızın 2 olduğu anlamına geliyor. Ve bu durumda sayı dizimiz 3 1 1 2 2 2… biçiminde oluyor.

Ancak bu tam olarak aradığımız cevap değil. Sonucunda en başta aradığımız dizinin ilk dizi ile tıpatıp aynı olması istediğimizi söylemiştik. Bunun yapılamayacağını düşünüyorsanız yanılıyorsunuz. Sizi Kolakoski dizisi ile tanıştıralım.

Kolakoski Sayı Dizisi Nedir?

Kolakoski dizisi 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1… biçimindedir.

Bir kere daha hesaplama yapalım. Dizinin ilk terimi 1 ile başlıyor yani bir tane birimiz var. İki ve üçüncü terimler 2, yani iki tane 2’miz var. Dördüncü ve beşinci terimlerimiz ise 1, yani iki tane birimiz var. Altıncı terimimiz 2. Yani bir tane 2’miz var. Yedinci terimimiz ise 1. Yani bir tane daha 1’imiz var. Muhtemelen mantığımızı anladınız. Anlamadıysanız aşağıdaki görsel de bir fikir verecektir.

Yukarıda gördüğümüz dizi size ilk başlangıçta fazla ilginç gelmemiş olabilir. Ancak bu dizi aslında kendini tanımlayan bir dizidir. Orijinal dizi ile bu dizideki elemanların kaç defa kullanıldığını tanımlayan dizi aynı terimlerden oluşmaktadır.

Kolakoski Dizisi İle Nasıl Tanıştık?

Bir çok kişi adını fazla duymasa da Kolakoski Dizisi aslında matematikçiler arasında oldukça bilinmektedir. Bu dizi ilk olarak bir matematikçi ve makine mühendisi olan ve Princeton Üniversitesi’nde Albert Einstein ile çalışmış olan Rufus Oldenburger (1908-1969) tarafından 1939 yılında yazılan bir makalede yer aldı.

Oldenburger, Chicago Üniversitesi’nden 1928’de AB derecesi, 1930’da matematik alanında yüksek lisans ve doktora derecesini almıştı. İki kitabın yazarı ve beş kitabın editör-ortak yazarı oldu ve 110 makale yazdı. Ancak diziye adını veren kişi Oldenburger yerine William Kolakoski (1944-1997) oldu.

William Kolakoski Kimdir?

İşin ilginç tarafı Kolakoski, aslen bir matematikçi değil, bir ressamdı. Ancak kendisinin ilgi alanı Recreational Mathematics yani eğlence amaçlı matematik idi. Recreational mathematics’in kapsamı içine her türlü matematiksel bulmaca, zeka soruları, akıl oyunları, mantık bilmeceleri dahil edilebilir. Kolakoski dizisi de aslında bunlardan birisidir.

Kendisi bu diziyi Carnegie Institute of Technology’de öğrenci olan arkadaşlarına göstermişti. Ayrıca diziyi American Mathematical Monthly’ye (AMM) gönderdi. Kolakoski dizisi Advanced Problem 5304 başlığı altında yayınladı.

Bu arada Kolakoski bir şizofrendi ve tüm hayatı boyunca özgür irade ve determinizmle meşgul oldu. Yüksek zekasına ve çok az çabayla birçok farklı beceride ustalaşma yeteneğine rağmen hastalığı hayatının kontrolünü sıklıkla kaybetmesine neden oluyordu. Sonucunda Kolakoski, ilaç yardımı olmadan kendi beynini kontrol edemez hale gelecekti.

1965 yılında William Kolakoski dizinin ilk 41 terimini ortaya koydu. Kolakoski, dizi üzerine yıllarca çalışmaya devam etti ve bu konuda bir külliyat oluşturdu. Bu çalışmaları, günümüzde Carnegie Mellon Üniversitesi Kütüphanesinde William Kolakoski Koleksiyonu olarak tutulmaktadır.

Peki bu diziyi oluşturmak için bir kural var mıydı? Herhangi bir terim bulmak için bir formül bulmak mümkün müydü? Dizi periyodik miydi? Aslında bu soruların cevaplarını kendisi de bilmiyordu. Bu nedenle bu cevaplar ile uğraşma işini de asıl matematikçilere bıraktı.

Kolakoski Dizisi İle İlgili Günümüzde Pek Çok Cevaplanmamış Soru Vardır

1966 yılında Necdet Uçoluk, Kolokoski’nin 1. ve 3. sorularını yanıtladı. (Dizi periyodik değildir). Kolakoski ve Uçoluk görünüşe göre Oldenburger’in makalesinden habersizdiler.

Dizinin tanımlanıp oluşturulabilmesi gördüğünüz gibi son derece kolaydır. Ancak bu dizi basitliğe rağmen, bazıları elli yıldan fazla zamandır matematikçileri meşgul eden ilginç ve karmaşık matematiksel problemler de içermektedir. Yazımızın sonunda bir başka ilginç diziye daha göz atmak isterseniz: Fibonacci Dizisinden Sıkıldıysanız N-bonacci Dizisi İle Tanışın!

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• The Kolakoski Sequence – Numberphile; yayınlanma tarihi: 24 Temmuz 2017; Bağlantı: https://www.youtube.com/
• Neil Sloane: the man who loved only integer sequences; Yayınlanma tarihi: 7 Ekim 2014; Bağlantı: https://www.theguardian.com/
• The Secret of This Number Sequence Is Hidden in Plain Sight; yayınlanma tarihi: 24 Temmuz 2017; Bağlantı: https://www.popularmechanics.com/
• William Kolakoski; Bağlantı: https://en.wikipedia.org
• Richard P. Brent; A fast algorithm for the Kolakoski sequence; yayınlanma tarihi: 13 December 2016; Bağlantı: https://maths-people.anu.edu.au/

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel