7, 13 ve 17 Sayıları İçin Bölünebilme Kuralları Aslında Son Derece Kolaydır

Matematikte bölünebilme kuralı veya bölünebilme testi, verilen sayının sabit bir bölenle tam bölünüp bölünemeyeceğini, bölme işlemini gerçekleştirmeden belirlemeye yarayan bir yöntemdir. Bu yöntem genellikle ilköğretimin ilk yıllarından itibaren öğretilir ve aslında üzerine fazla bir ekleme yapılmadan yıllar içinde aynı biçimde devam eder.

Okullarda öğretilen bölünebilme kuralları genellikle 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 ve bu sayıların birleşimi ile oluşturulan sayılar ile alakalıdır. Yani 36 sayısının bölünebilme kuralı hem 4 hem de 9 sayısı kontrol edilerek bulunur. Yukarıda listelediğimiz sayılar arasında fark ettiğiniz gibi 7, 13 gibi asal sayılar yoktur. Bu sayıların bölünebilme kuralları zor oldukları söylemi ile genellikle atlanır.

Hesap makinesi sayesinde belirli bir sayının hangi sayılarla bölünebileceğini tespit etmek için artık kurallar ezberlemenize gerek kalmamış olabilir. Ancak bölünebilme kurallarının öğretilmesinin tek nedeni sayıların bölünüp bölünemediğini anlamamız değildir. Bu kurallar matematiğin ilginç özellikleri ile ilgili bazı ipuçları barındırır.

Aslında en kafa karıştırıcı olan bölünebilme kuralları ise asal sayılar ile ilgili olanlar yani atladığımız kurallardır. Şimdi öncelikle ile 7 bölünebilme kuralını alternatif ele alalım. Sonrasında da elde ettiğimiz bir kuralı diğer asal sayılar için nasıl genelleştirilebileceğimizi görelim.

Gördüğünüz gibi 7 ile bölünebilme kuralı genel anlamda haksız yere zor olarak kabul edilmektedir.

7 İle Bölünebilme Kuralı

Kural aslında basittir. Verilen sayıdaki son basamağı silin ve sonra bu silinen basamağın iki katını alın ve kalan sayıdan çıkarın. Sonuç 7’ye bölünebiliyorsa, orijinal sayı da 7’ye tam bölünür anlamına gelecektir. Ancak sonuç çok büyükse bu işlem tekrarlanmalıdır.

Bu kuralın nasıl çalıştığını görmek için bir örnek deneyelim. 876 547 sayısını 7’ye bölünebilirlik için test etmek istediğimizi varsayalım. Önce birler basamağı olan 7’yi silin ve kalan sayıdan 7’nin iki katını yani 14’ü çıkarın. Bu durumda 87654 – 14 = 87 640 elde ettiniz.

Bu sayı hala çok büyük. Bu durumda işleme aynı biçimde devam ediyoruz. Şimdi son sayı olan 0’ı silip iki katını sayıdan çıkarınca elimizde 8764 kaldı. Büyük derseniz bir kere daha yapalım. Son basamaktaki 4’ü silin, 4’ün iki katı olan 8 sayısını bu sayıdan çıkartın. Yani 876 -8=868. Örnek olması için son bir defa daha yapalım. 8 sayısını sildik. Ardından iki katını 86’dan çıkarttık. Şimdi elimizde 70 sayısı var. Sonuçta bu sayının 7 ile bölünebildiğini biliyoruz. Bu durumda başlangıçtaki sayımız da 7 ile bölünebilmektedir.

Kural Neden İşe Yarıyor?

Yapacağınız alıştırmalar ile bu yöntemi hızlıca uygulayabilir hale gelmeniz mümkün olacaktır. Ancak bu yöntemin neden işe yaradığını merak ediyor olmanız da olasıdır. Bunu anlayabilmek için şimdi aşağıdaki tabloya göz atalım. Tablo son basamağın 1’den 9’a kadar olması durumunda aslında hangi çıkarma işlemini yaptığınızı göstermektedir.

Sayının Son Basamağı Çıkartılan Sayı
1 20 + 1= 21= 3.7
2 40 + 2= 42= 6.7
3 60 + 3= 63= 9.7
4 80 + 4= 84= 12.7
5 100 + 5= 105= 15.7
6 120 + 6= 126= 18.7
7 140 + 7= 147= 21.7
8 160 + 8= 168= 24.7
9 180 + 9= 189= 27.7

Gördüğünüz gibi kuralda aslında yaptığımız ilk sayının içinden mevcut 7’nin katlarını ayıklamak oldu. Sonrasında da geriye kalan sayının 7’nin bir katı olup olmadığına baktık. Mantığını eğer anladınızsa şimdi bu kuralı gelin başka bir asal sayı olan 13 ile bölünebilme kuralı için deneyelim. Ancak 13 ile bölünebilme kuralında ise son basamağın iki katını çıkarmak yerine, her seferinde silinen basamağın dokuz katını çıkartacağız. Devamı tamamen aynı biçimde gerçekleşecek.

13 İle Bölünebilme Kuralı

5616 sayısının için 13 ile bölünüp bölünemediğini kontrol edelim. Her zamanki gibi birler basamağındaki 6’yı silin. Ardından bunu 9 ile çarpıp bulduğunuz 54 sayısını 561’den çıkartın. 561 – 54 = 507. Şimdi bir kere daha yapalım. Son basamaktaki 7’yi silin. Ardından 9 katı olan 63 sayısını 50’den çıkartın. 50 – 63 = –13. -13’ün 13’e bölünebileceğini ve bu nedenle orijinal sayının 13’e bölünebileceğini görüyoruz. ( Bu arada hatırlatalım. 13 ile bölmede başka kurallar da mevcuttur. Ancak bu aktardığımız yöntem genellemeye daha uygundur.)

Sayının Son Basamağı Çıkartılan Sayı
1 90 + 1= 91= 7.13
2 180 + 2= 182= 14.13
3 270 + 3= 273= 21.13
4 360 + 4= 364= 28.13
5 450 + 5= 455= 35.13
6 540 + 6= 546= 42.13
7 630 + 7= 637= 49.13
8 720+8=728=56.13
9 810+9=819=63.13

17 İle Bölünebilme Kuralı

Mantığı anladığınızı kabul ederek bu kuralı fazla uzatmayacağız. Ancak bu kuralda da yine ufak bir fark var. Birler basamağını sildikten sonra, sildiğiniz sayının bu sefer 5 katını almanız ve kalan sayıdan çıkarmanız gerekiyor. Süreç yukarıda açıkladığımızın aynı biçiminde gerçekleşecektir.

Aslında bu üç bölünebilme kuralı daha büyük asal sayılarında bölünebilirlik kurallarını keşfetmenize olanak sağlayabilir. Aşağıdaki grafik, çeşitli asal sayılar için silinen basamakları kaç ile çarpmanız gerektiğini size göstermektedir.

Asal Sayılar İçin Bölünebilme Kurallarının Genellemesi

7 İle Bölünebilme 2 ile çarpılmalı
11 İle Bölünebilme 1 ile çarpılmalı
13 İle Bölünebilme 9 ile çarpılmalı
17 İle Bölünebilme 5 ile çarpılmalı
19 İle Bölünebilme 17 ile çarpılmalı
23 İle Bölünebilme 16 ile çarpılmalı
29 İle Bölünebilme 26 ile çarpılmalı
31 İle Bölünebilme 3 ile çarpılmalı
37 İle Bölünebilme 11 ile çarpılmalı
41 İle Bölünebilme 4 ile çarpılmalı

Son olarak bu çarpacağımız sayıların neye göre belirlendiğini de merak ediyor olabilirsiniz. Örnek üzerinden açıklayalım. 13 ile bölünebilme kuralında çarpanımız 9 idi. Bunun nedeni 13’ün katları arasında sonu 1 ile biten ilk sayının 91 olmasıydı. Sonucunda bu sayının onlar basamağı da 9’du. 17 ile bölünebilme kuralında da çarpanımız 5 oldu. Çünkü 17’nin katları arasında sonu 1 ile biten ilk sayı 51 ve bu sayının da onlar basamağı 5’tir.

Mantığı anladığınızı düşünüyoruz. Arzu ederseniz diğer sayıları da siz kontrol edebilirsiniz. Unutmayın bu kurallar sadece genel sınavlarda soru çıktığı için değil, öğrencilerin sayıları dünyasını keşfetmeye adım atmasını sağlamak için öğretilmelidir. Sonuçta mantığını anlayınca her şey daha kolay. Kim demiş bölünebilme kuralları zor diye :)



Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir Yorum

Başa dön tuşu