Aritmetik

7 ve 13 Sayıları İçin Kolaylaştırılmış Bölünebilme Kuralları

Hesap makinesi sayesinde belirli bir sayının hangi sayılarla bölünebileceğini tespit etmek için artık kurallar ezberlemenize gerek kalmamış olabilir. Ancak bölünebilme kurallarının öğretilmesinin tek nedeni sayıların bölünüp bölünemediğini anlamamız değildir. Bu kurallar matematiğin ilginç özellikleri ile ilgili bazı ipuçları barındırır. En kafa karıştırıcı olan bölünebilme kuralları ise asal sayılar ile ilgili olanlardır. Özellikle ilk 10 sayı arasında 7 ile bölünebilme kuralı ise her zaman kafa karıştırmıştır. Şimdi 7 ile bölünebilme kuralını alternatif bir biçimde ele alalım ve sonra bu kuralı diğer asal sayılar için nasıl genelleştirilebileceğimizi görelim.

7 İle Bölünebilme Kuralı

Verilen sayıdaki son basamağı silin ve sonra bu silinen basamağın iki katını alın ve kalan sayıdan çıkarın. Sonuç 7’ye bölünebiliyorsa, orijinal sayı 7’ye bölünebilir. Sonuç 7’nin bölünebilirliğinin anlamak için çok büyükse bu işlem tekrarlanmalıdır.

Bu kuralın nasıl çalıştığını görmek için bir örnek deneyelim. 876 547 sayısını 7’ye bölünebilirlik için test etmek istediğimizi varsayalım. Önce birler basamağı olan 7’yi silin ve kalan sayıdan 7’nin iki katını yani 14’ü çıkarın: 87654 – 14 = 87 640. Bu sayı hala 7 lie bölünebilmeyi kontrol etmek için çok büyük. O zaman işleme devam ediyoruz. Son sayı olan 0’ı silip iki katını sayıdan çıkarınca elimizde 8764 kaldı. Bir kere daha yapalım. Son basamaktaki 4’ü sil, 4’ün iki katı olan 8 sayısını bu sayıdan çıkart. Yani 876 -8=868. Son bir defa daha yapalım. 8 sayısını sildik ve iki katını 86’dan çıkarttık. Artık elimizde 70 sayısı var. Ve bu sayının 7 ile bölünebildiğini biliyoruz. Bu durumda başlangıçtaki sayımız da 7 ile bölünebilmektedir.

Yapacağınız alıştırmalar ile bu yöntemi hızlıca uygulayabilir hale gelmeniz mümkün olacaktır. Ancak bu yöntemin neden işe yaradığını merak ediyor olmanız da olasıdır. Bunu anlayabilmek için şimdi aşağıdaki tabloya göz atalım. Tablo son basamağın 1’den 9’a kadar olması durumunda aslında hangi çıkarma işlemini yaptığınızı göstermektedir.

Sayının Son BasamağıÇıkartılan Sayı
120+1=21=3.7
240+2=42=6.7
360+3=63=9.7
480+4=84=12.7
5100+5=105=15.7
6120+6=126=18.7
7140+7=147=21.7
8160+8=168=24.7
9180+9=189=27.7

Gördüğünüz gibi kuralda aslında yaptığımız ilk sayının içinden mevcut 7’nin katlarını ayıklamak ve geriye kalan sayının 7’nin bir katı olup olmadığına bakmaktı. Şimdi bu kuralı gelin başka bir asal sayı olan 13 ile bölünebilme kuralı için deneyelim. 13 ile bölünebilme kuralında ise son basamağın iki katını çıkarmak yerine, her seferinde silinen basamağın dokuz katını çıkartacağız. Devamı tamamen aynı biçimde yapılacak.

13 İle Bölünebilme Kuralı

5616 sayısının için 13 ile bölünüp bölünemediğini kontrol edelim. Her zamanki gibi birler basamağındaki 6’yı silin, ardından bunu 9 ile çarpıp bulduğunuz 54 sayısını 561’den çıkartın. 561 – 54 = 507. Bir kere daha yapalım. Son basamaktaki 7’yi silin ve 9 katı olan 63 sayısını 50’den çıkartın. 50 – 63 = –13. -13’ün 13’e bölünebileceğini ve bu nedenle orijinal sayının 13’e bölünebileceğini görüyoruz.

Sayının Son BasamağıÇıkartılan Sayı
190+1=91=7.13
2180+2=182=14.13
3270+3=273=21.13
4360+4=364=28.13
5450+5=455=35.13
6540+6=546=42.13
7630+7=637=49.13
8720+8=728=56.13
9810+9=819=63.13

17 İle Bölünebilme Kuralı: Birler basamağını silin, sildiğiniz sayının bu sefer 5 katını kalan sayıdan çıkartın. Süreç yukarıda açıkladığımızın aynı biçiminde gerçekleşecektir. Bu üç bölünebirlik kuralı daha büyük asal sayılarında bölünebilirlik kurallarını keşfetmenize olanak sağlayabilir. Aşağıdaki grafik, çeşitli asal sayılar için silinen basamakları kaç ile çarpmanız gerektiğini göstermektedir.

Asal Sayılar İçin Bölünebilme Kurallarının Genellemesi

7 İle Bölünebilme2 ile çarpılmalı
11 İle Bölünebilme1 ile çarpılmalı
13 İle Bölünebilme9 ile çarpılmalı
17 İle Bölünebilme5 ile çarpılmalı
19 İle Bölünebilme17 ile çarpılmalı
23 İle Bölünebilme16 ile çarpılmalı
29 İle Bölünebilme26 ile çarpılmalı
31 İle Bölünebilme3 ile çarpılmalı
37 İle Bölünebilme11 ile çarpılmalı
41 İle Bölünebilme4 ile çarpılmalı

Son olarak bu çarpacağımız sayıların neye göre belirlendiğini de merak ediyor olabilirsiniz. Örnek üzerinden açıklayalım. 13 ile bölünebilme kuralında çarpanımız 9 idi çünkü 13’ün katları arasında sonu 1 ile biten ilk sayı 91’dir. Ve onlar basamağı 9’dur. 17 ile bölünebilme kuralında çarpanımız 5 çünkü 17’nin katları arasında sonu 1 ile biten ilk sayı 51 ve bu sayının da onlar basamağı 5’tir. Arzu ederseniz diğer sayıları da siz kontrol edebilirsiniz. Kim demiş bölünebilme kuralları zor diye 🙂

Kaynak: Alfred S. Posamentier; The Mathematics of Everyday Life; Prometheus – 2018

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir Yorum

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.