MATEMATİK

Sürprizlere Açık Bir Sonsuz Seri: Basel Problemi

Pozitif tam sayıların karelerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı kaçtır? Yani 1+1/4+1/9+1/16… şeklinde sonsuza dek devam eden bir toplamının sonucu kaça eşittir? Sonsuz toplamı olan bir şeyin sonucunu sormak ilk başta size anlamsız gelecektir. Ancak bunun belirli bir değere yakınsaması yani terim ekledikçe, sonucun belli bir sınıra giderek yaklaşması mümkündür. Basel problemi olarak bilinen bu soru 1644 yılında Pietro Mengoli tarafından ortaya atılmıştır. Sonucun yaklaşık olarak 1.644934’e eşit olduğu 1741 yılında Euler tarafından kanıtlanmıştır. Şimdi detaylara geçelim.

Basel problemi ve Euler’in bulduğu cevap

Öncelikle neden Basel dendiği ile başlayalım. Problem ortaya atıldıktan sonra bir çok matematikçinin ilgisini çekmişti. Problem ile en çok uğraşanlar arasında en az sekiz büyük matematikçi yetiştiren Bernoulli ailesinin üç üyesi de vardı. Kısa zamanda kötü bir üne kavuşan problem adını Euler’in ve Bernoulli ailesinin yaşadığı kent olan Basel’den almıştır.

Basel Problemi

Bu tarz bir problemin çözümü için akla gelen ilk yol elbette daha fazla terim ekleyip sonucu hesaplamaktır. Ancak bu problem ile ilgili en büyük sorun belli bir sayıya çok yavaş yakınsamasıdır. İlk 1000 terimi toplamaya kalkarsanız bulduğunuz sonucun yalnızca ilk iki ondalık basamağı doğru olacaktır. ( Dönemin matematikçilerin bunu el ile yaptığını düşünmek gerçekten takdire şayan). Bu nedenle doğru bir cevap bulmak için işin içine bazı matematiksel hileler karıştırmak lazım. “O kadar çok çalışma yapıldı ki, yeni bir şeyin ortaya çıkması pek olası görünmüyor.” diyen Euler de bu matematiksel hileleri keşfetmeden önce oldukça sıkılmış olmalı.

Basel Probleminin ilk 10 kısmi toplamı.

Basel Problemi Çözümü

Neyse ki Euler vazgeçmemiş ve 1735’te belli bir sonuca ulaşmıştır. Euler bu başarıyı elde ettiğinde 28 yaşındadır. Bu şaşırtıcı başarısı, sonucu kimsenin oralarda bir yerde olmasını beklemediği bir sayıyla ilişkilendirmesi sayesinde olmuştur. Bu sayıda kendisini çember ile ilgili sorulardan tanıdığımız pi sayısıdır. Euler elbette zamanında nispeten yeni olan bir teknik ile polinom olmayan bir fonksiyonu sonsuz bir seriye dönüştürmeyi biliyordu. Bu sayede de Euler sinüs fonksiyonunu aşağıdaki gibi gösterdi. Bu açılım biçimi sin x’in MacLaurin Genişlemesi olarak bilinir.

Bu ifadenin anlamlı bir sonucu olması için katsayıları bulmamız lazım. Öncelikle x=0 için ilk terimi bulmak kolaydır. İlk terim sıfırdır. Ancak ikinci katsayıyı bulmak için önce x’e göre türev almalıyız. Ardından tekrardan x=0 yazıp sonucuna bakmalıyız. Aşağıda bunun nasıl yapıldığını görebilirsiniz.

Bir sonraki katsayıyı bulmak için de aynı işlemi tekrarlayacağız. Bir kaç katsayı bulduktan sonra da ortaya çıkan desene dikkat edip bir genelleme yapacağız.

Satırlar türevlere göre numaralandırılmıştır. 0. satır türev alınmamış polinomdur.

Dikkat ettiyseniz, çift sayılı katsayıların tümü 0’dır. Tek sayılı katsayılar ise sıra numarasının faktöriyeline eşittir. İşaretleri ise bir artı bir eksi biçiminde devam etmektedir. Bu da bizi aşağıdaki sonuca götürecektir. Basel probleminin çözümü için sadece x³’ün katsayısına ihtiyacımız vardır. Bu ise -1/6’dır. ( Bunu aklınızda tutun birazdan kullanacağız.)

Ancak daha işimiz bitmedi. Basel problemi çözümü içindeki pi sayısının nereden geldiğini henüz anlamadık.

Weierstrass çarpanlara ayırma teoremi

Euler’in elindeki bir sonraki araç Weirstrass çarpanlarına ayırma idi. Bu teknik henüz kesin olarak kanıtlanmamıştı. Ancak Euler bunu Basel Problemine uyguladığında heyecan verici sonuçlar elde etti. Bildiğiniz gibi herhangi bir ikinci dereceden polinom aşağıdaki biçimde yazılabilir. Aşağıdaki formülde gördüğünüz R₁ ve R₂ köklerimizdir. Yani fonksiyonu sıfır yapan değerlerdir.

Aynı işlemi sin x fonksiyonu için de yapacağız. Eliminizde 180 derecenin yani 1π, 2π, 3π biçiminde köklerimiz vardır. Bunları yukarıdaki örnekte olduğu gibi yerleştirirsek aşağıdaki ilginç sonucu elde ederiz.

Ama şimdide a sabitini bulmamız gerekiyor. Bu sefer de yardımımıza limit yetişecektir Öncelikle bir üstte bulduğumuz denklemi biraz düzenleyelim. Sonra da limitine bakalım.

Şimdi de ifadenin geri kalanını x=0’da değerlendirelim.

Sonunda a’nı değerini bulduk hemen bunu yerin yazalım. Ve sonucu biraz daha anlamlı bir görünüme getirelim.

Giderek sona yaklaşıyoruz. Şimdi bu ifadeyi adım adım çarparak genişletelim. Farkındaysanız bu çarpma sonucunda tek dereceli polinomlar ortaya çıkacak. Ve biz de x³ teriminin katsayısını bulmaya çalışıyoruz.

4. çarpımdan sonra aşağıdaki sonucu elde ederiz.

Son olarak bunu da bir sonraki terim ile çarpınca görünüm şu biçimde olur.

Terimlere boğulduk ancak korkmayın. Sonuçta sadece x³ katsayısını arıyoruz. Her çarpma işleminde bir terim ekliyoruz. Bu katsayı aşağıdaki gibi gözüküyor.

Yukarıda, MacLaurin açılımında x³ ‘ün katsayısını -1/6 bulmuştuk. Sonuçta ikisi de aynı şey olduğuna göre son bulduğumuz sonuç ile bunu eşitleyelim ve biraz düzenleyelim.

Bu bulduğumuz Basel probleminin cevabıdır. Bu da yaklaşık olarak 1.644934’e eşit olur. Ancak Euler burada da durmadı. Çarpımı daha da genişletti ve yukarıda aktardığımıza benzer bir süreçle başka hesaplamalar yaptı. Sonunda tüm çift dereceli kuvvetler için genel bir formül elde etti. Ancak tek dereceli kuvvetler için aynı başarıyı elde edemedi. Günümüzde gizem hala devam ediyor. Yani 1+1/ 8+1/27+ 1/64+1/125+1/256… bir sonuca yakınsıyor mu? Bilmiyoruz. Ancak bu kadarı bile Euler’in dehasına hayran olmamız için yeterli.

Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

İlgili Makaleler

Başa dön tuşu