Basel Problemi Matematik Tarihini Nasıl Değiştirdi?

Basel Problemi, ilk bakışta yalnızca sonsuz bir toplamın değerini bulma sorusu gibi görünür. Ancak Euler’in çözümü, sayı teorisi ile analiz arasında beklenmedik ve derin bir köprü kurdu.

1644 yılında Bologna’dan din adamı ve matematikçi Pietro Mengoli, paydaları tam kareler olan sonsuz bir serinin toplamını sordu. Bu seri, 1, 4, 9, … gibi tam kare sayıları paydalara sahip kesirlerden oluşur. Sembolik olarak Mengoli aşağıda gördüğünüz serinin toplamını merak ediyordu.

Bu problem neredeyse bir yüzyıl boyunca çözülemedi. Aslında, şekilden görebileceğimiz üzere, toplam değerin 2’den küçük olduğunu anlayabiliriz çünkü her karenin alanı serinin terimlerinden biridir ve bu yüzden serinin toplamı, etrafındaki dikdörtgenin alanından küçüktür.

Başlangıçta kimse bu soruya yanıt veremedi. İsviçre’nin Basel kentinden Jakob Bernoulli bile bu toplamı bulamadı. Oysa Bernoulli, döneminin en büyük matematikçilerinden biriydi. 1689’da bu problemi matematik dünyasına bir meydan okuma olarak sundu. Problem kısa sürede Basel problemi adıyla tanındı.

Bu meydan okumaya yanıtı sonunda 1734’te Leonhard Euler verdi. Euler, serinin toplamının yaklaşık olarak 1,645 olduğunu hesapladı ve bu sayının $\pi^2/6$ değerine çok yakın olduğunu fark etti. Ardından da ispatını yaptı.

Bu oldukça şaşırtıcı bir sonuçtu. Çünkü toplam, ilk bakışta çemberlerle hiçbir ilgisi yokmuş gibi görünen bir sayı dizisinden çıkıyor, ama içinde π sayısı yer alıyordu. Bunun nedenini anlamak için sonsuz serilere daha yakından bakmamız gerekir.

Sonsuz Seriler Nedir?

18. ve 19. yüzyıllarda $\pi$π sayısını yaklaşık olarak hesaplamak için yeni ve oldukça etkili bir yöntem yaygın biçimde kullanılmaya başlandı. Bu yöntem sonsuz serilere dayanıyordu. Sonsuz seriler, küçük kesirleri art arda toplayarak istenen sayıya giderek yaklaşmamızı sağlar.

Örneğin $1, \frac12, \frac14, \frac18, \frac1{16}, \ldots$​, kesirlerini düşünelim. Bu kesirlerin paydaları 2’nin kuvvetleridir. Terimleri sırayla topladığımızda aşağıdaki sonuçlarını elde ederiz.

Bu toplamlar giderek 2’ye yaklaşır. Ancak sonlu sayıda terim toplayarak 2’ye tam olarak ulaşamayız. Buna rağmen yeterince çok terim alırsak 2’ye istediğimiz kadar yaklaşabiliriz. Örneğin ilk on iki terimi topladığımızda 2’ye 0,001’den daha az bir farkla yaklaşırız. Bu yüzden bu sonsuz serinin 2’ye yakınsadığını ya da toplamının 2 olduğunu söyleriz.

Sonsuz seriler yalnızca sayılara yaklaşık değer bulmak için kullanılmaz. Birçok trigonometrik fonksiyon, bir değişkenin kuvvetlerini toplayıp çıkararak elde edilen sonsuz seriler, yani kuvvet serileri biçiminde yazılabilir. Aşağıda bunun iki örneğini görebilirsiniz.

Bu hikâyede bizi asıl ilgilendiren seri ters tanjant fonksiyonuna aittir. Eğer $y=\tan x$ ise, $x=\arctan y$ olur. Örneğin $\tan(\pi/4)=1$ olduğundan $\arctan 1=\pi/4$ olacaktır. Ters tanjant fonksiyonu ise şu kuvvet serisiyle yazılabilir:

Bu seride $x=1$ yazarsak $\arctan 1=\pi/4$ olduğundan aşağıdaki sonuca ulaşırız. Yani yalnızca tek sayıların terslerini sırayla toplayıp çıkararak $\pi$ sayısıyla bağlantılı bir değer elde ederiz. Bu sonuç oldukça şaşırtıcıdır. Çünkü serinin terimleri basit kesirlerden oluşur, ama toplamın içinde çemberlerle ilişkilendirdiğimiz $\pi$ sayısı belirir. İşte Basel probleminin çözümü de bu noktada karşımıza çıkar.

Basel Problemi Çözümü Nedir?

Euler’in gösterimi, $\sin x$ için verilen sonsuz seri açılımına dayanır: $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$. Başka bir deyişle $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+\cdots$

Şimdi basit bir çarpanlara ayırma fikrinden başlayalım. $1-\frac14x^2=0$ denkleminin çözümleri $x=2$ ve $x=-2$’dir. Bu yüzden bu ifade $1-\frac14x^2=(1-\frac12x)(1+\frac12x)$ biçiminde yazılabilir. Euler benzer bir fikri $\sin x$ için kullandı.

Sonucunda $\sin x=0$ eşitliği $x=0,\pi,-\pi,2\pi,-2\pi,3\pi,-3\pi,\ldots$değerlerinde sağlanır. Bu nedenle sinx’in, köklerine karşılık gelen çarpanlarla yazılabileceğini düşündü ve bunu aşağıdaki gibi ifade etti.

Şimdi bu çarpımda $x^3$’ün katsayısına bakalım. Dışarıdaki x, parantezlerden birindeki $x^2$’li terimle çarpılır ise $x^3$’ün katsayısı $-\frac1{\pi^2}-\frac1{4\pi^2}-\frac1{9\pi^2}-\frac1{16\pi^2}-\cdots$ olur.

Öte yandan $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots$açılımında $x^3$’ün katsayısı $-\frac16$​’dır. İki ifade de aynı fonksiyonu verdiğine göre bu katsayılar eşit olmalıdır. Bu durumda aşağıdaki sonuç elde edilir ki bu zaten Basel probleminin cevabı olur.

Sonuç olarak

Euler’in gösteriminde yaptığı gibi $\sin x$‘i bu biçimde çarpanlara ayırmak o dönemde oldukça tartışmalı bir işlemdi. Yöntem doğru sonucu veriyordu, ancak matematiksel açıdan henüz tam olarak güvence altına alınmış değildi. Buna rağmen Euler’in kullandığı yöntemler, yıllar sonra Alman matematikçi Karl Weierstrass ve başka matematikçiler tarafından sağlam temellere oturtuldu.

Euler’in Basel problemiyle yaptığı şey, yalnızca tek bir sonsuz toplamı hesaplamak değildi. Bu çözüm, daha sonra zeta fonksiyonu adıyla anılacak çok daha geniş bir dünyanın kapısını araladı.

Yıllar sonra Bernhard Riemann aynı fonksiyonu asal sayıların dağılımını anlamak için kullandı. Böylece kare sayıların terslerinin toplamını bulma sorusu, beklenmedik biçimde matematiğin en büyük açık problemlerinden biri olan Riemann hipotezine uzanan bir yolun başlangıç noktalarından biri hâline geldi.

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• An infinite series of surprises; Yayınlanma tarihi: 1 Kasım 2001. Kaynak site: Plus Math. Bağlantı: An infinite series of surprises/
• Pąk, Karol & Kornilowicz, Artur. (2017). Basel Problem. Formalized Mathematics. 25. 10.1515/forma-2017-0014.

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel