Sorular ve Bulmacalar

Anlaması Kolay Çözmesi Zor: Mutlu Son Problemi

Mutlu son problemi, açıklaması oldukça kolay ancak tüm cevaplama girişimlerine meydan okuyan matematiksel sorulardan biridir. Konu oldukça basittir çünkü temelinde bir kağıda çizilen noktalar ve bunları birbirine bağlayarak oluşturabileceğiniz şekillerle ilgilidir. Ancak basit görüntüsü aldatıcıdır. Dünyanın en iyi matematikçilerinden bazıları konu üzerinde uzun zaman boyunca çalışmalarına rağmen sonuca ulaşamamışlardır.

Bir kağıda çizilmiş, hepsi bir çizgi üzerinde yer almayan yani doğrusal olmayan üç noktanız olsun. Bu üç noktayı köşeler olarak kabul ederseniz bir üçgen çizebilirsiniz. Elinizde dört nokta olduğunda da (üç tanesi aynı çizgide olmayan) bunları birleştirerek dört kenarlı bir şekil çizebilirsiniz. Ancak noktaların nasıl dağıldığına bağlı olarak, bazı dörtgenler biraz tuhaf görünecektir. Aşağıdaki görselde ortada yer alan çokgen içbükey ve yanlardakiler ise dışbükeydir. Aslında sizin de fark etmiş olacağınız gibi dört nokta verildiğinde, bunları bir dışbükey dörtgen oluşturacak şekilde birleştirmek her zaman mümkün değildir.

Bazı dörtgenler

Elimizde Daha Fazla Nokta Olduğunda Durum Ne Olacak?

Farz edelim ki elinizde 5 tane nokta var ve bu noktaları bir kağıdın üzerine rastgele (herhangi üçü aynı çizgide olmamak kaydıyla) yerleştirdiniz. Şimdi bu noktaların dördünü kullanarak dışbükey dörtgen çizmeye çalışın. Aslında bu fazladan bir nokta size bunu yapmak için esneklik sağlayacaktır. 5 nokta ile her zaman bir dışbükey dörtgen çizebilirsiniz. Aşağıda bazı örnekler görebilirsiniz.

Herhangi üçü doğrusal olmayan dokuz nokta yardımıyla bir beşgen elde etmeniz de garantidir. Aynı mantıkla 17 nokta kullanarak noktaları nasıl yerleştirirseniz yerleştirin kesin bir dışbükey altıgen yaratabilirsiniz. Peki bir dışbükey yedigen (yanlar) çizebildiğinizden emin olmak için kaç noktaya ihtiyacınız var? Bunu kimse bilmiyor. Aynı şekilde 8,9,10 için de bilmiyoruz.

17 nokta verildiğinde (üçü doğrusal olmayan), her zaman köşeleri bu noktaları içeren bir dışbükey altıgen çizebilirsiniz.

Neden Adı Mutlu Son Problemi?

Mutlu son problemi ile uğraşan üç isim: Soldan sağa 1927’de Esther Klein, 1928’de George Szekeres ve Paul Erdős. Kaynak: https://www.quantamagazine.org/

Bu sonuç, matematikçi Paul Erdős tarafından mutlu son problemi olarak adlandırıldı. Bunun nedeni de üzerinde çalışan iki arkadaşı George Szekeres ve Esther Klein sonunda birbirleri ile evlenmesiydi. Sonunda matematikçiler konuyu bir temel oturtmuş ve bir dışbükey n-gen çizmek için kaç en az kaç noktaya ihtiyacımız var? sorusunun cevabının 1+2n-2 olduğuna karar vermişti. Şu ana kadar elde ettiğimiz sonuçların bu denklemde denemesi aşağıdadır.

  • n=3 için 1+2n-2=1+23-2= 3
  • n=4 için 1+2n-2=1+24-2= 5
  • n=5 için  1+2n-2=1+25-2= 9
  • n=6 için  1+2n-2=1+26-2= 17 şeklinde olacaktır.

Ancak bunun doğru olup olmadığını 6’dan büyük sayılar için bilemiyoruz. Yeterince nokta çizerseniz bu noktaların bazılarını köşe olarak kabul eden n kenarlı bir dışbükey çokgen olacağından emin olabilirsiniz. Burada kanıtlanamayan şey yeterince dediğimiz nokta sayısıdır. Bu sorunun cevabını olumsuz ya da olumlu olarak verebilmek için matematikçiler çalışmaya devam ediyorlar.

Mutlu son problemi ilginç bir fenomeni ortaya çıkarır. Eğer bir sistem yeterince büyükse (örneğin yeterince çok nokta), o zaman sistem bir bütün olarak düzensiz olsa bile, içinde bir miktar düzen (örneğin dışbükey şekiller) bulmayı umabilirsiniz. Bu durum da Ramsey teorisi adı verilen bir matematik alanı tarafından incelenir.



Kaynaklar ve İleri Okumalar:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu