Bazı matematik problemleri, çözümünden çok açtıkları yeni yollarla önem kazanır. Esther Klein’ın 1931 yılında arkadaşlarına sorduğu basit bir geometri sorusu da bunlardan biriydi. Birkaç noktanın kâğıt üzerindeki konumuyla başlayan problem, zamanla modern kombinatoriğin önemli araştırma konularından birine dönüştü.
Üstelik hikâyenin matematik dışındaki kısmı da adına yakışır biçimde sona erecekti. Problem üzerinde çalışan Esther Klein ile George Szekeres birbirlerine âşık olacak, daha sonra evleneceklerdi. Paul Erdős de yıllar sonra bu nedenle probleme “Happy Ending Problem”, yani Mutlu Son Problemi adını verecekti.
Mutlu Son Problemi Nasıl Ortaya Çıktı?
1930’ların başında Budapeşte’de genç matematikçiler düzenli olarak bir araya geliyor ve problemler üzerinde tartışıyordu. Bu grubun üyeleri arasında Paul Erdős, George Szekeres ve Esther Klein da vardı. Klein bir gün arkadaşlarına son derece basit görünen bir soru sordu.
Bir düzleme, herhangi üçü aynı doğru üzerinde olmayacak biçimde beş nokta yerleştirdiğimizi düşünelim. Bu beş noktadan dördü mutlaka bir dışbükey dörtgenin köşelerini oluşturur mu?
Bir dörtgen dışbükeyse köşelerinden hiçbiri diğer üçünün oluşturduğu üçgenin içinde kalmaz. Başka bir ifadeyle şeklin kenarlarında içeri doğru bir girinti yoktur.
Yalnızca dört nokta kullandığımızda dışbükey bir dörtgen elde edeceğimiz garanti değildir. Noktalardan biri diğer üçünün oluşturduğu üçgenin içinde kalabilir. Ancak nokta sayısını beşe çıkardığımızda durum değişir. Esther Klein, hangi düzenlemeyi seçersek seçelim beş noktadan dördünün mutlaka dışbükey bir dörtgen oluşturacağını gösterdi.
Beş noktanın çevresine bir lastik bant gerdiğimizi düşünelim. Bant 5 noktaya değerse noktalar dışbükey bir beşgen oluşturur; 4 noktaya değerse aradığımız dışbükey dörtgen zaten ortaya çıkar. Bant yalnızca 3 noktaya değerse iki nokta üçgenin içinde kalır. Bu durumda da içerideki iki nokta ile üçgenin uygun iki köşesi birlikte bir dışbükey dörtgen oluşturur.
Bu nedenle, herhangi üçü aynı doğru üzerinde olmayan beş noktadan dördü her zaman bir dışbükey dörtgen oluşturur. Klein’ın asıl merakı da burada başladı. Dörtgen için beş nokta yeterliyse, daha büyük dışbükey çokgenler için kaç noktaya ihtiyaç vardı? Örneğin bir dışbükey beşgeni, altıgeni ya da çok daha fazla kenarlı bir çokgeni garanti etmek mümkün müydü?
Erdős ve Szekeres Problemi Genelleştirdi
Bu noktadan sonra mesele yalnızca dörtgen değildi. Paul Erdős ve George Szekeres, Klein’ın gözleminden yola çıkarak problemi genel hâliyle ele aldı ve 1935’te önemli bir sonuç elde etti: Kaç kenarlı bir dışbükey çokgen seçilirse seçilsin, yeterince fazla nokta varsa bu çokgen mutlaka ortaya çıkar.
Böylece problem yeni bir aşamaya geçti. Artık soru, böyle bir çokgenin oluşup oluşmayacağı değil, onu garanti etmek için en az kaç nokta gerektiğiydi.
Dışbükey beşgen için gereken sayı 9 idi. Sekiz nokta, dışbükey bir beşgen oluşmadan yerleştirilebiliyordu; dokuz noktada ise bu mümkün değildi.
Altıgen için cevap çok daha geç geldi. George Szekeres ile Lindsay Peters’in bilgisayar destekli çalışması, 17 noktanın bir dışbükey altıgeni garanti ettiğini, 16 noktanın ise bunu henüz garanti etmediğini gösterdi. Böylece ilk değerler şu şekilde ortaya çıktı:
- Dörtgen: 5
- Beşgen: 9
- Altıgen: 17
Bu sayı dizisi Erdős ile Szekeres’i daha genel bir varsayıma götürdü. Onlara göre n kenarlı bir dışbükey çokgeni garanti etmek için gereken en küçük nokta sayısı 2(n−2) + 1 olmalıydı.
Bu formül bilinen üç durumda doğru sonuç veriyor. Ancak daha büyük n değerleri için her zaman geçerli olup olmadığı bugün hâlâ kanıtlanmış değil. Erdős, bu varsayımı genel durumda çözecek kişiye 500 dolar ödül bıraktı. Problem neredeyse bir asır önce ortaya atılmış olmasına rağmen ödül hâlâ sahibini bekliyor.
2016 yılında Andrew Suk önemli bir ilerleme sağladı. Suk, gereken nokta sayısı için bilinen üst sınırı büyük ölçüde küçülttü ve bu sayının Erdős ile Szekeres’in varsayımına çok daha yakın bir hızda büyüdüğünü gösterdi.
Ancak bu çalışma da Erdős–Szekeres varsayımını kanıtlamadı. Yani bugün hâlâ n kenarlı dışbükey bir çokgeni garanti etmek için gereken en küçük nokta sayısının her zaman 2(n−2) + 1 olup olmadığını bilmiyoruz.
Mutlu Son Problemi Neden Önemlidir?
Mutlu Son Problemi, yalnızca geometriyle ilgili bir soru değildi. Erdős ve Szekeres bu problem üzerinde çalışırken, Frank Ramsey’nin birkaç yıl önce ortaya koyduğu çok daha genel bir fikirle karşılaştı.
Ramsey’nin temel düşüncesi şuydu: Bir yapı yeterince büyüdüğünde, içindeki düzeni tamamen ortadan kaldırmak mümkün değildir.
Bunu bir arkadaş grubuyla düşünebiliriz. Gruptaki bazı insanlar birbirini tanıyor, bazıları ise tanımıyor olsun. İnsan sayısı yeterince arttığında, içlerinden ya herkesin birbirini tanıdığı ya da kimsenin birbirini tanımadığı küçük bir grup mutlaka ortaya çıkar.
Mutlu Son Problemi’nde de benzer bir durum vardır. Noktaları düzleme istediğiniz kadar gelişigüzel yerleştirin. Nokta sayısı yeterince arttığında, bu düzensizliğin içinde mutlaka dışbükey bir çokgen oluşur.
Yani her iki problem de aynı fikre dayanır: Yeterince büyük bir karmaşanın içinde belirli bir düzen kaçınılmazdır.
Bu ortak fikir, daha sonra Ramsey teorisi adı verilen matematik alanının merkezine yerleşti. Mutlu Son Problemi de bu düşüncenin geometrik örneklerinden biri olarak önem kazandı.
Peki Neden “Mutlu Son Problemi”?
Problemin adı matematiksel içeriğinden değil, onun çevresinde gelişen bir aşk hikâyesinden geliyor. Esther Klein bu soruyu arkadaş grubuna sunduğunda George Szekeres de oradaydı. İkili zamanla yakınlaştı ve 1937’de evlendi.
Avrupa’da Yahudilere yönelik baskıların artması üzerine çift kıtadan ayrılmak zorunda kaldı. Savaş yıllarını Şanghay’da geçirdiler, daha sonra da Avustralya’ya yerleştiler.
George Szekeres akademik kariyerini matematikçi olarak sürdürürken Esther Klein da matematik eğitimiyle ilgilenmeye devam etti. Yıllar önce arkadaşlarına yaptığı gibi, öğrencilerin karşısına geometrik problemler çıkarıyor ve onları çözüm aramaya teşvik ediyordu.
Paul Erdős de Klein’ın ortaya attığı problemin sonunda bir evliliğe vesile olmasından esinlenerek ona “Mutlu Son Problemi” adını verdi.
George Szekeres ile Esther Klein 2005 yılında, birbirlerinden yaklaşık bir saat arayla hayatlarını kaybettiler. Böylece birkaç noktayla başlayan küçük bir geometri sorusu, hem matematikte kalıcı bir probleme hem de adına uygun bir hikâyeye dönüştü.
Okuma Önerisi: Tüm Doğal Sayılar Ya Mutludur ya da Mutsuz, Bazıları da Narsisttir
Kaynaklar ve İleri Okumalar:
- Happy Ending Problem – Numberphile; https://www.youtube.com/
- A Puzzle of Clever Connections Nears a Happy End. Yayınlanma tarihi: 30 Mayıs 2017; Bağlantı: https://www.quantamagazine.org/a
Matematiksel
