“Mutlu son” problemini ortaya atan üç genç arkadaş, 20. yüzyılın en etkili matematikçileri arasına girdi. Ancak kendi bulmacalarını çözemediler.
İyi bir matematik problemini değerli kılan şeylerden biri, çözüm ararken beklenmedik keşiflere kapı açmasıdır. Esther Klein 1933’te tam da böyle bir durumla karşılaştı.
O yıllarda 23 yaşındaydı ve Budapest’te yaşıyordu. Bir gün, arkadaşları Paul Erdős ve George Szekeres’e şu problemi yöneltti: Düzlemde, hiçbir üçü aynı doğru üzerinde bulunmayan beş noktadan her zaman bir dışbükey dörtgen elde edilebileceğini gösterin.
Paul Erdős ve George Szekeres, Klein’ın ortaya attığı önermenin doğru olduğunu gösterdi. Bu sonuç onları yeni bir soruya götürdü: Beş nokta her zaman böyle bir dörtgen oluşturmaya yetiyorsa, beşgen, onbirgen ya da daha genel olarak herhangi bir kenar sayısı için kaç nokta gerekir?
Neden Mutlu Son?
1935’e gelindiğinde bu soruyu üç, dört ve beş kenarlı çokgenler için çözmüşlerdi. Üç nokta her zaman bir dışbükey üçgen oluşturur. Beş nokta bir dışbükey dörtgeni, dokuz nokta ise bir dışbükey beşgeni garanti eder.
Aynı çalışmada daha genel bir iddia da ortaya koydular. Herhangi bir kenar sayısına sahip dışbükey çokgeni garanti edecek nokta sayısının 2(n−2) + 1 olduğunu öne sürdüler. Burada n çokgenin kenar sayısını ifade eder.
Ancak bu sonuç bir ispat değil, güçlü bir tahmindi. Paul Erdős de pek çok problemde yaptığı gibi, bu formülü kanıtlayana ödül teklif etti.
Bu problem, matematikle doğrudan ilgisi olmayan bir nedenle “mutlu son problemi” adını aldı. Paul Erdős bu ismi kullanmıştı. Çünkü bu matematiksel tartışmalar sırasında Esther Klein ile George Szekeres birbirine âşık oldu ve 13 Haziran 1937’de evlendi.
Ancak yıllar geçtikçe matematikçiler bu varsayımı kanıtlama konusunda neredeyse hiç ilerleme kaydedemedi. (Bilinen bir diğer sonuç altıgen içindir ve en az 17 nokta gerektirir. Bu sonuç 2006’da Szekeres ve Lindsay Peters tarafından gösterildi.)
Son dönemde Andrew Suk, Erdős ve Szekeres’in onlarca yıl önce öne sürdüğü sezginin büyük ölçüde doğru olduğunu gösteren güçlü kanıtlar ortaya koydu.
Mutlu Son Problemi Nedir?
En genel haliyle “mutlu son problemi”, bir çokgenin kenar sayısını nasıl artırabileceğimizi sorar. Diyelim ki elinizde beş nokta var. Bu noktalarla her zaman bir dışbükey dörtgen oluşturabileceğinizi biliyorsunuz. Buradan sonra hedef, kenar sayısını artırmaktır.
Dörtgenden beşgene, oradan altıgene ve daha ötesine geçmek istersiniz. Bunu yaparken de istediğiniz çokgeni garanti etmek için kaç noktaya ihtiyaç duyduğunuzu takip etmeniz gerekir.
Paul Erdős ve George Szekeres bu formülü kanıtlayamadı. Ancak izlenecek yol hakkında güçlü bir sezgi geliştirdiler. 1935’teki çalışmalarında, dışbükey çokgenleri “kupa” ve “kapak” olarak düşünmeyi önerdiler. “Kupa”, noktaların bir “u” şekli oluşturduğu alt kısmı temsil eder. “Kapak” ise “n” şeklindeki üst kısmı.
Bu yaklaşım işi sadeleştirir. Bir çokgeni büyütmek yerine, bir kupayı ya da kapağı nasıl genişleteceğinizi düşünmek daha kolaydır. Örneğin beş noktadan oluşan bir dışbükey kapak varsa, buna altıncı bir noktayı ekleyerek yapıyı genişletebilirsiniz. Ancak doğrudan beş kenarlı bir dışbükey çokgene yeni bir nokta ekleyip altıgene dönüştürmek, aynı özelliği koruyarak, çok daha karmaşık görünür.
Mutlu Son Problemi Nasıl Çözüldü?
1935’te Paul Erdős ve George Szekeres, “kupa–kapak teoremi”ni ortaya koydu. Bu teorem, belirli büyüklükte bir kupa ya da kapak elde etmek için gereken en az nokta sayısını veriyordu. Ayrıca mutlu son problemi için bir üst sınır sağlıyordu. Mantık basitti: Bir kupa bulursanız, uç noktalarını birleştirerek her zaman bir dışbükey çokgen elde edebilirsiniz.
Bu yaklaşımla, 4n nokta verildiğinde her zaman n kenarlı bir dışbükey çokgen oluşturacak bir kupa ya da kapak bulunabileceğini gösterdiler. Ancak bu sayı oldukça büyüktü.
Erdős ve Szekeres, daha iyi bir sonuç elde etmek için kupaları ve kapakları birleştirmenin bir yolunu aradı. Ancak burada önemli bir engel ortaya çıktı. Birleştirmenin işe yaraması için kapağın kupanın “üzerinde” olması gerekiyordu. Yani kupadaki herhangi iki noktayı birleştiren doğru, kapağın tüm noktalarının altında kalmalıydı. Bu koşul sağlanmadığında elde edilen şekil dışbükey olmuyordu.
Bu zorluk, yaklaşımı sınırladı. Matematikçiler uzun süre problemi bu yöntemle çözmeye çalıştı, ancak istedikleri sonuca ulaşamadı. Sorun, Andrew Suk yeni bir yaklaşım geliştirene kadar aşılamadı.
Andrew Suk’un çalışması, Ramsey teorisi adı verilen bir alana dayanır. Ramsey teorisi şunu söyler: Büyük ve düzensiz görünen bir yapı içinde bile mutlaka düzenli alt yapılar bulunur. Düzleme rastgele dağılmış noktalar da buna dahildir.
Bu problem özelinde Ramsey teorisi şu anlama gelir: Noktaları düzleme nasıl yerleştirirseniz yerleştirin, sayı yeterince büyüdüğünde mutlaka düzenli bir alt küme ortaya çıkar. Bu alt kümedeki noktaları birleştirerek n kenarlı bir dışbükey çokgen elde edersiniz. Bundan kaçınmak mümkün değildir.
Andrew Suk’un çalışması, Paul Erdős ve George Szekeres’in öne sürdüğü tahminin büyük ölçüde doğru olduğunu gösterir. Tam bir ispat sunmaz, ancak sonuca oldukça yaklaşır. Suk’un elde ettiği sonuç, problemin bilinen üst sınırını da önemli ölçüde düşürür.
Sonuç Olarak;
Ne Erdős ne de Szekeres artık hayatta. Erdős 1996’da öldü, ama kurduğu para ödülleri hâlâ verilmeye devam ediyor. George Szekeres, Erdős’ten yaklaşık on yıl daha uzun yaşadı. O ve Esther Klein, 2005 yılında Adelaide’de bir huzurevine taşındı.
28 Ağustos 2005’te, yalnızca bir saat arayla hayatlarını kaybettiler. Bu, “mutlu son problemi”nin ortaya çıkışından yaklaşık 70 yıl sonraydı ve problemin neredeyse çözüme kavuşmasından kısa bir süre önce gerçekleşti.
Kaynaklar ve İleri Okumalar:
- Happy Ending Problem – Numberphile; https://www.youtube.com/
- A Puzzle of Clever Connections Nears a Happy End. Yayınlanma tarihi: 30 Mayıs 2017; Bağlantı: https://www.quantamagazine.org/a
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
