Olasılık ve İstatistik

Ramsey Teorisi: Kehanetlerin Ardındaki Matematik

Dönem dönem belli kitaplarda şifreler ya da kehanetler olduğunu söyleyen insanlar çıkar ortaya ve bu şifreleri açıkladıklarında aslında aklımıza oldukça yatkın olduğunu görürüz. Bunun arkasında matematiksel bir ilke saklıdır aslında pek çoğumuzun bilmediği: Ramsey teorisi. Ramsey teorisi, sistemlerde düzen ve örüntü bulmakla ilgilenir. 20. yüzyılın ilk yarısında yaşamış olan İngiliz matematikçi ve filozof Frank Plumpton Ramsey (1903-1930) adını taşıyan ve ‘bir yapıda belirlenmiş bir özelliğin var olması için en az kaç eleman kullanılması yeterlidir’ sorusunu temel alan bir teoridir.

Ramsey 1928 yılında mantık üzerine çalışmalar yaparken bu soruyu sormuş ve cevap aramıştır. Ancak Paul Erdos’un bazı ilginç çalışmaları dışında Ramsey teorisi ile ilgili araştırmalar 1950’lerin sonlarına kadar başlamamıştır. Ramsey Teorisinin uygulama alanlardan bir tanesi Güvercin Yuvası prensibidir. Bu prensip genel terimlerle ile söylersek: Eğer k deliğe koymak için k + 1 tane objeniz varsa, o zaman en azından bir tane deliğin içinde 2 veya daha fazla obje olacaktır. biçimindedir. Daha fazla bilgi için göz atabilirsiniz: Güvercin Yuvası Prensibi

Parti Problemi

Ramsey teorisi hakkında düşünmenin başka bir yolu, parti problemidir. Rastgele seçilmiş kişilerin katılımı ile 6 kişilik küçük bir parti yapmaya karar verdiğinizi düşünelim. Bu 6 konuktan en az kaçının birbirini tanıdığını ya da tanımadığını garanti edilebilir misiniz? Şaşırtıcı bir şekilde, oradaki üçer kişiden oluşan bir grupta, ya herkesin birbirini tanıdığından ya da daha önce tanışmadıklarından emin olabiliriz. Tüm ihtimallerin grafiğini çıkararak bunu kanıtlayabiliriz. Bu parti meselesini çizge ile modelleyince aslında Ramsey’in ne demek istediğini daha iyi anlayabiliriz.

6 kişi için 6 köşe noktamız olsun ve kişilerin birbiri ile olan ilişkileri için de çizgileri kullanalım. İki kişi arasındaki ilişki iki biçimde olabilir: birbirini tanımak ya da tanımamak. Birbirini tanıyanları kırmızı, tanımayanları mavi çizgi ile birleştirelim. Şekle baktığınız zaman üç kenarı mavi ve 3 kenarı kırmızı olan üçgenler göreceksiniz. 6 kişide en az bir tane böyle bir üçgen bulmak mümkündür.

Ramsey Teorisi

Ramsey Sayıları

Ramsey teorisi bu örnekle sınırlı değildir. Örneğin içinde 5 kişinin birbirini karşılıklı tanıdığı ya da 12 kişinin tanımadığı bir partiyi garanti etmek için kaç davetli gerekir sorusu da bu kuramın kapsamı içinde yer alır. Kısacası herhangi iki değişken için adı geçen özellikleri sağlayan bir sayı bulunabiliyor. Böyle sayılara Ramsey sayıları denir. Eğer bir çizgenin bütün köşe noktaları birbiri ile yalnız ve ancak bir bağ yapıyorsa buna tam çizge denir ve köşe sayısına göre adlandırılır. Kn, n köşesi olan tam çizgeleri gösterir. Yukarıdaki örnekte gördüğünüz gibi 6 kenarlı ve iki renkli bir düzenli tam çizge çizilirse iki renkten birinde mutlaka bir K3 (üçgen) bulunur. Bu bir Ramsey sayısıdır ve gösterimi R(3,3)=6 biçiminde yapılır.

Özetle herhangi pozitif sayı ikilisi (k,m) için öyle bir Ramsey sayısı R(k,m) vardır ki bu sayının tam çizgesi iki renkle renklendirildiğinde, çizge Kk veya Km ‘den birini mutlaka alt çizge olarak içerir. Ramsey sayıları için matematikçiler henüz bir formül bulamamıştır çünkü çok büyük sayılar için Ramsey sayılarını bulmak hiç de kolay değildir.

Konuyu keyifli bir şekilde kısaca açıklayan aşağıdaki videoda size ilginç gelebilir…

Matematiksel

Kaynak
Clifford A. Pickover; The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics Nilüfer Karadağ, Ramsey Teorisi ve Ramsey Sayıları, Bilim Teknik, Ağustos 2005

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.