Uygulamalı Matematik

Galton Tahtası Kullanarak Geleceği Nasıl Görebilirsiniz?

Geleceği görmek birçok zaman fantezi ve bilim kurgu malzemesidir. Ancak aslında geleceği görmek için kristal bir küreye veya kahve fallarına ihtiyacınız yok Size tek gereken matematiktir. Dünya bazen rastgele veya öngörülemeyen olaylarla yönetiliyor gibi görünse de, matematiksel olasılık ve istatistik alanları birçok gerçekliğin şaşırtıcı bir doğrulukla tahmin edilebileceğini bizlere göstermiştir. 19. yüzyıl İngiliz istatistikçisi Sir Francis Galton da tasarladığı Galton tahtası aracılığı ile aslında bize geleceği göstermeye çalışıyordu.

Galton Tahtası Nedir?

Quincunx olarak da bilinen Galton tahtasımerkezi limit teoremini güzel bir şekilde gösteren binom dağılımının fiziksel bir modelidir;

Sir Francis Galton (1822-1911) tarafından icat edilen Galton Tahtası, üstüne üçgen biçimi oluşturacak biçimde çivilenmiş birçok pim barındıran dik bir tahtadır. Tahtanın tepesinde bir kabın içinde, serbest bırakılmaya ve yerçekimi kuvvetine maruz kalmaya hazır toplar yer alır. Pimler birbirine eşit uzaklıkta ve toplar çarpıştığında sağa veya sola düşme şansları eşit olacak şekilde yerleştirilmiştir. Sonunda toplar serbest bırakılır. Devamında tahtanın dibine bekleme yuvalarından birine düşerler. Her topun sola ya da sağa gitme şansı elbette eşittir. Bu durumda toplar yolculuğunu tamamladıktan sonra ortaya çıkacak olan sonucun ne olacağını tahmin etmek size imkansız gibi gelecektir. Bununla birlikte, deneyi bir kaç kez tekrar ederseniz aşağı yukarı aynı sonucu göreceğiniz neredeyse kesindir.

Bu Nasıl Gerçekleşiyor?

Böylesine doğası gereği rastgele bir süreç nasıl bu kadar tutarlı sonuçlar üretebilir? Sonuçta, her top daha önce gelenlerden tamamen bağımsızdır. Yani dibe ulaşmak için kesinlikle herhangi bir yoldan gitmekte özgürdür. Galton tahtasında karşımıza çıkan bu ilginç durumu anlamanın anahtarı, her bir topu ayrı ayrı düşünmek değildir. Burada tüm top grubunu belirli kurallara göre yönetilen tek bir varlık olarak görmek gerekir.

Binom dağılımının şeklini gösteren bir deney yapmak için, huniye çok sayıda top yerleştirilmelidir.

Kalıbı anlamamıza yardımcı olması için, çok daha az iğne içeren bir versiyonu ele alalım. Bu, sorunu yönetebileceğimiz bir ölçeğe indirecektir. Bu sefer ki Dalton tahtasında dört sıra pin olsun. Bu durumda, bir topun dibe ulaşması için tam olarak 16 olası yol vardır. Bu olasılıkların her birinin nasıl göründüğünü aşağıda inceleyebilirsiniz.

Tek bir topa odaklanmak yerine tüm potansiyel yolları bir arada görmek, nihai sonucu öngörülebilir kılan şeyin ne olduğunu anlamanıza yardımcı olur. Bu tahtanın tepesinden 160 top bırakırsak, 16 yolun her biri yaklaşık 10 kez kullanılacaktır. Ancak, birkaç yolun aynı sonuca götürdüğünü fark edebilirsiniz. Örneğin, soldan ikinci yuvaya giden dört farklı yol vardır. Bu, bu yuvaya yaklaşık 40 topun girmesini beklememiz gerektiği anlamına gelir. Aynı şekilde, orta yuvaya götüren altı farklı yol vardır. Bu nedenle toplardan yaklaşık 60 tanesi oraya düşecektir. Her yuvaya giden yolların sayısını hesaplarsanız, bu küçük tahta için aşağıdaki sayı serilerini elde edersiniz. Bu 1, 4, 6, 4, 1 biçiminde olur. Bu sayıları bir grafiğe çizerseniz de, görüntüsü aşağıdaki gibi olur.

Bu alıştırmayı daha uzun ve daha fazla yuvaya sahip bir Galton tahtası ile tekrarlayalım. Örneğin 5 yerine 9 yuva seçerseniz şu sayıları elde edersiniz: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1. Bu sefer grafik aşağıdakine benzer.

Tanıdık Geldi mi?

Birçok kişi bu şekli çan eğrisi olarak hatırlayacaktır, ancak matematikçiler buna normal dağılım derler. Bu durum bize, rastgelelikten etkilenen tüm grupların bu biçimde göründüğü gerçeğini yansıtır. Grup ister insanlardan, ister test puanlarından veya olaylardan olsun, hepsi sonunda bu karakteristik şekli paylaşır. Normal dağılıma götüren ilkeler, birçok günlük olgunun altında iş başındadır. Bu, etkili bir şekilde “geleceği tahmin etmemizi” sağlayan şeydir. Örneğin evinizden şehir merkezine giden bir otobüse biniyorsanız, gideceğiniz yere varmanız ne kadar sürer?

A ve B arasındaki yollarda kapsanan tam mesafeyi belirlemek ve ardından zamanı belirlemek için her yolu hız sınırına bölmek teorik olarak mümkündür. Ancak bu aptalca bir iştir. Yol boyunca durmanıza ve yolculuğunuzu belirsiz sayıda kesintiye uğratmanıza neden olacak trafik ışıkları vardır. Normal dağılım bizi burada kurtaracaktır.

Yolculuktaki trafik ışıkları, iğnelerin bazılarını sola ve bazılarını sağa göndermesi gibi, bazı araçların geçmesine izin verir. Ancak diğerlerini de durdurur. Ve bir yolculukta, Dalton kutusunda sola gitme ihtimalinin çok düşük olduğu gibi, her ışıkta durdurulmanız (veya tersine, bunların hiçbiri tarafından durdurulmamanız) olası değildir. Gittikçe daha fazla yolculuğa çıktıkça işler değişir. Zamanla yolda harcanan süreniz yukarıdaki topların dağılımı gibi bir biçim oluşturacaktır. Aslında bu verdiğimiz örnek de, çevrimiçi haritaların tipik bir yolculuğun ne kadar süreceğini tahmin etmek için nasıl çalıştığını ve bazen şaşırtıcı derecede doğru olan tahmini varış sürelerini nasıl hesapladığını anlamamız açısından önemlidir.

Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

2 Yorum

  1. Merhaba , siteniz çok güzl faydalı bilgiler içeriyor.

    Gnedenko nun olasılık teorisinin türkçe çevirisine nereden ulaşabilirim.Yardımcı olursanız çok minnettar kalırım.

    saygılarımla

    sa

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu