Olasılık ve İstatistik

Galton Tahtası Kullanarak Geleceği Nasıl Görebilirsiniz?

Geleceği görmek birçok zaman fantezi ve bilim kurgu malzemesidir. Ancak aslında geleceği şimdiden görebilmek için kristal bir küreye veya kahve fallarına ihtiyacınız yoktur. Size tek gereken matematiktir. Dünya bazen rastgele veya öngörülemeyen olaylarla yönetiliyor gibi görünse de, matematiksel olasılık ve istatistik alanları birçok gerçekliğin şaşırtıcı bir doğrulukla tahmin edilebileceğini göstermiştir. 19. yüzyıl İngiliz istatistikçisi Sir Francis Galton, tasarladığı Galton tahtası aracılığı ile bize geleceği göstermeye çalışıyordu.

Galton Tahtası Nedir?

Galton Tahtası, üstüne üçgen biçimi oluşturacak biçimde çivilenmiş birçok pim barındıran dik bir tahtadır. Tahtanın tepesinde bir kabın içinde, serbest bırakılmaya ve yerçekimi kuvvetine maruz kalmaya hazır toplar bulunur. Pimler birbirine eşit uzaklıkta ve toplar çarpıştığında sağa veya sola düşme şansları eşit olacak şekilde yerleştirilmiştir. Sonunda toplar serbest bırakılır, tahtanın dibine. bekleme yuvalarından birine düşer. Her topun sola ya da sağa gitme şansı eşit olduğundan, toplar yolculuğunu tamamladıktan sonra sonucun ne olacağını tahmin etmenin imkansız olacağını düşünebilir. Bununla birlikte, deneyi kaç kez tekrar ederseniz edin, aşağı yukarı aynı sonucu göreceğiniz neredeyse kesindir.

Bu Nasıl Gerçekleşiyor?

Böylesine doğası gereği rastgele bir süreç nasıl bu kadar tutarlı sonuçlar üretebilir? Sonuçta, her top daha önce gelenlerden tamamen bağımsızdır ve dibe ulaşmak için kesinlikle herhangi bir yoldan gitmekte özgürdür. Galton tahtasında karşımıza çıkan bu ilginç durumu anlamanın anahtarı, her bir topu ayrı ayrı düşünmek değil, tüm top grubunu belirli kurallara göre yönetilen tek bir varlık olarak görmektir.

Kalıbı anlamamıza yardımcı olması için, çok daha az iğne içeren çok daha küçük bir versiyonu ele alalım. Bu, sorunu yönetebileceğimiz bir ölçeğe indirecektir. Dalton tahtasında eğer dört sıra pin varsa, bir topun dibe ulaşması için tam olarak 16 olası yol vardır. İşte her birinin nasıl göründüğü:

Tek bir topa odaklanmak yerine tüm potansiyel yolları bir arada görmek, nihai sonucunu bu kadar öngörülebilir kılan şeyin ne olduğunu anlamanıza yardımcı olur. Bu tahtanın tepesinden 160 top bırakırsak, 16 yolun her biri yaklaşık 10 kez kullanılacaktır. Ancak, birkaç yolun aynı sonuca götürdüğünü fark edebilirsiniz. Örneğin, soldan ikinci yuvaya giden dört farklı yol vardır. Bu, bu yuvaya yaklaşık 40 topun girmesini beklememiz gerektiği anlamına gelir. Aynı şekilde, orta yuvaya götüren altı farklı yol vardır bu nedenle toplardan yaklaşık 60 tanesi oraya düşecektir. Her yuvaya giden yolların sayısını hesaplarsanız, bu küçük tahta için aşağıdaki sayı serilerini elde edersiniz: 1, 4, 6, 4, 1. Bu sayıları bir grafiğe çizerseniz, görüntüsü aşağıdaki gibi olur.

Bu alıştırmayı daha uzun ve daha fazla yuvaya sahip bir galton tahtası ile tekrarlarsanız örneğin 5 yerine 9 yuva seçerseniz şu sayıları elde edersiniz: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1. Bu sefer grafik aşağıdakine benzer.

Tanıdık Geldi mi?

Birçok kişi bu şekli çan eğrisi olarak hatırlayacaktır, ancak matematikçiler buna normal dağılım derler. Bu durum bize, rastgelelikten etkilenen tüm grupların bu biçimde göründüğü gerçeğini yansıtır. Grup ister insanlardan, ister test puanlarından veya olaylardan olsun, hepsi sonunda bu karakteristik şekli paylaşır. Normal dağılıma götüren ilkeler, birçok günlük olgunun altında iş başındadır. Bu, etkili bir şekilde “geleceği tahmin etmemizi” sağlayan şeydir. Örneğin evinizden şehir merkezine giden bir otobüse biniyorsanız, gideceğiniz yere varmanız ne kadar sürer?

A ve B arasındaki yollarda kapsanan tam mesafeyi belirlemek ve ardından zamanı belirlemek için her yolu hız sınırına bölmek teorik olarak mümkün ancak bu aptalca bir iştir. Yol boyunca durmanıza ve yolculuğunuzu belirsiz sayıda kesintiye uğratmanıza neden olacak trafik ışıkları vardır. Normal dağılım bizi burada kurtarabilir.

Yolculuktaki trafik ışıkları, iğnelerin bazılarını sola ve bazılarını sağa göndermesi gibi, bazı araçların geçmesine izin verir ve diğerlerini durdurur. Ve bir yolculukta, Dalton kutusunda sola gitme ihtimalinin çok düşük olduğu gibi, her ışıkta durdurulmanız (veya tersine, bunların hiçbiri tarafından durdurulmamanız) olası değildir. Gittikçe daha fazla yolculuğa çıktıkça, zamanla yolda harcanan süreniz yukarıdaki topların dağılımı gibi bir biçim oluşturacaktır. Aslında bu verdiğimiz örnek de, çevrimiçi haritaların tipik bir yolculuğun ne kadar süreceğini tahmin etmek için nasıl çalıştığını ve bazen şaşırtıcı derecede doğru olan tahmini varış sürelerini nasıl hesapladığını anlamamız açısından önemlidir.

Kaynak: Eddie Woo; It’s a Numberful World: How Math Is Hiding Everywhere;

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir Yorum

  1. Merhaba , siteniz çok güzl faydalı bilgiler içeriyor.

    Gnedenko nun olasılık teorisinin türkçe çevirisine nereden ulaşabilirim.Yardımcı olursanız çok minnettar kalırım.

    saygılarımla

    sa

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.