Pisagor Teoreminin Hikayesi

Bugün ulaştığımız uygarlık seviyesinde Pisagor’un rolünü inkar edemeyiz. Döneminde felsefe, geometri, aritmetik, müzik, astronomi, coğrafya ve tabiat bilimlerinde üstat idi. Fizik alanında ilk de­fa optik kuramlarını koymuş, ses ve armonikleri te­orilerine ilk adımını atmıştı. Buna rağmen, bilim tarihçilerinin birleştikleri nokta, Pisagor’un asıl büyüklüğü geometri ala­nında yaptığı çalışmalardır.

Geometriyi oturtuğu prensipler, kendisinden 250 yıl sonra, Euclid ‘in “Elementler”i olmuş ve hiç değişmeden, sadece bir iki ufak ek ve yorumlarla bugüne kadar uzanıp, bizim ders kitaplarımıza girmiştir.

Ancak elbette onun en önemli mirası, adıyla anılan o meşhur “Teorem”idir. Bu antik, fakat ilk modern teorem, “Bir dik üç­genin dik kenar karelerinin toplamı, hipotenüsünün karesine eşittir” der.

Teorem temel geometrinin en önde gelen teoremlerindendir ve okulda öğretilen ilk gerçek kışkırtıcı matematiksel kavramdır.

Pisagor’un hayatı incelendiğinde görebiliyoruz ki, kendisi uzun bir süre Mısır’da kalmıştır. Eğer herhangi bir Mısır binasının içinde biraz zaman geçirdiyse işçilerin dik üçgen elde etmek için kullandıkları bir hileyi görmüş olabilir. 3, 4 ve 5 birim uzaklıklarla düğümlenmiş bir ip. Çünkü 32+ 42 = 52‘dir, eğer bu ip bu düğümlü noktalardan gerilirse dik açı lı bir üçgen elde edilir.

İp germe, piramitler gibi yapıların inşasında birbiri üzerine ya da yanına yığmak için gerekli olan, taşlarda veya tuğlalarda kullanılmak üzere dik üçgen elde etmek için en uygun yöntemdi. Zateb Hipotenüs kelimesi de Yunanca ‘karşılıklı gerilen’ kelimesinden gelmektedir. Mısırlılar dik üçgenler elde etmek için 3, 4 ve 5’e ek olarak birçok başka rakamlar da kullanmış olabilirler. (5,12,13), (8,15,17) gibi…Ancak muhtemel 3, 4 ve 5 sayıları bu görev için en uygun olanlarıdır. Sebebi sadece en düşük değerli üçlü olmaları değil, ardışık olan tek üçlü olmalarıdır. İp germe mirasından dolayı, 3:4:5 oranındaki dik üçgen Mısır üçgeni olarak da bilinir.

Ancak günümüzde arkeolojik bulguların bize gösterdiği, Mısırlıların da bu bilgiyi Babillilerden devr aldıkları. Arkeolojik kalıntılar, Çinlilerin de inşaatlarda dik açı oluşturmak için”6, 8 ve 10″ gibi relatif ölçüleri kullandıklarını, Hintlilerin ise, aynı gayeyi, “1, 3/4 ve 5/4” ile gerçekleştirdiklerini göstermekte.

Ortaokul ve lise dönemlerimizde, matematik sı­navlarında sorulabilir korkusu ile karabasanlar gör­düğümüz bu problem, bizim kültürümüzde genellikle “‘Pisagor Teoremi” olarak bilinirse de, batıda “Marangoz Teoremi” olarak tanınmıştır. Ortaçağlarda ise, insanın düşün­ce kapasitesini çok zorladığı için olacak Latince “Pons Asinorum” diye anılmıştır. Arap kültür tarihinde ise buna “Gelin Perçemi” denmesini anlamak doğrusu güçtür.

Öyle görülüyor ki sadece bir içgüdü ile doğru­luğu önceden kabul edilen bu kural, yüzyıllar boyun­ca uygarlıktan uygarlığa dolaşmış ve sonunda bü­yük bir olasılıkla Mısır’da Pisagor’un karşısına çık­mıştır. İşte bu rastlantı Pisagor’un bilim tarihindeki ye­rini perçinlemiştir.

Aslında teorem bir dik üçgendeki kenarların kareleri arasındaki ilişkiden daha fazlasını ortaya koyar. Örneğin hipotenüsün üzerinde bulunan yarım dairenin alanı dik kenarların üzerinde bulunan yarım dairelerin toplamına eşittir. Hipotenüs üzerindeki bir beşgenin alanı diğer kenarlar üzerindeki beşgenlere eşittir ve bu kural altıgenler, sekizgenler ve aslında
düzgün ya da değil tüm şekiller için geçerlidir. Mona Lisa için bile…

Kurduğu genel kuram, daha sonraları Plato (M.Ö.429-348) tarafından yeniden düzenlendiği şe­kilde, bir dik üçgenin dik kenarlarını tek veya çift tam sayılarla oluşturan ilk aritmetik serilerle, probleme evrensel uyumluluk kazandırdı. Böylece de ilk defa kendisinin başlattığı ve kendisinden yirmi yüzyıl son­ra gelen Fermat’ın eliyle günümüze uzayan ve de hâlâ tamamlanamamış olan Genel Sayılar Teorisi’ne ilk adım atıldı.

Bilim tarihi boyunca, hiçbir problem Pisagor Te­oremi kadar merak yaratmamış ve bu kadar çok sayıda farklı biçimde ispatlanmamıştır. 1940 yılında yayınlanan Pisagor Önermeleri adlı kitabında Elisha Scott Loomis, oldukça şaşırtıcı derecede farklı insanlar tarafından geliştirilen 371 ispat yayınladı. 1888 tarihli bir tanesi kör bir kız olan E.A. Coolidge’e, 1938 tarihli bir diğeri ise 16 yaşındaki bir lise öğrencisi olan Ann Condit’e aitti, diğerleri arasında ise da Vinci ve Birleşik Devletler başkanı James A. Garfıeld’a ait olan ispatlar vardı. Garfıeld ispatı, Cumhuriyetçi Parti’den milletvekilliği yaptığı dönemde meslektaşlarıyla matematiksel bir eğlence sırasında tesadüfen bulmuştu. İspat 1876 yılında ilk kez yayınlandığında; ‘Biz bunun iki partinin üyelerinin parti ayrımı olmadan üzerinde birleşebilecekleri bir şey olduğunu düşünmüştük’ demişti.

Çeşitliliği matematiğin canlılığının bir kanıtıdır. Farklı zihinlerin çözüm üretirken farklı rotalar çizmeleri ilginçtir. Aşağıda üç farklı dönemde yapılmış üç farklı ispat görünmektedir: Bir tanesi üçüncü yüzyılda yaşayan Çinli matematikçi Liu Hui, diğeri Leonardo da Vinci ve 1917 tarihli üçüncüsü ise İngiltere’nin en ünlü bulmaca hazırlayıcısı Henry Dudeney’ye aittir.

Pisagor teoremini ispat etmek için trigonometri veya analitik geometri kullanılamaz. Zira, oluşum­ları zaten Pisagor eşitliğine bağlıdır.

Teoremin çözümlerini araştırma yolunda geçen -bunca devirler, pek çok ilginç ve hatta hayret verici olaylara sahne olmuştur.

Denildiğine göre, Socrates (MÖ. 469-399), ikiz­kenar dik üçgene ait olmak üzere özel bir çözümü, göz alıcı ve simetrik güzelliğinden ötürü, tapınakların ve kamu binalarının meydanlarının taş kaplamalarında motif olarak kullandırmıştır. Burada, ister istemez, şöyle bir soru ak­lımıza geliyor: İç Anadolu’da bazı yörelerde yaygın, Bağdadi tarzı denilen duvar örme sisteminde bu çok eski bilginin bir alıntısı var mıdır?

Dokümanlara dayanılarak bilinen ilk tam geo­metrik çözümün, Euclid tarafından verildiğini kabul etmek durumundayız. Bütün klâsik geometri kitaplarında bugün, tari­hi değeri bakımından, sadece Euclid’in verdiği çö­züm öğretilmektedir. Kabul edilme­lidir ki, diğer yüzlerce çözüm arasında daha direkt, daha cazip ve tam geometrik başka bir çözüm yapılamamıştır. Maalesef günümüze Pisagor’un bu teorem için yaptığı ispat ulaşmamıştır bu arada.

Diğer çeşitli çözümler arasında ilginç ve çok değişik görüşleri kapsayan örnekler vardır. Bunların bilinen en kısası Fransız matematikçisi D.Legendre’ye aittir. Hiçbir konstrüksıyona ihtiyaç duymadan, sadece iki satırlık bir açıklama ile yaptığı cebirsel ispattır. En uzunu ise, 1909’da tamamlanmış bir Non-Eucledean doktora tezinde, J.Lowell. PhD tarafından verilmiştir, çizimleri dahil üç sayfa tutmak­tadır.

Leonardo’nun Pisagor teoreminin ispatı için yaptığı çizim

Bir Başka ilginç ispat ise  Ann Condit adlı Amerikalı bir genç kızın yaptığıdır. Henüz 16 yaşında bir lise öğrencisi iken 1938 yılında yaptığı ispatta kullandığı geometrik çi­zimi, hiçbir ünlü matematikçi tarafından daha önce düşünülmemiştir. Asıl en şaşırtıcı örneği, 1890 yılında, yine Amerikalı E.A. Coolidge adlı 19 yaşında bir genç kız vermiştir. Onun çözümün, kendin­den 800 yıl önce yaşamış Hintli matematikçi Bashkara’nın yazdığı ve sonradan kaybolduğu bilinen ki­tabındaki çözümün aynısıdır ancak genç kızımızın bunu bilmesine olanak yoktur çünkü o doğuştan kördür. E.A. Coolidge’in çözümü, literatüre “Kör Kız Problemi” olarak geçmiştir.

Bir daha ki sefere karşınıza bir Pisagor teoremi çıktığında uğruna verilen bunca çabayı hatırlamanız dileğimizle…

Kaynaklar:

Bilim Teknik – Aralık-1989 – Pisagor Teoreminin Hikayesi

Alex Bellos –  Alex Sayılar Diyarında

Matematiksel

 

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Kübik Denklemin Ömer Hayyam’a ait Geometrik Çözümü

                              …

Bir Yorum

  1. Elinize kolunuza sağlık hocam çok işime yaradı

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');