Antik Mısır’dan Günümüze Pisagor Teoremi

Bugün ulaştığımız uygarlık seviyesinde Pisagor’un rolünü inkar edemeyiz. Ancak elbette onun en önemli mirası, adıyla anılan o meşhur Pisagor Teoremidir. Bu teorem bir dik üçgende kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler ve cebirsel olarak a ve b kenarlar olmak üzere, a2 + b2 = c2 biçiminde gösterilir. Teorem Pisagor’un adını taşısa da aslında bu teoremi kendisi bulmamıştır. MÖ 1900-1600 yıllarından kalma dört Babil tabletinde de bu teoreme rastlanmaktadır.

Plimpton 322, Babil’de bulunan çivi yazılı bir kil tablettir. Tableti özel kılan ise matematiksel içeriğidir. Bu tabletin üzerinde Pisagor üçlüleri listelenmiştir. En küçük Pisagor üçlüsü 3:4:5 biçimindedir ve bu üçlü karşımıza Mısır Üçgeninde çıkar.

Pisagor’un hayatının belli bir döneminde düşüncelerini geliştirmek için yolculuklar yaptığını biliyoruz. Kendisinin bu teorem ile bu esnada tanışmış olması muhtemeldir. Öyle görülüyor ki sadece bir içgüdü ile doğru­luğu önceden kabul edilen bu kural, yüzyıllar boyun­ca uygarlıktan uygarlığa dolaşmış ve sonunda Pisagor’un karşısına çık­mıştır. Pisagor teoremi bir çok antik uygarlık tarafından Pisagor’dan önce bilinir olsa da bunun ilk pratik uygulaması Mısır’da karşımıza çıkar.

Mısır Üçgeni

 Mısırlılar araziyi üçgenlere bölerek ölçüyorlardı.

MÖ 2000’li yıllarda geometrinin doğduğu topraklarda yaşayan Mısırlılar üçgenler ve piramitler hakkında bazı geometrik fikirlere sahiptiler. Ancak bunları yazılı olmaktan ziyade pratik biçimde uygulamaya koydular. Örneğin İp germe, piramitler gibi yapıların inşasında dik üçgen elde etmek için kullanılan bir yöntemdi. Zaten Hipotenüs kelimesi de Yunanca ‘karşılıklı gerilen’ kelimesinden gelmektedir.

Mısırlılar bunun için uzunluğu 12 birim olan düğümlü bir ip kullanırlardı. Bu tür iplerle kenarları 3:4:5 birim olan dik üçgenler yaptılar. Sonra da bu ipler yardımıyla arazileri ölçtüler. İp germe mirasından dolayı, 3:4:5 oranındaki dik üçgen Mısır üçgeni olarak da bilinir.

Aslında teorem bir dik üçgendeki kenarların kareleri arasındaki ilişkiden daha fazlasını ortaya koyar. Örneğin hipotenüsün üzerinde bulunan bir beşgenin alanı diğer kenarlar üzerindeki beşgenlerin alanları toplamına da eşittir. Bu kural altıgenler, sekizgenler ve aslında düzgün ya da değil tüm şekiller için geçerlidir.

Pisagor Teoremi İspatları

Pisagor teoremine evrensel çekiciliğini veren şey kuşkusuz ki yüzyıllar boyunca önerilen çok sayıda ispatıdır. Bu teoremini ispat etmek için trigonometri veya analitik geometri kullanılamaz. Zira, onların da oluşum­ları zaten Pisagor eşitliğine bağlıdır. Amerikalı matematikçi Elisha Scott Loomis, bir çok matematik kitabı yazmıştır. Ancak bunlar içinde en dikkat çekeni iki bölüm halinde yayınlanan The Pythagorean Proposition ( Pisagorcu Önermeler) isimli kitabı olmuştur.

Kitapta 109 cebirsel ispat ve 255 geometrik ispat olmak üzere toplam 370 ispat bulunmaktadır. (Ayrıca 4 kuaterniyonik ve 2 dinamik ispat vardır, toplamda 370 yapar). İspatların bazıları üçgenlerin benzerliği, bazıları parçalara ayrılıp incelenmesi, bazıları cebirsel formülleri çok azı da vektörlerin kullanımına dayanır. Bu ispatlardan üçünü aşağıda görebilirsiniz.

Yukarıda üç farklı dönemde yapılmış üç farklı ispat görünmektedir: Bir tanesi üçüncü yüzyılda yaşayan Çinli matematikçi Liu Hui, diğeri Leonardo da Vinci ve 1917 tarihli üçüncüsü ise İngiltere’nin en ünlü bulmaca hazırlayıcısı Henry Dudeney’ye aittir.

Dokümanlara dayanılarak bilinen ilk tam geo­metrik çözümün, Euclid tarafından verildiğini kabul etmek durumundayız. Bütün klâsik geometri kitaplarında bugün, tari­hi değeri bakımından, sadece Euclid’in verdiği çö­züm öğretilmektedir. Pisagor’un bu teorem için yaptığı bir ispat olup olmadığı bilinmemekte ancak olmadığı düşünülmektedir.

Öklid’in Kitabında Yer Alan Pisagor Teoreminin İspatı

ABC, BAC açısı dik açı olan bir dik açılı üçgen olsun. BC kenarı üzerine BDEC karesini, BA ve AC kenarları üzerine de GB ve HC karelerini çiz. AL doğru parçasını BD veya CE ye paralel olacak şekilde çiz. AD ile FC yi çiz.

Problem 47: Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenarın karesi dik açıya komşu olan kenarların karelerinin toplamına eşittir.

BAC ve BAG dik açılardır. BA doğru parçası A noktasında AC ve AG kenarları ile yapmış oldukları komşu açıların toplamları iki dik açıya eşit olduğundan CA ve AG doğru parçaları aynı doğrultudadır. Aynı sebepten BA ile AH da aynı doğrultudadır. DBC ve FBA açıları birbirine eşit olan dik açılardır. Her birine ABC açısını ekleyelim. Bu durumda DBA açısı da FBC açısına eşit olur.

DB kenarı BC kenarına, FB kenarı BA kenarına eşittir. AB ve BD kenarları, sırasıyla FB ve BC kenarlarına eşit ve ABD açısı FBC açısına eşit olduğundan AD kenarı da FC kenarına eşittir ve ABD ile FBC üçgenleri ile eştir. Aynı BD ve AL paralel kenarlar altında aynı BD tabanına sahip olduklarından dolayı BL paralelkenarının alanı ABD üçgeninin alanının iki katıdır,  Yine aynı FB ve GC paralel kenarlar altında aynı FB tabanına sahip olduklarından dolayı GB karesinin alanı FBC üçgeninin alanının iki katıdır.

Nasîrüddin Tûsî Öklid’in Pisagor teoreminin ispatının kendi versiyonunu 1258’de Arapça olarak yayınladı.

Bu durumda BL paralelkenarının alanı GB karesinin alanına eşittir. Benzer olarak AE ve BK kenarları çizilirse, CL paralelkenarının alanı  HC karesinin alanına eşittir. BDEC karesinin alanı  GB ve HC karelerinin alanları toplamına eşittir. BDEC karesi BC kenarı üzerine, GB ve HC kareleri BA ve AC üzerlerine kuruludur. Buradan BC kenarının karesi BA ve AC kenarlarının kareleri toplamına eşittir. Bu yüzden bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenarın karesi dik açıya komşu olan kenarların karelerinin toplamına eşittir. Q.E.D

James Garfield’in İspatı En Kolay İspattır

James Garfield’in Pisagor Teoremi ispatı

Bir başka ilginç ispat ise Ann Condit adlı Amerikalı bir genç kızın yaptığıdır. Henüz 16 yaşında bir lise öğrencisi iken 1938 yılında yaptığı ispatta kullandığı geometrik çi­zimi, hiçbir ünlü matematikçi tarafından daha önce düşünülmemiştir. Amerika Birleşik Devletleri’nin 20. Başkanı James Garfield bile Pisagor teoreminin ispatlarından birini gerçekleştirmiştir. Tüm ispatlar arasında Garfield’in yaklaşımı en basit ve anlaşılması en kolay olanlardan biridir.

Pisagor Teoremi Günümüzde Ne İşe Yarar?

Denildiğine göre, Socrates (MÖ. 469-399), ikiz­kenar dik üçgene ait olmak üzere özel bir çözümü, göz alıcı ve simetrik güzelliğinden ötürü, tapınakların ve kamu binalarının meydanlarının taş kaplamalarında motif olarak kullandırmıştır. Burada, ister istemez, şöyle bir soru ak­lımıza geliyor: İç Anadolu’da bazı yörelerde yaygın, Bağdadi tarzı denilen duvar örme sisteminde bu çok eski bilginin bir alıntısı var mıdır?

Pisagor teoremi sadece ilgi çekici bir matematiksel alıştırma değildir. İnşaat ve imalattan navigasyona kadar çok çeşitli alanlarda kullanılmaktadır. Ayrıca dağlar gibi standart yollardan ölçülmesi mümkün olmayan yükseklikleri ölçmek için de haritacılar Pisagor teoreminden yararlanır. Tek tek listelemeye gerek yok. Açılarınız olduğunda ve ölçümlere ihtiyacınız duyduğunuzda hangi konu ile ilgilenirseniz ilgilenin bu teoreme ihtiyacınız vardır. Bir daha ki sefere karşınıza bir Pisagor teoremi çıktığında uğruna verilen bunca çabayı hatırlamanız dileğimizle.



Kaynaklar ve ileri okumalar için:


Dip Not

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu