MATEMATİK TARİHİ

Dünden Bugüne Pisagor Teoremi

Bugün ulaştığımız uygarlık seviyesinde Pisagor’un rolünü inkar edemeyiz. Ancak elbette onun en önemli mirası, adıyla anılan o meşhur ” Pisagor Teoremi”dir. 

Pisagor döneminde felsefe, geometri, aritmetik, müzik, astronomi, coğrafya ve tabiat bilimlerinde üstat idi. Fizik alanında ilk de­fa optik kuramlarını koymuş, ses ve armonikleri te­orilerine ilk adımını atmıştı. Buna rağmen, bilim tarihçilerinin birleştikleri nokta, Pisagor’un asıl büyüklüğü geometri ala­nında yaptığı çalışmalardır.

Geometriyi oturtuğu prensipler, kendisinden 250 yıl sonra, Euclid ‘in “Elementler”i olmuş ve hiç değişmeden, sadece bir iki ufak ek ve yorumlarla bugüne kadar uzanıp, bizim ders kitaplarımıza girmiştir.

Onu günümüze taşıyan ilk modern teorem, “Bir dik üç­genin dik kenar karelerinin toplamı, hipotenüsünün karesine eşittir” der.

Pisagor teoremi olarak bilinen bu teorem temel geometrinin en önde gelen teoremlerindendir.

Pisagor’un hayatı incelendiğinde görebiliyoruz ki, kendisi uzun bir süre Mısır’da kalmıştır. Eğer herhangi bir Mısır binasının içinde biraz zaman geçirdiyse işçilerin dik üçgen elde etmek için kullandıkları bir hileyi görmüş olabilir.

3, 4 ve 5 birim uzaklıklarla düğümlenmiş bir ip. Çünkü 32+ 42 = 52‘dir, eğer bu ip bu düğümlü noktalardan gerilirse dik açılı bir üçgen elde edilir.

İp germe, piramitler gibi yapıların inşasında dik üçgen elde etmek için kullanılan bir yöntemdi. Zaten Hipotenüs kelimesi de Yunanca ‘karşılıklı gerilen’ kelimesinden gelmektedir.

Mısırlılar dik üçgenler elde etmek için 3, 4 ve 5’e ek olarak birçok başka rakamlar da kullanmış olabilirler. (5,12,13), (8,15,17) gibi…

Ancak muhtemel 3, 4 ve 5 sayıları bu görev için en uygun olanlarıdır. Sebebi sadece en düşük değerli üçlü olmaları değil, ardışık olan tek üçlü olmalarıdır. İp germe mirasından dolayı, 3:4:5 oranındaki dik üçgen Mısır üçgeni olarak da bilinir.

Ancak günümüzde arkeolojik bulguların bize gösterdiği, Mısırlıların da bu bilgiyi Babillilerden devr aldıkları. Arkeolojik kalıntılar, Çinlilerin de inşaatlarda dik açı oluşturmak için”6, 8 ve 10″ gibi relatif ölçüleri kullandıklarını, Hintlilerin ise, aynı gayeyi, “1, 3/4 ve 5/4” ile gerçekleştirdiklerini göstermekte.

Öyle görülüyor ki sadece bir içgüdü ile doğru­luğu önceden kabul edilen bu kural, yüzyıllar boyun­ca uygarlıktan uygarlığa dolaşmış ve sonunda bü­yük bir olasılıkla Mısır’da Pisagor’un karşısına çık­mıştır. İşte bu rastlantı Pisagor’un bilim tarihindeki ye­rini perçinlemiştir.

Aslında teorem bir dik üçgendeki kenarların kareleri arasındaki ilişkiden daha fazlasını ortaya koyar. Örneğin hipotenüsün üzerinde bulunan yarım dairenin alanı dik kenarların üzerinde bulunan yarım dairelerin toplamına eşittir. Hipotenüs üzerindeki bir beşgenin alanı diğer kenarlar üzerindeki beşgenlerin alanları toplamına eşittir ve bu kural altıgenler, sekizgenler ve aslında düzgün ya da değil tüm şekiller için geçerlidir. Mona Lisa için bile…

Pisagor Teoremi İspatları

Bilim tarihi boyunca, hiçbir problem Pisagor Te­oremi kadar merak yaratmamış ve bu kadar çok sayıda farklı biçimde ispatlanmamıştır. 

1940 yılında yayınlanan Pisagor Önermeleri adlı kitabında Elisha Scott Loomis, oldukça şaşırtıcı derecede farklı insanlar tarafından geliştirilen 371 ispat yayınladı.

Yukarıda üç farklı dönemde yapılmış üç farklı ispat görünmektedir: Bir tanesi üçüncü yüzyılda yaşayan Çinli matematikçi Liu Hui, diğeri Leonardo da Vinci ve 1917 tarihli üçüncüsü ise İngiltere’nin en ünlü bulmaca hazırlayıcısı Henry Dudeney’ye aittir.

Pisagor teoremini ispat etmek için trigonometri veya analitik geometri kullanılamaz. Zira, oluşum­ları zaten Pisagor eşitliğine bağlıdır.

Pisagor teoremi ile ilgili ilginç bazı bilgiler de mevcuttur.

Denildiğine göre, Socrates (MÖ. 469-399), ikiz­kenar dik üçgene ait olmak üzere özel bir çözümü, göz alıcı ve simetrik güzelliğinden ötürü, tapınakların ve kamu binalarının meydanlarının taş kaplamalarında motif olarak kullandırmıştır.

Burada, ister istemez, şöyle bir soru ak­lımıza geliyor: İç Anadolu’da bazı yörelerde yaygın, Bağdadi tarzı denilen duvar örme sisteminde bu çok eski bilginin bir alıntısı var mıdır?

Dokümanlara dayanılarak bilinen ilk tam geo­metrik çözümün, Euclid tarafından verildiğini kabul etmek durumundayız. Bütün klâsik geometri kitaplarında bugün, tari­hi değeri bakımından, sadece Euclid’in verdiği çö­züm öğretilmektedir.

Kabul edilme­lidir ki, diğer yüzlerce çözüm arasında daha direkt, daha cazip ve tam geometrik başka bir çözüm yapılamamıştır. Maalesef günümüze Pisagor’un bu teorem için yaptığı ispat ulaşmamıştır bu arada.

Bir başka ilginç ispat ise Ann Condit adlı Amerikalı bir genç kızın yaptığıdır. Henüz 16 yaşında bir lise öğrencisi iken 1938 yılında yaptığı ispatta kullandığı geometrik çi­zimi, hiçbir ünlü matematikçi tarafından daha önce düşünülmemiştir.

Aşağıdaki video bu güzel teoremin hikayesini ve bir kaç ispatını keyifli bir dil ile anlatıyor. İzlemenizi öneririz. Belki bir gün sizlerde farklı bir ispatını yapmak isteyebilirsiniz, kim bilir?

Bir daha ki sefere karşınıza bir Pisagor teoremi çıktığında uğruna verilen bunca çabayı hatırlamanız dileğimizle…

Kaynaklar:

Bilim Teknik – Aralık-1989 – Pisagor Teoreminin Hikayesi

Alex Bellos –  Alex Sayılar Diyarında

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Kapalı