İlginç Sayılar

Kaprekar Sabiti: 6174 Sayısı Neden Gizemli Bir Sayıdır?

6174 sayısı gerçekten gizemli bir sayıdır. İlk bakışta, bu fark edilmeyebilir. Ama birazdan göreceğimiz gibi, çıkarmayı bilen herkes 6174’ü bu kadar özel yapan gizemi anlayabilir.

Matematik tarihinin başlangıcından günümüze kadar sayılara pek çok özellik yüklenmiş, üstelik bu özellikle­rin birçoğu rastlantıyla bulunmuştur. Bir sayı ile fark edilip tanımlanan özellik önce ona uyan diğer sayıları aramaya, devamında da bu tür sayıların davranışlarını incelemeye itmiştir matematikçileri. Size bu yazıda böyle bir sayıdan, Kaprekar sabitinden bahsedelim. Ancak öncesinde Kaprekar sayıları hakkında bilgi verelim ve elbette bu sayılara adını veren Hindistan, Devlali’den matematikçi D. R. Kaprekar’dan bahsedelim.

Ancak başlamadan önce sizler ile bir deneme yapalım. İlk önce, tüm basamakların aynı olmadığı (yani 1111, 2222,… gibi olmayan) dört basamaklı bir sayı seçin. Ardından, seçtiğiniz sayının rakamları ile yazılabilecek en büyük ve en küçük sayıyı belirleyin. Son olarak, yeni bir sayı elde etmek için belirlediğiniz en küçük sayıyı en büyükten çıkarın. Ve süreci tekrarlamaya devam edin.

Bir örnek verelim. Diyelim ki tuttuğunuz sayı 4564. Belirlediğimiz en büyük ve en küçük sayı ise sırasıyla 6544 ve 4456. Şimdi büyükten küçüğü çıkaralım: 6544 – 4456 = 2088. Aynı işlemleri çıkan sayı için de tekrar­layalım: 8820 – 0288 = 8532 ve 8532 – 2358 =6174. 6174’e ulaştığımızda işlem kendini tekrar eder ve her seferinde 6174’e döner. Konuyu anlamaya başlamış olmalısınız.

Sonuçta ulaşacağınız sayı her seferinde 6174 olacaktır. Bu nedenle 6174 sayısı Kaprekar sabiti olarak bilinir. Unutmayın, bunların hepsi rastgele seçilmiş basamakları aynı olmayan dört basamaklı bir sayı ile başlar ve en fazla 7 adımdan sonra her zaman 6174 sayısıyla biter, bu da sizi sonsuz bir döngüye sokar. Kaprekar’ın 1949’da yaptığı bu gözlemden sonra matematikçilerin ne­yin peşinden koştuğunu tahmin etmek artık zor değil.

Neden 6174 Sayısı?

Herhangi bir dört basamaklı sayının basamaklarını azalan düzende sıralarsak maksimum sayıyı ve artan düzende sıralarsak minimum sayıyı elde ederiz. Sayılarımız birbirinden farklı a, b, c, d ise ve 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 biçiminde bir sıralama varsa, en büyük sayı abcd ve en küçük sayı ise dcba olacaktır. Bunları birbirinden çıkartarak Kaprekar işleminin sonucunu hesaplayabiliriz.

abcd-dcba= ABCD olsun. Burada D = 10 + d – a ( a > d); C = 10 + c – 1 – b = 9 + c – b ( b > c – 1); B = b – 1 – c ( b > c) ve A = a – d biçiminde olacaktır. Bu denklem sisteminin çözümü sadece a=7, b=6, c=4 ve d=1 için geçerlidir. Bu da bize 6174 sayısını vermektedir.

Benzer bir sonuca üç basamaklı sayılar ile de ulaşabiliriz. Örneğin üç basamaklı 753 sayısına bir göz atalım. 753 – 357 = 396; 963 – 369 = 594; 954 – 459 = 495; 954 – 459 = 495. Gördüğünüz gibi bu sefer de 495 sayısında döngüye giriyoruz. Merak ederseniz söyleyelim. 5 basamaklı­lar için birden fazla sabit mevcut. 6 basamaklılar için ise 549945 sayısında döngü başlıyor. Ayrıca iki basamaklı sayılar ile de denemeler yaparsanız bir döngü olmadığını görebilirsiniz.

Kaprekar Sayısı

Aslında matematikte Kaprekar adı karşımıza bir kere daha çıkar. Şimdi 297 sayısının karesini alalım bu 88 209 olacaktır. Bu sayıyı iki parçaya ayrılım, 88 ve 209 sayılarını oluşturalım. Bu iki sayının toplamı 88 + 209 = 297 ilk sayımıza eşittir. Bu özelliği gösteren sayılara da Kaprekar Sayısı denir. Örneğin 45 sayı­sını ele alalım: 45, 2 basamaklı bir sayı 452 = 2025 sağdan 2 basamak 25, sol­dan 2 basamak 20. Bu ikisinin toplamı da 20 + 25 = 45 yani sayının kendisi. Diğer bir örnek 173442 = 300814336, sağdan 5 basamak ve kalan 4 basama­ğın toplamı: 3008 + 14336 = 17344. Gerçekten ilginç değil mi? Aşağıda daha fazla Kaprekar sayısını görebilirsiniz.

92 = 81…8 + 1 = 9
452 =2025…20 + 25 = 45
552 = 3025…30 + 25 = 55
7032 = 494209…494 + 209 =703
27282 = 7441984…744 + 1984 = 2728
48792 = 23804641…238 + 04641 = 4879
1428572 = 20408122449…20,408 + 122449 = 142857

Kaprekar sayısı sadece kare alma işleminde karşımıza çıkmaz. Bazen sayıların küpünü alırken de benzer bir durum oluşur. Bu sayıları da Kaprekar üçlüsü denir. Örneğin 453 = 91125 = 9 + 11 + 25 = 45 yapar. Diğer Kaprekar üçlüleri: 1, 8, 10, 297 ve 2322’dir. Daha fazlasını bulmak eğlenceli bir aktivite olabilir.

Dattaraya Ramchandra Kaprekar

Dattaraya Ramchandra Kaprekar,(1905–1986) tüm bunları sayılar teorisine kazandırmış olmasına rağmen kendisinin formal bir matematik eğitimi yoktu. Bir matematik öğretmeni ya da matematik çalışmaları yapan birisi de değildi. Sadece sayılarla oynamayı seven biriydi. O zamanlarda bu çalışmaları matematikçiler tarafından pek de dikkate alınmasa da ilerleyen yıllarda zamanında kazanamadığı itibarı elde etti. Zaman içinde Kaprekar’ın fikirleri hem Hindistan’da hem de ülke dışında ilgi görmeye başladı. 1970’li yıllara gelindiğinde, Martin Gardner, popüler bilim dergisi Scientific American’da onun hakkında bir makale kaleme aldı. Bugün Kaprekar ve yaptığı keşiflerin geçerliliği dünya genelinde tüm matematikçiler tarafından kabul ediliyor.

Göz atmak isterseniz

Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

3 Yorum

    1. Kaçıncı denemende bunu fark ettin merak ediyorum

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu