İlginç Sayılar

Kaprekar Sabiti: 6174 Sayısı Neden Gizemli Bir Sayıdır?

Matematik tarihinin başlangıcından günümüze kadar sayılara pek çok özellik yüklenmiş, üstelik bu özellikle­rin birçoğu rastlantıyla bulunmuştur. Bir sayı ile fark edilip tanımlanan özellik önce ona uyan diğer sayıları aramaya, devamında da bu tür sayıların davranışlarını incelemeye itmiştir matematikçileri. Size bu yazıda böyle bir sayıdan, Kaprekar sabitinden bahsedelim. Ancak öncesinde Kaprekar sayıları hakkında bilgi verelim.

Kaprekar Sayısı

Bu sayıyı bir örnek vererek anlatmaya başlayalım. 297 sayısının karesini alalım bu 88 209 olacaktır. Şimdi bu sayıyı iki parçaya ayrılım, 88 ve 209 sayılarını oluşturalım. Bu iki sayının toplamı 88 + 209 = 297 ilk sayımıza eşittir. Bu özelliği gösteren sayılara onu ilk keşfeden Hintli matematikçi Dattaraya Ramchandra Kaprekar‘ın (1905–1986) anısına Kaprekar Sayısı denir.

Örneğin 45 sayı­sını ele alalım: 45, 2 basamaklı bir sayı 452 = 2025 sağdan 2 basamak 25, sol­dan 2 basamak 20. Bu ikisinin toplamı da 20 + 25 = 45 yani sayının kendisi. Diğer bir örnek 173442 = 300814336, sağdan 5 basamak ve kalan 4 basama­ğın toplamı: 3008 + 14336 = 17344. Gerçekten ilginç değil mi? Aşağıda daha Kaprekar sayısı görebilirsiniz.

92 = 81…8 + 1 = 9
452 =2025…20 + 25 = 45
552 = 3025…30 + 25 = 55
7032 = 494209…494 + 209 =703
27282 = 7441984…744 + 1984 = 2728
48792 = 23804641…238 + 04641 = 4879
1428572 = 20408122449…20,408 + 122449 = 142857

Kaprekar sayısı sadece kare alma işleminde karşımıza çıkmaz. Bazen sayıların küpünü alırken de benzer bir durum oluşur. Bu sayıları da Kaprekar üçlüsü denir. Örneğin 453 = 91125 = 9 + 11 + 25 = 45 yapar. Diğer Kaprekar üçlüleri: 1, 8, 10, 297 ve 2322’dir. Daha fazlasını bulmak eğlenceli bir aktivite olabilir. Hazır Kaprekar sayılarından söz aç­ılmışken, bu sayılarla pek ilgisi olmayan, ama adını yine aynı kişiden alan Kaprekar sabitinden bahsetmeden geç­mek olmaz.

6174 sayısı ve Kaprekar Sabiti

Bir sayı tutmakla başladığımız oyunlar hesaplarda bir hata yapmazsak çoğu zaman ilginç bir sona ulaştırır bizleri. Şimdi böyle bir oyun oynayalım. Önce 4 basamaklı bir sayı tutalım mesela 4564. Sonra onu basamaklarının sayı değer­lerinin artış ve azalışına göre sıralayıp yeni iki sayı üretelim: 6544 ve 4456. Şimdi büyükten küçüğü çıkaralım: 6544 – 4456 = 2088. Aynı işlemleri çıkan sayı için de tekrar­layalım: 8820 – 0288 = 8532 ve 8532 – 2358 =6174

Sonuçta ulaşacağınız sayı her seferinde 6174 olacaktır. Bu nedenle 6174 sayısı Kaprekar sabiti olarak bilinir. Unutmayın, bunların hepsi rastgele seçilmiş basamakları aynı olmayan dört basamaklı bir sayı ile başlar ve en fazla 7 adımdan sonra her zaman 6174 sayısıyla biter, bu da sizi sonsuz bir döngüye sokar. Kaprekar’ın 1949’da yaptığı bu gözlemden sonra matematikçilerin ne­yin peşinden koştuğunu tahmin etmek artık zor değil.

Kaprekar Sabiti Benzeri Başka Sabitler de Var mı?

  • Bu sürekli çıkarma işlemini rastgele üç basamaklı ve basamakları birbirinden farklı sayılara uygularsak sürekli 495 sayısına ulaşırız. Bu durumda da benzer bir döngü elde ederiz.
  • 5 basamaklı­lar için birden fazla sabit mevcut.
  • 6 basamaklılar için 549945 sa­bit sayısına ulaşılıyor.

Dattaraya Ramchandra Kaprekar, Kaprekar Sabitini sayılar teorisine kazandırmış olmasına rağmen kendisinin formal bir matematik eğitimi yoktu. Bir matematik öğretmeni ya da matematik çalışmaları yapan birisi de değildi. O sadece sayılarla oynamayı seven oldukça zeki bir dünya vatandaşıydı. Önemli olan merak, devamı zaten kendiliğinden gelecektir…

Göz atmak isterseniz

Kaynak: Posamentier, Alfred S; Numbers: Their Tales, Types, and Treasures; 2015; Prometheus Books

Matematiksel

Sibel Çağlar

Yola Kadıköy Anadolu Lisesi ile başladım. Ardından gelen tesadüfler, zamanında pek de sevmediğim, matematik ile yolumu kesiştirdi. Sonucunda Marmara Üniversitesinde İng. Matematik öğretmenliğinden mezun oldum. Zaman akıp gitti; bu süreçte ben de çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. Bu esnada da bol bol matematik ile ilgili serzenişlere şahit oldum. Ne yapmalı diye düşünürken, aklıma bu site fikri geldi. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ve özelinde matematiğe ilgiliyi arttırmaktı. Matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarının da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Yolumuz uzun ama kesinlikle çok keyifli.

3 Yorum

  1. Kaçıncı denemende bunu fark ettin merak ediyorum

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Başa dön tuşu