Russell Paradoksu Kümeleri İle İlgili Düşünceleri Nasıl Değiştirdi?

Matematikte bazı terimler tanımsız kabul edilmektedir. Örneğin noktadoğrudüzlem kavramları tanımsız terimlerdir. Günümüzde kümeler konusunu okullarda öğretirken alışılagelmiş bir biçimde tanımıyla başlarız. Oysa ki küme de tanımsız bir terimdir. Yaygın olarak bilinen “iyi tanımlanmış nesneler topluluğu” tanımı da sorunludur ve yeterince anlaşılır değildir. Örneğin iyi tanımlanmış ne anlama gelir?

Matematikçi Georg Cantor ve diğer erken küme teorisyenleri, kümeler teorisini icat ederken, kümenin ne olduğu konusunda oldukça belirsiz bir fikirle yola çıkmışlar ve bu belirsizlik bazı ciddi sorunlara yol açmıştır.

Kümeler kuramının babası kabul edilen  Georg Cantor‘’un “iyi tanımlanmış her nesneler topluluğu bir kümedir” tanımı da bir paradoksa yol açmıştır. Bu paradoks ise günümüzde varlığını ortaya çıkaran kişinin adına ithafen Russell Paradoksu olarak bilinir. Paradoksa geçmeden önce arka plandaki sorunu kavramaya çalışalım.

Kümelerin, matematiğin farklı bölümlerinde birçok rol üstlenebilen esnek nesneler olmasını istiyoruz. {x, y, z} gibi sonlu bir değişkenler topluluğu bir küme olmalıdır. N = {1, 2, 3, 4, 5, …} gibi sonsuz bir sayı topluluğu da bir küme olmalıdır.

Geometride, verilen iki nokta arasındaki tüm noktaların (iki noktayı birleştiren doğru parçasının) bir küme olmasını isteriz. Yani düzlemdeki bir doğru parçasını da küme olarak düşünürüz. Ancak doğru parçalarını incelerken, düzlemdeki tüm doğru parçaları kümesinin özelliklerini analiz ederiz. Yani küme içindeki kümeler ile çalışırız.

Kümeleri diğer kümelerin içine yerleştirmeye başladıklarında, ilk küme kuramcıları bir soru ile karşı karşıya kaldılar. Bir küme kendisini bir eleman olarak içerebilir mi?

Russell Paradoksu Nedir?

Bertrand Russell
Bertrand Russell

Russell Paradoksu 1901’de Bertrand Russell tarafından ortaya çıkarılan ve küme teorisinin yeniden formüle edilmesini gerektiren bir paradokstur. Bu paradoks, orijinal biçiminde, kendilerinin üyesi olmayan tüm kümelerin kümesini dikkate alır.

Şimdi şu örneği ele alalım. Tüm doğal sayılar kümesine sahibiz. Bu nedenle, doğal sayı olmayan her şeyin kümesine de sahip olmamız mantıklıdır. Bu küme epeyce şey içerecektir – -3, 1/2 ve π sayıları doğal sayı değildir ve bu nedenle bu kümenin elemanı olurlar.

“Pizza” kelimesi de doğal bir sayı değildir, bu yüzden o da bu kümenin elemanı olacaktır. Ankara’da aynı kümeye ait olacaktır. İlginç biçimde “doğal sayı olmayan her şeyin kümesi” de doğal bir sayı olmadığı için, kendisinin bir elemanı olmalıdır. Aynı biçimde, kendisi bir küme olduğu için, tüm kümelerin kümesi de kendisini bir eleman olarak içermek zorunda kalacaktır.

Yüzyılın başlarında, Bertrand Russell, bu fikirle ilgili ciddi bir sorun belirledi. Russell, Gottlob Frege’nin sembolik mantık üzerine temel bir çalışmasını incelerken bu garip durumu keşfetti. Kendilerini eleman olarak içeren tüm kümelerin kümesine A kümesi diyelim. A kendini içerir mi? Cevap hem evet, hem de hayır. Birçok küme kendisinin elemanı değildir.

Örneğin, doğal sayılar kümesi, doğal sayı olmadığı için kendisinin elemanı değildir. Ama kendisinin elemanı olan kümeler de vardır. Örneğin domates olmayan tüm nesnelerin kümesi domates olmadığı için kendisinin elemanıdır. Bu durumda ‘kendisinin elemanı olmayan tüm kümelerin kümesi, kendisinin elemanı mıdır?’ sorusu paradoksa yol açar. Russell paradoksunun karşımıza çıktığı nokta da burasıdır.

Berber Paradoksu

Berber paradoksu, Bertrand Russell tarafından paradoksu örneklemek için kullanılmıştır. Köyün birinde bir berber varmış ve bu berber dükkanının önünde şöyle bir levha asılıymış “sadece kendini tıraş etmeyen erkekler tıraş edilir.” Yani bu berber o köydeki kendini tıraş etmeyen herkesi tıraş edermiş, kendini tıraş edenleri de tıraş etmezmiş. Peki ya berber? Berber tıraş olur mu?

berber paradoksu

Varsayalım ki berber kendini tıraş edenler arasında olsun, şayet böyle olursa levhaya göre ters bir durum ortaya çıkar. Levhaya göre berberin “kendini tıraş edenler” kısmında olması gerekmektedir. Ancak diğer grupta yani ” berbere tıraş olanlar” grubunda yer almaktadır. Her iki grupta da nasıl var olabilir? Aksi ifadeyi ele alacak olursak, berber, “kendini tıraş edenler” kısmında değil de “berbere tıraş olanlar” kısmında olsun. O zamanda yukarıdaki ifadeye benzer ters bir önerme karşımıza çıkacaktır.

Bu, doğrudan bir çelişkiye yol açar görünen bir durumdur, bir şeyin hem doğru hem de yanlış olduğunu söylemektir. Bir paradoksun yaptığı da budur. Russell’ın keşfettiği şey, bir küme kendinden söz ettiğinde bu tür bir paradoksun ortaya çıkacağıdır.

Russel Paradoksu ile Küme Kavramına Yeni Bir Bakış Açısı Geldi

Bu paradoks, kümeler kuramının diğer paradoksları gibi bugün ortadan kalkmıştır. Russell Paradoksu ve modern aksiyomatik küme teorisindeki çözümü, matematik anlayışımızın zaman içinde nasıl geliştiğini gösterir.

Aslında Russell, Alfred North Whitehead (1861–1947) ile birlikte Principia Mathematica’da kapsamlı bir tipler sistemi geliştirdi. Bu sistem zahmetli paradokslardan kaçınmasına ve tüm matematiğin inşasına izin vermekteydi. Ancak hiçbir zaman geniş çapta kabul görmedi.

Bunun yerine, bugün kullanılan aksiyomatik küme teorisinin en yaygın versiyonu, tip kavramından kaçınan ve kümeler evrenini belirli aksiyomlar kullanılarak verilen kümelerden oluşturulabilecek kümelerle sınırlayan Zermelo-Fraenkel küme teorisidir. Bu kuram paradoksu ortadan kaldırmaktadır ve kuram içinde küme kavramı tanımsız bırakılmıştır.

Russell paradoksu, Gödel’in eksiklik teoreminin kanıtının yanı sıra Alan Turing’in durma probleminin karar verilemezliğine ilişkin kanıtının temelini oluşturur.



Kaynak: Russell’s Paradox: Here’s Why Math Can’t Have A Set Of Everything; https://www.businessinsider.com/

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu