Mantığın temelleri, günümüzden 2300 yıldan daha uzun bir süre önce, Aristo tarafından atıldı. Aristoteles’in başarısı o kadar kapsamlı ve etkileyiciydi ki, on dokuzuncu yüzyıla kadar mantıkta nispeten az ilerleme oldu. Daha sonra, A System of Logic isimli kitabında (1843), John Stuart Mill tümevarımsal ve bilimsel akıl yürütme anlayışımızı önemli ölçüde geliştirdi.
Daha da önemli bir katkı Alman matematikçi ve mantıkçı Gottlob Frege tarafından1879 tarihli Begriffsschrift (Kavram Gösterimi) kitabında yapıldı. İşte bu nedenle çoğu kişi Gottlob Frege’yi mantığın ikinci kurucusu olarak kabul eder. Onun çalışmaları modern mantığın ve analitik felsefenin başlangıç noktasını oluşturur.
Aristoteles tümdengelim mantığı, skolastik filozoflar da mantığın diyalektik biçimini geliştirmiştir. Ancak Frege’nin başarısı, saf mantıktan matematiksel kanıtlar çıkarma çabasıyla bir işaret sistemi oluşturmuş olmasıdır. Frege’nin işaret sistemi argümanları, günlük dilin doğasında mevcut olan netlik sorunundan kaçınmak için geliştirdiği bir araçtır. Ayrıca, karmaşık yapısı giderek artan ifadelerin temsiline ve analizine olanak sağlayan önermeye ve yükleme dayalı bir hesap geliştirmiştir.
Gottlob Frege ve Aritmetiğin Temel Yasaları
Frege bir süre dil felsefesi üzerine çalıştıktan sonra, aritmetik yasalarını mantığa uyarlama projesine devam etti. Grundgesetze der Arithmetik [Aritmetiğin Temel Yasaları] çalışmasının ilk cildi 1893’de, ikinci cildiyse 1903 yılında yayımlandı. Bu çalışmasında, matematikte sınıf ve sınıfların sınıfları fikrini geliştirdi. Küme teorisini kullanan Gottlob Frege, belli bir sınıftan asal sayıları, benzeri türden tüm sınıfların sınıfı olarak tanımladı. Artık, tüm çelişkileri ortadan kaldıracak biçimde matematiğin ilkelerini aritmetik ve mantıktan türetmek için titiz bir çalışmaya girişmişti.
1901 yılında, ikinci cilt baskıdayken Bertrand Russell’dan bir mektup aldı. Russell, matematiğin ilkelerini kurma konusunda çalışıyordu. Ayrıca Frege’nin çalışmalarını da yakından takip ediyordu. Çalışmaları esnasında Frege’nin düşünme biçiminde bir hata buldu. Bu hata, Frege’nin deyişiyle, tüm yaşantısını adadığı çalışmanın temelini yok etmişti.
Russell Paradoksu olarak bilinen bu hata şu şekildedir. Bazı kümeler kendilerinin üyesidir, bazılarıysa değildir. Örneğin, felsefeciler kümesi kendisinin bir üyesi değildir çünkü bahsedilen şey bir kümedir, bir filozof değil. Ancak filozof olmayanlar kümesi kendisinin bir üyesidir. Dolayısıyla, kendilerinin üyesi olmadığı tüm kümelerin kümesi kendinin bir üyesi midir? Eğer öyleyse, demek ki değildir. Eğer değilse, demek ki öyledir.
Bizim açımızdan kavraması çok kolay olmasa da Gottlob Frege bu paradoksun önemini hemen kavrar. Bunun sonucunda da üzerinde 9 yıl boyunca çalışarak ulaştığı sonuçların temellerinin sarsıldığını anlar. Kitabın baskı plakaları hazırlanmıştır, temel değişikler yapabilmesi için çok geçtir. Kitabına bir son söz ekler. ” Bilimle uğraşan bir yazarın başına, çalışması tamamlandıktan sonra kurduğu yapının temellerinden birinin yanlış olduğunun anlaşılmasından daha talihsiz bir şey herhalde gelemez. Tam da bu cildin baskısı tamamlanmak üzereyken Bay Bertrand Russell’ın mektubunu aldığımda, düştüğüm durum tam olarak buydu. Gottlob Frege, The Foundations of Arithmetic Vol. II (1903).“
Gottlob Frege Tarafından Bertrand Russell’e Yazılan Mektup
Gottlob Frege, bir hafta sonra müthiş bir düş kırıklığı ve hüsran duygusuyla Russell’ın mektubunu yanıtlar:
“Sevgili meslektaş,
“İlginç mektubunuz için çok teşekkürler. Benimle çoğu konuda aynı düşüncede olmanıza ve çalışmamı ayrıntılarıyla tartışmak istediğinize sevindim. […] “Bulduğunuz çelişki beni çok büyük şaşkınlığa uğrattı, belki büyük üzüntüye demek daha doğru olur, çünkü aritmetik kuramını dayandırdığım temeli sarstı. Durum öylesine ciddi ki, 5. kuralın yanlışlığı, salt öne sürdüğüm temeli sarsmakla kalmıyor, galiba aynı zamanda aritmetiğin sağlam bir temele dayandırılamayacağını gösteriyor. […] Her durumda buluşunuz çok önemli -şimdilik bir müjde niteliği taşımasa da- ileride mantıkta büyük ilerlemelere neden olabilir. İkinci cilt yakında yayımlanacak. Kitabın sonuna bulduğunuz çelişkiden söz eden bir ek yazacağım elbet. Keşke doğru görüş açısına zamanında sahip olsaydım.”
Gottlob Frege
Russell’ın bu öngörüsü oldukça yıkıcı olsa da matematiğin temelini de bir sonraki aşamaya taşır. Öte yandan, Gottlob Frege’nin tutumu Russell’ı derinden etkiler. Russell duygularını 1962’de bu olayla ilgili kaleme aldığı bir mektupta aktarır. Entelektüel dürüstlük ve doğru sözlülük örneklerini düşündükçe şunu anlıyorum ki, Gottlob Frege’nin kendini hakikate adanmışlığıyla karşılaştırabilecek bildiğim hiçbir örnek yok.
Göz Atmak İsterseniz
KAYNAKLAR
- Stephen Trombley; Fifty Thinkers Who Shaped The Modern World; Kolektif Kitap, 2013
- Gottlob, F., Aritmetiğin Temelleri, Yapı Kredi Yayınları, 2008.
- Gottlob Frege; https://plato.stanford.edu/entries/frege/
Dip Not
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
