Geometri

Kartezyen mi, Kutupsal mı? Bize Hangi Koordinatlar Lazım?

Koordinatlar günlük hayatımızda önemli etkisi olan ve farkında olmadan her yerde karşımıza çıkan basit fikirlerden birisidir. Hemen her bilgisayar grafiğinde dahili koordinat sistemi bulunur mesela. Bir kağıdın üzerine bir nokta koydunuz ve bunun yerini tarif etmek istiyorsunuz diyelim. Bunu koordinatlar yardımıyla tarif edebilirsiniz. Ancak hangi koordinatlar?

Kartezyen Koordinat Sistemi

Aslında birçoğumuzun okul yıllarından aşina olduğu bir bilgi ile başlayalım.

Cartesian coordinates

Noktanın çevresine bir yatay, bir dikey çizgi çizip kartezyen koordinat oluşturup noktayı A(x0,y0) biçiminde kolaylıkla tanımlayabiliriz. Örneğin P noktası P (3,2) diye gösterilebilir. Ancak aslında bu noktayı göstermenin daha güzel bir yolu daha vardır. Polar koordinatlar yada diğer adı ile Kutupsal Koordinat Sistemi…

Kutupsal Koordinat Sistemi

Kutupsal koordinat ile kastedilen aynı P noktasını merkeze (orijin) olan uzaklık ve bir açı ile göstermektir. Açıyı belirtmek için Yunan harfi, θ (teta) kullanılır ve bir kutupsal koordinat, (x, y) yerine (r, θ) olarak gösterilir. Bu tıpkı bir aksiyon filmindeki bir denizaltının komutanının θ derecelik bir kerterizde millerce uzakta bir geminin olduğunu ilan etmesi gibi bir durumdur.

Kartezyen koordinat sistemi ile gösterilen bütün noktalar kutupsal koordinat sistemine ve kutupsal koordinat sistemindeki bütün noktalar kartezyen koordinat sistemine çevrilebilir. Elbette bu çeviriyi yapabilmek için bir miktar trigonometri bilmek gereklidir. Bazı şekilleri kartezyen sistemde açıklamak oldukça zor iken Polar koordinatlar yardımı ile bu iş oldukça kolaylaşır. Hangi şekiller bunlar derseniz mesela merkezi (0,0) ve yarıçapı 2 birim olan bir çember düşünelim. Düşünmenizi kolaylaştırmak için şekle göz atabilirsiniz. Bu çemberi iki biçimde ifade edebiliriz.

Kartezyen sistemde biraz da Pisagor teoremi yardımı ile \[ x^2+y^2=2^2=4. \] ve Polar sistemde $(2,\theta )$ biçiminde. Belki şu an için zorluk açısından fazla da fark yok gibi gelebilir sizlere. Ancak işleri biraz karıştıralım. Polar koordinatların genel olarak (r, θ) biçiminde gösterildiğini biliyoruz ya r=θ olursa yani (θ, θ) biçimli bir eğriyi çizmeye çalışırsak karşımıza nasıl bir görüntü çıkar dersiniz?

Unutmayalım θ bizim açımız ve bu açıyı öncelikle bir tur, yani 0 ile $2\pi $ arasında olacak biçimde alalım ve çizelim, daha sonra açımızı 2. 3. 4. turu atacak biçimde büyütelim. Karşınıza aşağıda videoda göreceğiniz gibi bir şekil çıkacaktır. İşte bu şeklin adı “Arşimet Spirali“dir.

Arşimet Spirali

Arşimet Spirali

İsmini, M.Ö. 3. yüzyılda yaşamış ve Spiraller Üzerine adlı kitabında bu eğrileri incelemiş olan Yunan matematikçi Arşimet’ten alır. Gördüğünün gibi düzgün dağılım gösteren bir spiral bu, işin güzel tarafı merkezden başlayan bir doğru çizdiğinizde doğrunun spirali kestiği noktaların arası her zaman $2\pi $ kadar olacaktır. Doğal olarak bu spirali kartezyen sistemde açıklamak oldukça zordur.

Kafalar biraz karıştı ise devam edelim. (r, θ) tanımımıza geri dönelim ve bu sefer $r=e^{\theta /5}$ olarak alalım. Burada  bildiğiniz gibi $e \approx 2.718$ değerine karşılık gelmektedir. Şimdi bu yeni koordinatlarımızı çizdiğimizde aslında karşımıza birçoğumuzun yakından tanıdığı bir şekil çıkacaktır. Öncelikle çizime bir göz atalım. İşte bu da logaritmik spiraldir.

Logaritmik Spiral

nautilus kabuğu

Logaritmik spiralde noktaların aralarındaki mesafeler, dışarıya doğru gidildikçe bir geometrik dizi halinde artar.

Güneş’in manyetik alanı gibi pek çok dinamik spiral ise Arşimet spiralidir. Doğada rastlanan durağan spiraller (nautilus kabuğu, sarmal galaksi, örümcek ağı, vs) logaritmik spirallerdir. Spirallerle ilgili anlatılacaklar elbette sadece bu kadar değil, ama şimdilik bu ön bilgi yeterli. Bundan sonra ne zaman kartezyen ne zaman polar sisteme ihtiyaç duyacağınız konusunda artık daha kolay karar vereceğinizi düşünüyorum.

Sibel Çağlar

Kaynak: Maths in a minute: Polar coordinates; https://plus.maths.org

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.