Koordinatlar günlük hayatımızda önemli etkisi olan ve farkında olmadan her yerde karşımıza çıkan basit fikirlerden birisidir. Bir kağıdın üzerine bir nokta koydunuz ve bunun yerini tarif etmek istiyorsunuz diyelim. Bunu koordinatlar yardımıyla tarif edebilirsiniz. Ancak hangi koordinatlar? Kutupsal mı yoksa kartezyen mi?
Okulda genellikle noktaları x ve y değerleriyle ifade etmeyi öğrenirsiniz. Yani bir noktayı tanımlamak için sağa ne kadar gideceğinizi ve yukarı ya da aşağı ne kadar hareket edeceğinizi söylersiniz. Bu yöntem oldukça kullanışlıdır ve pek çok problemde işe yarar. Ancak her zaman en uygun yöntem değildir.
Özellikle dairesel yapılar içeren problemlerde, bir noktayı bu şekilde tarif etmek gereksiz yere karmaşık hâle gelebilir. Böyle durumlarda noktayı “ne kadar sağa gittik” diye değil, “merkezden ne kadar uzaktayız ve hangi yöndeyiz” diye düşünmek daha doğal bir yaklaşım sunar.
Kutupsal Koordinat Sistemi Nedir?
İşte kutupsal koordinatlar tam olarak bu fikre dayanır. Bu sistemde bir noktayı iki bilgiyle ifade edersiniz. İlki, noktanın merkeze olan uzaklığıdır ve r ile gösterilir. İkincisi ise noktanın, pozitif x ekseniyle yaptığı açıdır ve θ ile ifade edilir.
Bu bakış açısıyla, bir noktaya ulaşmayı şu şekilde düşünebilirsiniz. Önce merkezden belirli bir açıyla dönersiniz, ardından o doğrultuda belli bir mesafe ilerlersiniz. Böylece noktaya ulaşırsınız. Bu yöntem özellikle çember, daire ve dönme hareketi içeren durumlarda oldukça etkilidir.
Kutupsal koordinatların dikkat çekici bir özelliği de aynı noktanın birden fazla şekilde ifade edilebilmesidir. Örneğin açıyı bir tam tur artırmak, noktayı değiştirmez. Benzer şekilde, bazı durumlarda mesafe ve açı birlikte değiştirilerek yine aynı noktaya ulaşılabilir.
Bu sistemin asıl avantajı ise alan hesaplarında ortaya çıkar. Kartezyen koordinatlarla zor görünen bazı bölgeler, kutupsal koordinatlarla çok daha düzenli bir yapıya dönüşür. Çünkü burada alan, küçük dikdörtgenler yerine küçük daire dilimleri olarak düşünülür. Bu da hesaplamayı daha doğal ve çoğu zaman daha kolay hâle getirir.
Arşimet Spirali
Kutupsal koordinatların gücünü daha iyi görmek için basit ama etkileyici bir örneğe bakalım. (r, θ) biçiminde tanımlanan bir noktada, eğer bu iki değeri eşit alırsanız, yani (r, r) şeklinde yazarsanız ilginç bir hareket ortaya çıkar, r arttıkça nokta merkezden uzaklaşır.
Aynı zamanda θ = r olduğu için açı da aynı hızda artar. Yani nokta sadece dışarı doğru gitmez, aynı zamanda sürekli dönerek ilerler. Bu iki hareket birleştiğinde ortaya bir spiral çıkar. Bu eğri, Arşimet spirali olarak adlandırılır.
r değeri büyüdükçe nokta merkez etrafında dönerek uzaklaşır ve her turda biraz daha dışarı açılır. Örneğin r değeri 0’dan 20π’ye kadar arttığında, nokta toplamda 10 tam tur atarak dışarı doğru ilerler.
Bu örnek, kutupsal koordinatların ne kadar doğal bir ifade sunduğunu açıkça gösterir. Çünkü bu spirali kutupsal koordinatlarda tek bir denklemle, r = θ şeklinde ifade edebilirsiniz. Aynı eğriyi Kartezyen koordinatlarla tanımlamak ise oldukça karmaşık hâle gelir.
Logaritmik Spiral
Benzer şekilde, farklı bir spiral türünü de kutupsal koordinatlarla oldukça basit biçimde ifade edebilirsiniz. Şimdi bu kez noktaları (r, θ) yerine ve 
olarak alalım. Burada bildiğiniz gibi 
değerine karşılık gelmektedir. Yani açı arttıkça, merkeze olan uzaklık üstel olarak büyür.
Bu durumda nokta, bir önceki örnekte olduğu gibi dönerek ilerler; ancak bu kez merkezden uzaklaşma hızı çok daha hızlıdır. Ortaya çıkan eğri, Arşimet spiralinden farklıdır. Daha gevşek sarılan bir yapı oluşur. Bu tür spirale logaritmik spiral denir. θ değeri 0’dan 8π’ye kadar arttığında, nokta toplamda 4 tur atar. Ancak her turda bir öncekine göre çok daha hızlı dışarı açılır.
Güneş’in manyetik alanı gibi zamanla değişen bazı spiral yapılar Arşimet spiraliyle iyi modellenir. Buna karşılık doğada sıkça karşılaşılan nautilus kabuğu, sarmal galaksiler ve örümcek ağları gibi yapılar genellikle logaritmik spiral özelliği gösterir. Spiraller konusu elbette bundan çok daha geniştir, ancak şimdilik bu temel ayrım yeterlidir.
Bundan sonra, bir problemi ele alırken Kartezyen mi yoksa kutupsal koordinatların mı daha uygun olduğuna daha kolay karar verebilirsiniz. Yazının devamında göz atmak isterseniz: Leonardo Da Vinci Imola Kentinin Kutupsal Haritasını Nasıl Yaptı?
Kaynaklar ve ileri okumalar:
Maths in a minute: Polar coordinates; Kaynak site: Plus math. Bağlantı: https://plus.maths.org
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
