Matematikte en ilgi çeken sayılardan biri pi sayısıdır fakat en az onun kadar önemli bir sabit daha vardır. Bu sabit ise adını fazla kimsenin duymadığı e sayısıdır. Bazı matematikçilerin Euler sayısı olarak da adlandırdığı Euler sabiti irrasyonel bir sayıdır, yani onu bir kesir olarak ifade edemezsiniz. Bu sayı 2,718281… olarak başlar ve diğer aşkın sayılar gibi sonsuza kadar devam eder.
Nüfus artışını belirlemede, finansal matematikle uğraştığımız zamanlarda, olasılık ve istatistik hesaplamalarında e sayısı sıkça karşımıza çıkar. Ama neden sorusu aslında pek bilinmez. Sonuçta pi sayısının mantığını anlamak kolaydır. Ama e sayısı nedir?
Bu sorunun cevabını birazdan vereceğiz. Ancak e sayısı gibi bir sabite neden ihtiyaç duyduğumuza anlayarak işe başlamalıyız. Bu matematiksel sabit ilk olarak 1600’lerin başında, karmaşık hesaplamaları basitleştirmeye yardımcı olmak için logaritma icat edildiğinde ortaya çıktı. İskoç matematikçi John Napier, üstel büyümeyi içeren hesaplamalar için özellikle iyi çalışan, 2.718… tabanına göre logaritma tabloları derledi. Bunlara daha sonra “doğal logaritmalar” adı verildi. Bu adın verilmesinin nedeni de bu sayının doğadaki birçok süreci matematiksel olarak tanımlamak için uygun olmasıydı.
e Sayısı Nedir?
Napier burada durdu. Sonuçta matematikte hesaplamaları kolaylaştıracak bir araç bulma misyonunu tamamlamıştı. Onun kaldığı yerden 1600’lerin sonlarında, İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli devam etti. Bileşik faizi hesaplamak için 2.718… kullandı. Ancak e sayısının ne olduğunu ilk kez düşünen kişi Leonhard Euler oldu. Sayının Euler sabiti olarak anılmasının da nedeni budur. Euler bu sayıyı 18 ondalık basamağa kadar hesapladı ve konu üzerine ilk çalışmasını 1727 yılında yazdı. Bu hesaplamayı da aşağıda gördüğünüz formül ile gerçekleştirdi.
Euler, e’yi 18 ondalık basamağa kadar hesapladıktan sonra sayının irrasyonel bir sayı olduğunu anladı. 1873’te Fransız matematikçi Charles Hermite, e’nin cebirsel olmadığını yani aşkın bir sayı olduğunu kanıtladı. Bunun anlamı şuydu. Bir denklemi çözerek bu sayının hesaplanması imkansızdı. Aşkın sayıları keyfi bir biçimde karıştırmaya başlarsak zorluklarla karşılaşırız. Örneğin e + π sayısının aşkın olup olmadığı bile bilinmemektedir. πe aşkın bir sayıdır, fakat aynı şeyin eπ için söylenip söylenemeyeceği bilinmemektedir.
e Sayısı Neden Önemlidir?
Büyümeyle ilgili konularda e sayısı kilit role sahiptir. Örneğin ekonomik büyüme ve nüfus büyümesi bunlar arasındadır. Radyoaktif bozunma modelleri de yine e sayısını temel alır. Ama tüm bu büyüme ilişkilerinin içinde ilgimizi en çok çeken şey ise elbette paradır. Aslında, e’yi tanımlamanın başka yolları da vardır ve sonuçta tüm tanımlar birbirine eşdeğerdir. Bu alternatif yollardan birisi de bileşik faiz hesaplarında karşımıza çıkmaktadır.
Öncelikle 100 liramız olduğunu düşünelim ve %100 faiz oranına sahip bir bankaya 1 yıllığına yatıralım. Yatırdığımız 100 liramız bize 1 yıl sonunda 200 lira olarak geri dönecektir. Şimdi parayı 6 aylığına %50’den faize yatıralım ve 6 ay sonunda elimize geçen paranın tamamını tekrar 6 aylığına %50’den faize yatıralım. Bu durumda 150+75 = 225 liramız olacaktır.
Şimdi paramızı 3’er aylık dönemlerde %25 faizle bankaya yatıralım. Benzer hesaplamaları yapacak olursak 100 liramızın 244,141 lira olduğunu görürüz. Eğer bu işi her ay tekrarlarsak 100 liramız 261,304 lira olur. Paramız gittikçe artıyor diye düşünebilirsiniz ama bununda bir sınırı vardır o sınır da e sayısıdır. İmkansız elbette ama paranızı saniyeler içinde yatırıp çekip tekrar yatırabilseydiniz yıl sonunda elinize geçen para 271,828 lira olacaktır. Bunu genellemek için oluşturulan bir de formül vardır. Bu formül bize e sayısının değerini yaklaşık olarak değerini verecektir.
Toplam Para: Yatırılan Para.( 1+1/n)n
Büyüme Eğrisi
Yukarıda örneğini verdiğimiz bileşik faiz hesaplaması üstel büyümeye bir örnektir. Bu tür bir büyüme bir grafik üzerinde çizilir ise bize bir eğri olarak görünecektir. Üstel fonksiyon, y eksenini (0,1)’de kesen ve giderek daha dik hale gelen y = ex eğrisini üretir. Aşağıda görmüş olduğunuz bu eğri bazı özelliklere sahiptir. Örneğin, y = ex grafiği, (0,1) noktasında, eğimi 1 olan doğruya teğettir. Bunun nedeni, ex‘in türevinin (değişim oranı) aslında ex olmasıdır.
Euler Sabiti Beklemediğimiz Yerlerde Karşımıza Çıkabilir
Bir dizi öğenin sıralanabileceği çeşitli yollara permütasyon denir. Örneğin 1, 2, 3 kümesi 1, 3, 2 veya 2, 1, 3 veya 2, 3, 1 veya 3, 1, 2 veya 3, 2, 1 olarak sıralayabiliriz. Bunu kısaca 3! (3 × 2 × 1) biçiminde gösteririz. Euler sayısı, düzensizlik adı verilen bir permütasyon türünde de önemlidir. Bir düzensizlikte, öğelerin hiçbiri orijinal konumlarında kalamaz.
Bu düzensizliklerin hesaplanması az elemanlı kümelerde deneme yoluyla hesaplansa da eleman sayısı arttıkça işler zorlaşır. İşte burada işin içine yine e sayısı girer. Bu sayı, herhangi bir kümedeki düzensizliklerin sayısını hesaplamayı mümkün kılar. Sonuç, e’ye bölünen ve en yakın tam sayıya yuvarlanan permütasyon sayısına eşittir. Örneğin 1, 2, 3 kümesi için, en 6 ÷ e = 2.207 yani yaklaşık 2’dir.
Euler, borçlarını ödemek için bir piyango yaratmayı planlayan Prusya Kralı Büyük Frederick için 10 sayının düzensizliğini analiz etmişti 10 sayı için Euler, bunun sonucunun 1⁄e olduğunu bulmuştu.
İlginç bir şekilde, bu 1 / e değeri, genellikle “sekreter sorunu” olarak bilinen başka bir alışılmadık durumda ortaya çıkar. Belirli bir iş için çok sayıda aday arasından bir sekreter seçmek istediğinizi ve bunun için mülakat yaptığınızı varsayalım. Doğru karar verebilmek için kaç aday ile mülakat yapmamız gerekir?. Görünüşe göre en iyi strateji ilk 1/e başvuranlarla (toplam başvuru sayısının yaklaşık % 37’si) kadar mülakat yapmaktır. Yaşamda her yerde gizli bir e sayısı saklıdır desek yanılmış olmayız galiba.
Göz atmak isterseniz…
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Joel L. Schiff, The Mathematical Universe: From Pythagoras to Planck; Springer Praxis Books
- What’s the Big Deal With Euler’s Number?;Yayınlanma tarihi: 2 mart 2021; Bağlantı: https://www.popularmechanics.com/
Dip Not
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım
