Temel Matematik

Mantık İle Cebirin Birleşimi: Boole Cebiri

Matematik hayattaki en basit şeylerin içinde gizlidir. Hatta bazen matematik parmaklarınızın ucundadır ancak bunu fark edemezsiniz. Örneğin gece eve geldiğinizde hava karanlıksa koridorun ışığını yakarsınız. Daha sonra, başka bir düğme ile tekrar kapatırsınız. Bu esnada pek aklımıza gelmez. İkinci düğme, ışığın açık olduğunu ve işinin onu kapatmak olduğunu nereden biliyor? Diğer düğme ile bir şekilde iletişim mi kuruyor? Bu sorunun yanıtı Boole cebiri ve modern bilgisayarların işleyişinin altında yatan ikili sistem için iyi bir örnek teşkil eder.

Aşağıda bir elektrik devresine bağlı bir ampul görüyorsunuz. Ucunda da bir açma kapama anahtarı var. Anahtar kapalı olursa devre tamamlanır ve ışık yanar. Açıksa, ışık yanmaz. Bunu sadece bir düğmeye basarak sağlamamız mümkündür.

Ancak iki anahtara bağlı bir devre kullanırsak işler ilginçleşir. Aşağıda gördüğünüz ilk devrede ışık sadece her iki geçit kapalı ise yanar. Diğerinde ise iki kapıdan en az biri kapalı olmak zorundadır. Şimdi işi kolaylaştıralım. Geçidin kapalı olması durumuna bir, açık olması durumuna da sıfır yazalım. Bu durumda karşımıza dört olasılık çıkar. Bu olasılıkları aşağıda görebilirsiniz.

Birinci Devre
1. Kapı1100
2. Kapı1010
Işık1000
İkinci Devre
1. Kapı1100
2. Kapı1010
Işık1110

Şimdi matematik ile elektrik devreleri arasındaki ilişkiyi anlamaya başlamış olmalısınız. Yukarıda gördüğünüz iki tablo bizlerin mantık dersinde öğrendiği VE ile VEYA bağlaçları için yaptığımız tablolar ile aynıdır. İlk tablo VE bağlacını göstermektedir. İkincisi ise VEYA. Matematik için ve, veya, değil ifadeleri çok önemlidir. Çünkü bunlar Boole cebrine yol açan matematiksel mantığın temelidir. Matematiksel mantık, matematikte sıklıkla ortaya çıkan karmaşık ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğuna karar vermek için kesin bir yol sağlar.

Ve, veya bağlaçları için bir doğruluk tablosu örneği.  Boole cebrinde ∧ işareti ile ifade edilen “ve”, ∨ işareti ile ifade edilen “veya”,  ¬ ile ifade edilen “değil” işlemleri bulunur.

Boole Cebiri Nedir?

Matematiğin insanlığı iki bin yıldan fazla süreden beri büyülemesinin iki ana nedeni vardır. Bunlardan birincisi, matematik bize evreni anlamak ve bir şeyler inşa etmek için ihtiyacımız olan araçları verir. İkincisi de, matematiksel nesnelerin incelenmesi, görünürde pratik uygulamaları olmasa bile güzel ve ilgi çekici olabilir. Gerçekten şaşırtıcı olan şey, bazen bir matematik dalının tamamen soyut bir şey olarak başlayıp sonrasında pratik bir kullanım alanı bulmasıdır. İngiliz matematikçi ve mantıkçı George Boole tarafından geliştirilen Boole cebiri bu anlamda önemli bir örnektir. Bertrand Russel’ın dediği gibi, George Boole çalışmasıyla kuramsal matematiğin yaratıcısı kabul edilebilir.

George Boole (1815 -1864) George Boole, matematikte büyük ölçüde kendi kendini yetiştirmişti. Ailesini desteklemek için on altı yaşında yerel ilkokullarda ders vermeye başladı ve yirmi yaşında kendi okulunu açtı. Boş zamanlarında klasik matematik kitapları okudu. Devamında sembolik yöntemler kullanarak özellikle cebir alanında makaleler yayınlamaya başladı.

Boole’un mantıkla ilgili araştırmaları alışılmadık bir şekilde başladı. 1847’de bir arkadaşı Augustus De Morgan, belirli bir fikir için övgüyü kimin hak ettiği konusunda bir filozofla tartışmaya girdi. Boole doğrudan bu tartışmaya dahil değildi. Ancak bu olay onu mantık ile matematiği nasıl birleştireceği konusunda düşünmeye zorladı. Sonunda Mathematical Analysis of Logic isimli makalesini kaleme aldı. Boole, matematiksel olarak ele alınabilmeleri için mantıksal argümanları çerçevelemenin bir yolunu keşfetmek istedi. Bunu başarmak için bir tür dilsel cebir geliştirdi. Toplama ve çarpma gibi işlemleri mantıkta kullanılan bağlaçlar ile değiştirdi. Boole’un sembolleri ve bağlaçları kullanması, mantıksal ifadelerin basitleştirilmesine izin verdi.

“Ve” “Veya” “Değil”

Boole cebirinin üç temel işlemi VE, VEYA ve DEĞİL idi. Boole, temel matematiksel işlevlerin yanı sıra küme karşılaştırmalarını gerçekleştirmek için gerekli olan tek işlemlerin bunlar olduğuna inanıyordu. Örneğin, mantıkta, “bu hayvanın tüyleri var” VE “bu hayvan yavrusunu sütle besliyor” gibi iki ifade VE ile bağlanabilir. A VE B ifadesi, A ve B’nin her ikisi de bireysel olarak doğru olduğunda doğrudur. “Bu hayvan yüzebilir” VEYA “bu hayvanın tüyleri var” biçiminde de bir cümle kurabiliriz. “A VEYA B” ifadesi, A ve B’den biri veya her ikisi de doğruysa doğrudur.

Boole sayıların cebirsel özelliklerini incelemiş ve {0, 1} kümesinin toplama ve çarpma gibi işlemlerle birlikte tutarlı bir cebirsel dil oluşturmak için kullanılabileceğini fark etmişti. 1854’te düşüncelerini yayınladı. Boole’un mantıksal cebirinde, doğruluk ve yanlışlık ikili değerlere indirgendi: doğru için 1 ve yanlış için 0. Benzerliğe rağmen, Boole’un 1 ve 0’ın doğru ve yanlış ikilisi ikili sayılarla aynı değildir. Boole cebirinin “yasaları”, diğer cebir biçimleri tarafından izin verilmeyen ifadelere izin verir. Ayrıca Boole cebrinde çıkarma ve bölme diye bir şey de yoktur. Bu cebirde VEYA toplama işlemi (1 + 1 = 1 dışında), VE ise çarpma işlemi gibi davranır. Boole cebirini görselleştirmenin bir yolu, İngiliz mantıkçı John Venn tarafından icat edilen hepimizin yakından tanıdığı Venn şemalarıdır.

AND -VE; OR- VEYA anlamına gelmektedir. Bu sayede kümeler arasındaki ilişkiler gösterilir.

Boole cebrini göstermenin en kolay yolu, olası tüm girdi kombinasyonlarının denendiği ve yazıldığı bir doğruluk tablosu yapmaktır. Bu doğruluk tabloları ilk olarak Amerikalı mantıkçı Charles Saunders Peirce tarafından 1893’te, Boole’un ölümünden yaklaşık 30 yıl sonra kullanıldı. Doğruluk tabloları çizerek daha karmaşık ifadeleri değerlendirmek de mümkün oldu.

Boole Cebiri Bilgisayar Çağını Başlattı

Boole cebiri günümüzde olasılıklar kuramı, kümeler ve bilişim için son derecede değerlidir. Ayrıca, elektronik sayısal bilgisayarlarda kullanılan devrelerin tasarımı için gerekli olan temeli oluşturmaktadır. Sizin de tahmin edebileceğiniz gibi bilgisayar çağını başlatan da Boole cebiri olmuştur.

Mantık kapıları, bilgisayar devrelerinin önemli bir parçasını oluşturur. Arka plandaki fikir Boole Cebirine göre çalışmaktadır.

Boole’un ölümünden yaklaşık 70 yıl sonra fikirlerinin potansiyeli önemi anlaşıldı. Bu Amerikalı mühendis Claude Shannon, adında yirmi bir yaşında bir gencin lisansüstü tezinde Boole cebirinin elektrikli sistemlerde nasıl kolaylıklar yaratacağını anlatmasıyla oldu. “Röle ve Anahtar Devrelerin Sembolik bir Analizi” adlı tezi 1938 yılında basıldığında yirminci yüzyılda insanlığın ne yöne gideceğini erkenden ilan ediyordu.

Günümüzde bilgisayar yazılımlarını programlamak için kullanılan kodların yapı taşları, Boole tarafından formüle edilen mantığa dayanmaktadır. Boole mantığı aynı zamanda internet arama motorlarının nasıl çalıştığının merkezinde yer alır. İnternetin ilk zamanlarında, VE, VEYA ve DEĞİL komutları, aranan belirli şeyi bulmak için sonuçları filtrelemede yaygın olarak kullanılıyordu. Ancak teknolojideki gelişmeler, günümüzde insanların daha doğal bir dil kullanarak arama yapmasına olanak tanıyor. Ancak arka planda hala aynı sistem çalışıyor. Örneğin “George Boole” için yapılan bir arama, iki kelime arasında görünmeyen bir VE konutu içeriyor. Böylece sonuçlarda yalnızca her iki adı da içeren web sayfaları ekranımıza yansıyor.

Kaynaklar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu