Cebir

Mantık İle Cebirin Birleşimi: Boole Cebiri

Matematiğin insanlığı iki bin yıldan fazla süreden beri büyülemesinin iki ana nedeni vardır. Bunlardan birincisi, matematik bize evreni anlamak ve bir şeyler inşa etmek için ihtiyacımız olan araçları verir. İkincisi de, matematiksel nesnelerin incelenmesi, görünürde pratik uygulamaları olmasa bile güzel ve ilgi çekici olabilir. Gerçekten şaşırtıcı olan şey, bazen bir matematik dalının tamamen soyut bir şey olarak başlayıp sonrasında pratik bir kullanım alanı bulmasıdır. İngiliz matematikçi ve mantıkçı George Boole (1815 -1864) tarafından 1840’larda ve 50’lerde geliştirilen Boole cebiri bu anlamda önemli bir örnektir. Bertrand Russel’ın dediği gibi, George Boole çalışmasıyla kuramsal matematiğin yaratıcısı kabul edilebilir.

George Boole (1815 -1864) George Boole, matematikte büyük ölçüde kendi kendini yetiştirmişti. Ailesini desteklemek için on altı yaşında yerel ilkokullarda ders vermeye başladı ve yirmi yaşında kendi okulunu açtı. Boş zamanlarında klasik matematik kitapları okudu. Devamında sembolik yöntemler kullanarak özellikle cebir alanında makaleler yayınlamaya başladı.

Boole cebiri kısaca mantık ile cebirin birleşimidir. Bu sayede mantık dersinde öğrendiğimiz doğru veya yanlış olarak tanımladığımız önermeler matematiksel işlemler gerçekleştirmek için kullanılabilir. Biçimsel mantık, ifadelerin veya önermelerin doğruluğu veya yanlışlığı ile ilgilenir. 1854’te Boole, Aristoteles’in mantık sistemi üzerine An Investigation of the Laws of Thought adlı bir inceleme yazdı. Bu, daha sonra Boole cebiri olarak bilinen şeyin temelini oluşturdu. Bu sayede doğru bir argüman içeren cümleyi 1, yanlış bir cümleyi ise 0 olarak nitelendirmeye başladık. Bunları da belirli kuralları olan mantıksal bağlaçlar ile birleştirerek bileşik önermelerin doğruluk durumları hakkında fikir yürüttük.

“Ve” “Veya” “Değil” – Boole Cebiri Nedir?

Ve, veya bağlaçları için bir doğruluk tablosu örneği.  Boole cebrinde ∧ işareti ile ifade edilen “ve”, ∨ işareti ile ifade edilen “veya”,  ¬ ile ifade edilen “değil” işlemleri bulunur.

Normal cebirde, sayıları temsil eden değişkenler toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi aritmetik işlemleri kullanarak formüllerde ve denklemlerde bir arada kullanılabilir. Benzer şey Boole cebiri içinde geçerlidir. Örneğin “X ve Y doğrudur” ifadesi X × Y = 1 denklemine dönüştürülür. “X veya Y yanlıştır” ifadesi X + Y = 0 olur. Ancak bu cebirde çıkarma işleminin karşılığı yoktur. Çünkü çıkarma işlemi negatif sayılarla ilgilidir ve Boole cebirinde ise negatif sayılara yer yoktur. Bu cebirde sadece 1 ve 0 vardır. Aynı mantıkla bölme işlemi de Boole cebirinde bulunmaz.

Normal cebir gibi Boole Cebiri de değişkenleri ifade etmek için harfleri kullanmaktadır. Yalnız normal cebirden farklı olarak değişkenler sadece büyük harfler ile gösterilmektedir. Boole cebirinin bazı temellerine hızlıca bir göz atalım. Birinci örnekte toplama işlemini ele alalım. 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 1. Bu, mantıktaki “veya” işlevine benzer. Burada 1 “doğru” nun yerini alabilir ve 0 “yanlış” ın yerini alır. İkiden çok terimi toplama durumunda da aynı kurallar geçerlidir. Örneğin: 1 +0 + 1 + 1 +1 + 0 = 1 yapacaktır.

Aynı mantık anahtarlama devrelerinde de geçerlidir.

Boole cebirinde, mantıksal akıl yürütme için “ve” kurallarını izleyen çarpma işlemine de sahibiz. Yani, her ikisi de doğru olduğunda bir şey doğrudur. Bunu sembolik olarak şu şekilde gösterebiliriz. 0 × 0 = 0; 0 × 1 = 0; 1 × 0 = 0; 1 × 1 = 1

Işığın yanması için her iki anahtarın da kapatılması gerekmektedir.

Boole cebiri günümüzde olasılıklar kuramı, kümeler ve bilişim için son derecede değerlidir. Ayrıca, elektronik sayısal bilgisayarlarda kullanılan devrelerin tasarımı için gerekli olan temeli oluşturmaktadır. Sizin de tahmin edebileceğiniz gibi bilgisayar çağını başlatan da Boole cebiri olmuştur.

Boole Cebirinin Ortaya Çıkışından 100 Yıl Sonra

george-boole
2015 yılında Google, George Boole’yi 200. doğum gününde unutmayarak böyle bir Doodle hazırlamıştı.

Boole cebri yaklaşık bir yüzyıl kendine belirgin bir kullanım alanı bulamasa da çalışmanın önemi ve hayatımıza girmesi, Claude Shannon adında yirmi bir yaşında bir gencin lisanüstü tezinde Boole cebirinin elektrikli sistemlerde nasıl kolaylıklar yaratacağını anlatmasıyla oldu. “Röle ve Anahtar Devrelerin Sembolik bir Analizi” adlı tezi 1938 yılında basıldığında yirminci yüzyılda insanlığın ne yöne gideceğini erkenden ilan ediyordu. Shannon’ın yeniliği, anahtar ağlarının tasarımını büyük ölçüde kolaylaştırdı ve matematiksel bir çerçeveye oturttu.

Bu sistemde yer alan 0 ve 1, sırasıyla açık (on) ve kapalı (off) devrelerle eş anlamlıdır. Sayısal bilgisayar devreleri uygulamasında ise ikili değişkenler üzerinde tanımlanan sayısal operasyonları gösterir. Bu devreler daha sonra modern bilgisayarlara dönüştü ve George Boole mantığından türetilen komut dizileri de programlama dillerinde kullanılmaya başlandı. Boole cebiri elektronik devre tasarımının da temel matematiğidir. Bütün elektronik çipler bu matematiğe dayanır. Devrelerde “1” ise yüksek gerilim seviyesini , “0” ise alçak gerilim seviyesini gösterir. Gördüğünüz gibi bazen saf matematikteki gelişmeler, on yıllar veya yüzyıllar sonra şaşırtıcı uygulamalara sahip olabilir.

Kaynaklar:

  • This Simple Math Concept Went Nowhere For A Century And Then — BOOM — Computers; https://www.businessinsider.com
  • Alfred S. Posamentier and Christian Spreitzer; Math Makers; Prometheus Books

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.