George Boole Ve 0 İle 1’lerin Dünyası Boole Cebiri

George Boole (1815-1864) çalışmaları ile günümüz bilgisayarlarının ve cep telefonlarının temellerini sağladı. Üstelik bunların hepsi ilk bilgisayarlar icat edilmeden çok önce gerçekleşti. Bazen bir matematik dalı tamamen soyut bir şey olarak başlayıp sonrasında pratik bir kullanım alanı bulur. İngiliz matematikçi ve mantıkçı George Boole tarafından geliştirilen Boole cebiri bu anlamda önemli bir örnektir.

Aşağıda bir elektrik devresine bağlı bir ampul görüyorsunuz. Ucunda da bir açma kapama anahtarı var. Anahtar kapalı olursa devre tamamlanır ve ışık yanar. Açıksa, ışık yanmaz. Bunu sadece bir düğmeye basarak sağlamamız mümkündür.

Ancak iki anahtara bağlı bir devre kullanırsak işler ilginçleşir. Aşağıda gördüğünüz ilk devrede ışık sadece her iki geçit kapalı ise yanar. Diğerinde ise iki kapıdan en az biri kapalı olmak zorundadır. Şimdi işi kolaylaştıralım. Geçidin kapalı olması durumuna bir, açık olması durumuna da sıfır yazalım. Bu durumda karşımıza dört olasılık çıkar. Bu olasılıkları aşağıda görebilirsiniz.

Birinci Devre
1. Kapı1100
2. Kapı1010
Işık1000
İkinci Devre
1. Kapı1100
2. Kapı1010
Işık1110

Yukarıda gördüğünüz iki tablo bizlerin mantık dersinde öğrendiği VE ile VEYA bağlaçları için yaptığımız tablolar ile aynıdır. İlk tablo VE bağlacını göstermektedir. İkincisi ise VEYA. Matematik için ve, veya, değil ifadeleri çok önemlidir. Çünkü bunlar Boole cebrine yol açan matematiksel mantığın temelidir. Matematiksel mantık, matematikte sıklıkla ortaya çıkan karmaşık ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğuna karar vermek için kesin bir yol sağlar.

Ve, veya bağlaçları için bir doğruluk tablosu örneği.  Boole cebrinde ∧ işareti ile ifade edilen “ve”, ∨ işareti ile ifade edilen “veya”,  ¬ ile ifade edilen “değil” işlemleri bulunur.

Boole Cebiri Nedir?

George Boole (1815 -1864) George Boole, matematikte büyük ölçüde kendi kendini yetiştirmişti. Ailesini desteklemek için on altı yaşında yerel ilkokullarda ders vermeye başladı ve yirmi yaşında kendi okulunu açtı. Boş zamanlarında klasik matematik kitapları okudu. Devamında sembolik yöntemler kullanarak özellikle cebir alanında makaleler yayınlamaya başladı.

George Boole
George Boole

İlk yazıları Cambridge Mathematics Journal’da yayınlandı ve çalışmaları kısa süre sonra Royal Society’nin dikkatini çekti. 1844’te Boole, genel bir analiz yöntemi üzerine makalesi nedeniyle Kraliyet Cemiyeti’nin Kraliyet Madalyası ile ödüllendirildi.

İlerleyen süreçte Boole, matematiksel olarak ele alınabilmeleri için mantıksal argümanları çerçevelemenin bir yolunu keşfetmek istedi. Bunu başarmak için bir tür dilsel cebir geliştirdi. Toplama ve çarpma gibi işlemleri mantıkta kullanılan bağlaçlar ile değiştirdi. Boole’un sembolleri ve bağlaçları kullanması, mantıksal ifadelerin basitleştirilmesine izin verdi.

“Ve” “Veya” “Değil”

Boole cebirinin üç temel işlemi VE, VEYA ve DEĞİL idi. Boole, temel matematiksel işlevlerin yanı sıra küme karşılaştırmalarını gerçekleştirmek için gerekli olan tek işlemlerin bunlar olduğuna inanıyordu. Örneğin, mantıkta, “bu hayvanın tüyleri var” VE “bu hayvan yavrusunu sütle besliyor” gibi iki ifade VE ile bağlanabilir.

A VE B ifadesi, A ve B’nin her ikisi de bireysel olarak doğru olduğunda doğrudur. “Bu hayvan yüzebilir” VEYA “bu hayvanın tüyleri var” biçiminde de bir cümle kurabiliriz. “A VEYA B” ifadesi, A ve B’den biri veya her ikisi de doğruysa doğrudur.

Boole sayıların cebirsel özelliklerini incelemiş ve {0, 1} kümesinin toplama ve çarpma gibi işlemlerle birlikte tutarlı bir cebirsel dil oluşturmak için kullanılabileceğini fark etmişti. 1854’te düşüncelerini yayınladı. Boole’un mantıksal cebirinde, doğruluk ve yanlışlık ikili değerlere indirgendi: doğru için 1 ve yanlış için 0.

Benzerliğe rağmen, Boole’un 1 ve 0’ın doğru ve yanlış ikilisi ikili sayılarla aynı değildir. Boole cebirinin “yasaları”, diğer cebir biçimleri tarafından izin verilmeyen ifadelere izin verir. Ayrıca Boole cebrinde çıkarma ve bölme diye bir şey de yoktur. Bu cebirde VEYA toplama işlemi (1 + 1 = 1 dışında), VE ise çarpma işlemi gibi davranır. Boole cebirini görselleştirmenin bir yolu, İngiliz mantıkçı John Venn tarafından icat edilen hepimizin yakından tanıdığı Venn şemalarıdır.

AND -VE; OR- VEYA anlamına gelmektedir. Bu sayede kümeler arasındaki ilişkiler gösterilir.

Boole cebrini göstermenin en kolay yolu, olası tüm girdi kombinasyonlarının denendiği ve yazıldığı bir doğruluk tablosu yapmaktır. Bu doğruluk tabloları ilk olarak Amerikalı mantıkçı Charles Saunders Peirce tarafından 1893’te, Boole’un ölümünden yaklaşık 30 yıl sonra kullanıldı. Doğruluk tabloları çizerek daha karmaşık ifadeleri değerlendirmek de mümkün oldu.

Boole Cebiri Bilgisayar Çağını Başlattı

Boole cebiri günümüzde olasılıklar kuramı, kümeler ve bilişim için son derecede değerlidir. Ayrıca, elektronik sayısal bilgisayarlarda kullanılan devrelerin tasarımı için gerekli olan temeli oluşturmaktadır. Sizin de tahmin edebileceğiniz gibi bilgisayar çağını başlatan da Boole cebiri olmuştur.

Mantık kapıları, bilgisayar devrelerinin önemli bir parçasını oluşturur. Arka plandaki fikir Boole Cebirine göre çalışmaktadır.

Boole’un ölümünden yaklaşık 70 yıl sonra fikirlerinin potansiyeli önemi anlaşıldı. Bu Amerikalı mühendis Claude Shannon, adında yirmi bir yaşında bir gencin lisansüstü tezinde Boole cebirinin elektrikli sistemlerde nasıl kolaylıklar yaratacağını anlatmasıyla oldu. “Röle ve Anahtar Devrelerin Sembolik bir Analizi” adlı tezi 1938 yılında basıldığında yirminci yüzyılda insanlığın ne yöne gideceğini erkenden ilan ediyordu.

Günümüzde bilgisayar yazılımlarını programlamak için kullanılan kodların yapı taşları, Boole tarafından formüle edilen mantığa dayanmaktadır. Boole mantığı aynı zamanda internet arama motorlarının nasıl çalıştığının merkezinde yer alır. İnternetin ilk zamanlarında, VE, VEYA ve DEĞİL komutları, aranan belirli şeyi bulmak için sonuçları filtrelemede yaygın olarak kullanılıyordu.

Ancak teknolojideki gelişmeler, günümüzde insanların daha doğal bir dil kullanarak arama yapmasına olanak tanıyor. Ancak arka planda hala aynı sistem çalışıyor. Örneğin “George Boole” için yapılan bir arama, iki kelime arasında görünmeyen bir VE konutu içeriyor. Böylece sonuçlarda yalnızca her iki adı da içeren web sayfaları ekranımıza yansıyor.



Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu