Euler Her Yerde! Dokuz Nokta Çemberi ve Euler Doğrusu

Geometrideki en zevkli şeylerden birisi kuşkusuz, gerçekte birbiriyle ilişkisiz görünen noktaların ilişkilerini göstermek­tir. Bu yazıda bu ilişkilerden ikisini ele alalım.

Doğrusal olmayan üç noktadan bir çember çizilebildiğini biliriz. Karşılıklı açıları toplamı 180 derece yapan dörtgenlerin köşelerinden de bir çemberin geçebildiğini bildiğinizi kabul ediyoruz. Yani, birisi aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta seçtiğinde bunlar, bu üç noktayı içine alan tek bir çember belirler. Aynı çemberde bir dördün­cü nokta ortaya çıkarsa bu oldukça dikkate değerdir. Hele ki aynı çember üzerinde dokuz nokta olduğunu gösterebilirsek bu gerçekten önemli bir başarı olur.

Aslında aynı çember üzerinde yer alan üçten fazla nokta bulmak matematikçiler için uzun süre devam eden bir uğraşı olmuştur. 18. ve 19. yüzyıl matematikçileri, analiz ve cebirle çok ilgilenmelerine rağmen, geometrik yapıları keşfetmeye devam ettiler. 1765’te İsviçre doğumlu ünlü matematikçi Leonhard Euler, bir üçgenden oluşturulan dokuz noktanın bir daire üzerinde uzandığını gösterdi. Dokuz nokta çemberinin üzerinde bulunan noktaların altısının, kenarların orta noktaları ve yüksekliklerin ayaklarının, aynı çember üze­rinde olduğunu ispatladı.

1820’de, Charles Julien Brianchon ve Jean Victor Poncelet tarafından konuyla ilgili bir makale yayınlandığında geri kalan noktaların da aynı çember üzerinde olduğu gösterilebildi. Daha sonra işin içine Alman matematikçi Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) dahil oldu. Kendisi 1822’de teoremi açıklayan ve kanıtlayan bir makale yayınladı. Bu çalışmalarının sonucunda günümüzde adı ile anılan Feuerbach çemberi ve Feuerbach noktası da mevcuttur. ( Detay için bu yazıya göz atabilirsiniz.)

Dokuz Nokta Çemberinin Gösterimi

Öncelikle bir üçgen çizelim. Ardından bu üçgende aşağıdaki dokuz noktayı belirleyelim. Tepe noktalarından karşı kenara çizilen dikmelerin bu kenarları kestiği noktalar bizim ilk üç noktamız olacak. Kenarların orta noktaları bize üç nokta daha verecek. Köşeleri diklik merkezine birleştiren doğru parçalarının orta noktaları bize üç tane daha nokta verir. Sonucunda bu dokuz nokta aynı çember üzerindedir ve “dokuz nokta çemberi” işte bu çemberdir.

Üçgenin tepe noktalarından karşı kenarların orta noktalarına giden doğrular, yani kenar ortaylar da bir noktada kesişirler. Bu ortak noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir. Üçgenin ağırlık merkeziyle diklik merkezini birleştiren doğrunun orta noktası dokuz nokta çemberinin merkezidir. Üçgenin kenarlarına orta noktalarından çizilen dikmeler de bir noktada kesişir. Bu nokta aynı zamanda üçgenin üç tepe noktasını içeren dış çemberin de merkezidir. Euler dokuz nokta çemberinin çapı işte bu dış çemberin yarıçapına eşittir.

ABC üçgeninde H, G, I noktaları köşelerden karşı kenarlara indirilen dikmelerin ayakları, S noktası bu dikmelerin kesiştiği nokta, yani diklik merkezi, J, K, L noktaları da üçgenin köşelerini diklik merkezine birleştiren doğru parçalarının orta noktaları. F, D, E noktaları da üçgenin kenarlarının orta noktaları. Kırmızı çember de bu dokuz noktadan geçen Euler dokuz nokta çemberidir.

Euler Doğrusu

Euler doğrusu, geometri ile uğraşmayı seven kişiler arasında oldukça popülerdir. Bu, üçgenin düzleminde, iyi bilinen birçok önemli noktadan geçen ve böylece tüm bu noktaların eşdoğrusal olduğunu kanıtlayan özel bir çizgidir. Noktaların doğrusallığı, belirli karmaşık saf geometri problemlerinin çözümünde çok faydalıdır. 

Biraz hatırlamaya çalışalım. Sonucunda lisede temel geometri eğitimi alırken üçgen ile ilgili bir çok özel nokta ile tanışmıştık. Bunlardan en temel olan iç teğet çemberin merkezi, diklik merkezi, ağırlık merkezi ve dış teğet çemberin merkezi olarak aklınıza gelebilecektir. Ancak bu noktaları bir arada düşündüğümüz zaman karşımıza şaşırtıcı bir sonuç çıkar. Bu 4 nokta doğrusaldır yani aynı doğru üzerindedir. Bu sonuç 1763’te matematikçi Leonhard Euler (1707-1783) tarafından keşfedildiği içinde dört noktayı üzerinde barındıran doğruya Euler doğrusu denir. Bunun doğruluğunu kendiniz denemeler yaparak gözlemleyebilirsiniz.

Euler Doğrusu: Üçgenin dar açılı, geniş açılı veya dik açılı olması doğrusallığı bozmamaktadır.

Tüm üçgenler için böyle bir çizginin var olması oldukça beklenmedik bir durumdur ve üçgen merkezleri arasındaki bağıl uzaklıkların sabit kalması gerçeğiyle daha da etkileyici hale gelmiştir. Matematikte hangi taşı kaldırsak altından Euler adı çıkıyor diye düşünüyorsanız haklısınız!


Göz Atmanızı Öneririz


Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz