Geometri

Euler Her Yerde! Dokuz Nokta Çemberi ve Euler Doğrusu

Doğrusal olmayan üç noktadan bir çember çizilebildiğini biliriz. Karşılıklı açıları toplamı 180 derece yapan dörtgenlerin köşelerinden de bir çemberin geçebildiğini bildiğinizi kabul ediyoruz. ( Bir paralelkenarın köşelerinden çember geçiremezsiniz mesela çünkü karşılıklı açılar toplamı şartını sağlamaz.) Bununla birlikte, aynı çember üzerinde yer alan dörtten fazla nokta bulmak matematikçiler için uzun süre devam eden bir uğraşı olmuştur.

1765’te Leonhard Euler, bir çember üzerinde üçgenin kenarlarına ait altı noktasının bulunabileceğini bizlere göstermişti. Euler bir üçgendeki dış çemberin merkezi, ağırlık merkezi ve diklik merkezinin aynı doğru üzerinde olduğunu ve ağırlık merkeziyle diklik merkezi arasındaki mesafenin ağırlık merkeziyle dış çember merkezi arasındaki mesafenin iki katı olduğunu da kanıtlamıştı. 1820’ye gelindiğinde de Fransız matematikçiler Charles Julien Brianchon (1783-1864) ve Jean-Victor Poncelet (1788-1867) tarafından yayınlanan bir makale Euler’in altı noktalı çemberine üç nokta daha eklenmesini sağladı. Böylece dokuz nokta çemberi fikri ortaya çıkmış oldu. Alman matematikçi Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834), 1822’de yayınladığı makalesi ile eksik kalan detayları tamamladı. Bu sayede Feuerbach çemberi olarak da bilinen dokuz nokta çemberi geometri literatürüne girmiş oldu.

Dokuz Nokta Çemberinin Gösterimi

Bir üçgen alalım ve bu üçgende aşağıdaki dokuz noktayı belirleyelim.Tepe noktalarından karşı kenara çizilen dikmelerin bu kenarları kestiği noktalar bizim ilk üç noktamız olacak. Kenarların orta noktaları bize üç nokta daha verecek. Köşeleri diklik merkezine birleştiren doğru parçalarının orta noktaları bize üç tane daha nokta verir.

Bu dokuz nokta aynı çember üzerindedir ve “dokuz nokta çemberi” işte bu çemberdir. Üçgenin tepe noktalarından karşı kenarların orta noktalarına giden doğrular, yani kenar ortaylar da bir noktada kesişirler. Bu ortak noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir. Üçgenin ağırlık merkeziyle diklik merkezini birleştiren doğrunun orta noktası dokuz nokta çemberinin merkezidir. Üçgenin kenarlarına orta noktalarından çizilen dikmeler de bir noktada kesişir. Bu nokta aynı zamanda üçgenin üç tepe noktasını içeren dış çemberin de merkezidir. Euler dokuz nokta çemberinin çapı işte bu dış çemberin yarıçapına eşittir.

ABC üçgeninde H, G, I noktaları köşelerden karşı kenarlara indirilen dikmelerin ayakları, S noktası bu dikmelerin
kesiştiği nokta, yani diklik merkezi, J, K, L noktaları da üçgenin köşelerini diklik merkezine birleştiren doğru parçalarının orta noktaları. F, D, E noktaları da üçgenin kenarlarının orta noktaları.
Kırmızı çember de bu dokuz noktadan geçen Euler
Dokuz Nokta Çemberi.

Euler Doğrusu

Biraz hatırlamaya çalışalım. Lisede temel geometri eğitimi alırken üçgen ile ilgili bir çok özel nokta ile tanışmıştık. Bunlardan en temel olan iç teğet çemberin merkezi, diklik merkezi, ağırlık merkezi ve dış teğet çemberin merkezi hafızanızı zorlarsanız aklınıza gelebilecektir. Bu noktaları bir arada düşündüğümüz zaman karşımıza şaşırtıcı bir sonuç çıkar. Bu 4 nokta doğrusaldır yani aynı doğru üzerindedir. Bu sonuç 1763’te matematikçi Leonhard Euler (1707-1783) tarafından keşfedildiği içinde dört noktayı üzerinde barındıran doğruya Euler doğrusu denir. Bunun doğruluğunu kendiniz denemeler yaparak gözlemleyebilirsiniz.

Euler Doğrusu: Üçgenin dar açılı, geniş açılı veya dik açılı olması doğrusallığı bozmamaktadır.

Bu yazının sonunda matematikte hangi taşı kaldırsak altından Euler çıkıyor diye düşünüyorsanız evet haklısınız!

Göz Atmanızı Öneririz

Kaynak:

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.