GEOMETRİ

Euler Dokuz Nokta Çemberi ve Euler Doğrusu

Bir üçgen alalım ve bu üçgende aşağıdaki dokuz noktayı belirleyelim.
Tepe noktalarından karşı kenara çizilen dikmelerin bu kenarları kestiği noktalar bizim ilk üç noktamız olacak. Kenarların orta noktaları bize üç nokta daha verecek.

Yukarıda bahsettiğimiz dikmeler bir mucize sonucu aynı noktada kesişirler. Bu ortak noktaya üçgenin diklik merkezi denir. Köşeleri bu diklik merkezine birleştiren doğru parçalarının orta noktaları bize üç tane daha nokta verir.

Bu dokuz nokta aynı çember üzerindedir ve “Euler dokuz nokta çemberi” işte bu çemberdir. Üçgenin tepe noktalarından karşı kenarların orta noktalarına giden doğrular, yani kenar ortaylar da bir başka mucize sonucu bir noktada kesişirler. Bu ortak noktaya üçgenin ağırlık merkezi ya da kısaca merkezi denir.

Üçgenin ağırlık merkeziyle diklik merkezini birleştiren doğrunun orta noktası Euler dokuz nokta çemberinin merkezidir.

Yine bir mucize sonucu üçgenin kenarlarına orta noktalarından çizilen dikmeler de bir noktada kesişir. Bu nokta aynı zamanda üçgenin üç tepe noktasını içeren dış çemberin de merkezidir. Euler dokuz nokta çemberinin çapı işte bu dış çemberin yarıçapına eşittir.

ABC üçgeninde H, G, I noktaları köşelerden karşı kenarlara indirilen dikmelerin ayakları, S noktası bu dikmelerin
kesiştiği nokta, yani diklik merkezi, J, K, L noktaları da üçgenin köşelerini diklik merkezine birleştiren doğru parçalarının orta noktaları. F, D, E noktaları da üçgenin kenarlarının orta noktaları.
Kırmızı çember de bu dokuz noktadan geçen Euler
Dokuz Nokta Çemberi.

Euler bir üçgendeki dış çemberin merkezi, ağırlık merkezi ve diklik merkezinin aynı doğru üzerinde olduğunu ve ağırlık merkeziyle diklik merkezi arasındaki mesafenin ağırlık merkeziyle dış çember merkezi arasındaki mesafenin iki katı olduğunu kanıtlamıştır. Ancak dokuz nokta çemberiyle ilgili bir çalışması olmamıştır. Ayrıca aynı çembere Feuerbach çemberi, hatta bazen Terquem çemberi dediğimiz de olur.

Temel kavramlar yardımıyla bir üçgenin sırlarını ortaya çıkarma oyununa yalın geometri denir. Bu oyunu en iyi oynayanlardan birisi de kuşkusuz Euler’dir. Bu nedenle dokuz nokta çemberine Euler çemberi de dokuz dememiz hata sayılmaz.

Euler adı üçgende karşımıza bir kere daha çıkar.

Euler Doğrusu

Bir üçgende köşelerden indirilen dikmelerin kesişme noktası, yani diklik merkezi, kenar ortayların kesişme noktası ve kenarların orta dikmelerinin kesişme noktası, yani dış çember merkezi, Euler’in bize gösterdiği gibi, aynı doğru üzerindedir. Bu nedenle bu doğruya üçgenin Euler doğrusu denir.

Euler Doğrusu: Üçgenin dar açılı, geniş açılı veya dik açılı olması doğrusallığı bozmamaktadır.

Bu yazı, Prof. Dr. Ali Sinan Sertöz tarafından Bilim Teknik Dergisi Ağustos 2020 sayısı için kaleme alınmış ve hocamızın izni ile web için düzenlenerek sitemize eklenmiştir.

Tam metin için: http://sertoz.bilkent.edu.tr/depo/BT-2020-08.pdf

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu