Mantıksal akıl yürütme önce sembollerle, sonra makinelerle, sonra elektrik devreleriyle ve en sonunda doğruluk tablolarıyla mekanikleşti.
Mantıkta, bir yargı bildiren ifadeler üzerine akıl yürütürüz. Bu tür ifadelere “önerme” denir. Bir ifadenin önerme sayılabilmesi için bir iddia taşıması, yani doğru ya da yanlış olabilecek bir bilgi bildirmesi gerekir. Bu nedenle sorular, emirler ya da dilekler önerme değildir.
Mantıksal çıkarımlar, önermelerin doğru ya da yanlış oluşuna ve bu önermeler arasındaki ilişkilere dayanır. Bu ilişkiler mantıksal bağlaçlarla kurulur. “Ve”, “veya”, “ise” gibi bağlaçlar birden fazla önermeyi birbirine bağlar. Ortaya çıkan bileşik önermenin doğruluk değeri, onu oluşturan önermelerin doğruluk değerlerine göre belirlenir.
Doğruluk Tablosu Nedir?
Doğruluk tablosu, önermelerin alabileceği tüm doğru ve yanlış değerleri gösteren bir çizelgedir. Bu tablo sayesinde, bir bileşik önermenin hangi durumlarda doğru ya da yanlış olduğunu görebiliriz.
Doğruluk tablosu yöntemi, 1920’de Emil Leon Post’un doktora tezinde tanıtıldı. Ancak bu yöntemin dayandığı düşünce daha eskiye, George Boole’un cebirsel mantık çalışmalarına kadar uzanır.
Boole, mantıksal ilişkilerin semboller ve kurallar yardımıyla incelenebileceğini göstermişti. Ardılları, bu kuralları makineler aracılığıyla da işletebilmenin yollarını aradılar. Doğruluk tablosu, bu uzun arayışın daha düzenli ve anlaşılır bir biçimi olarak görülebilir.
1947’de William Burkhart ve Theodore A. Kalin tarafından yapılan “mantıksal doğruluk hesaplayıcısı” da bu anlayışı elektrikli bir makineye taşımıştı. Bu makine, doğruluk tablosundaki satırları kullanarak 12 terime kadar işlem yapabiliyordu. Bu nedenle doğruluk tablosu yalnızca mantık derslerinde kullanılan basit bir çizelge değildir. Boole’un sembolik mantığının tarihsel gelişimin önemli bir parçasıdır.
Üç kız çocuğu, Ayşe, Berna ve Ceren hakkında şu kuralı gözlemlediğimizi varsayalım: Ayşe ya da Berna’dan biri, veya ikisi birden, evde kaldığında Ceren de evde kalıyordu. Berna dışarı çıktığında Ayşe de dışarı çıkıyordu. Ceren evde olduğunda Ayşe de evde oluyordu. Bu durumda kızların tek tek ya da grup olarak alışkanlıkları hakkında ne belirleyebiliriz?
A, B ve C harfleri sırasıyla “Ayşe evdedir”, “Berna evdedir” ve “Ceren evdedir” önermelerini temsil etsin. Ayşe, Berna ve Ceren’in evde olup olmaması için birçok olasılık vardır. Örneğin üçü de evde ya da, Berna ve Ceren evde olup Ayşe dışarıda olabilir. Bunun gibi toplam sekiz olasılık vardır.
Doğruluk tablosu, bu sekiz olasılığı tek tek gösterir. Sonra her olasılığın yukarıdaki üç kurala uyup uymadığına bakarız. Kurallara uyan satırlar bize kızların alışkanlıkları hakkında ne söyleyebileceğimizi gösterir.
Doğruluk Tablosu Nasıl Doldurulur?
Doğruluk tablosu oluşturmanın iki farklı yolu vardır. Birinci yöntem, klasik tablo yöntemidir. Bu yöntemde her önerme ve her bileşik ifade için ayrı bir sütun açılır. Önce p ve q gibi basit önermelerin alabileceği tüm doğruluk değerleri yazılır. Bunun için öncelikle aşağıdaki mantıksal bağlaçları bilmemiz gerekir.
“Ve” bağlacı (∧), yalnızca iki önerme de doğru olduğunda doğru sonuç verir. “Veya” bağlacı (∨), önermelerden en az biri doğru olduğunda doğrudur. “İse” bağlacı (⇒), yalnızca ilk önerme doğru, ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur. “Ancak ve ancak” bağlacı (⇔), iki önerme aynı doğruluk değerine sahip olduğunda doğru olur. Olumsuzlama (¬) ise bir önermenin doğruluk değerini tersine çevirir.
Soru: p ∧ (p ∨ q) ifadesinin en sade şeklini bulunuz.
Bu ifadeyi iki farklı yöntemle çözebiliriz. İlk yöntemde klasik doğruluk tablosu kullanacağız. İkinci yöntemde ise doğruluk değerlerini doğrudan ifadenin altına yazarak ilerleyeceğiz. Her iki yöntemde de aynı sonuca ulaşacağız. Önce p ve q önermelerinin alabileceği tüm doğruluk değerlerini yazalım. İki önerme olduğu için 2 × 2 = 4 farklı durum vardır. Daha sonra önce parantez içindeki p ∨ q ifadesini, son olarak da p ∧ (p ∨ q) ifadesini hesaplayalım.
Son sütuna baktığımızda p ∧ (p ∨ q) ifadesinin doğruluk değerleri 1, 1, 0, 0 olur. Bu değerler p önermesinin doğruluk değerleriyle aynıdır. O halde p ∧ (p ∨ q) ifadesi p’ye denktir.
İkinci yöntemde ayrı sütunlara gerek yoktur. Bunun yerine doğruluk değerleri doğrudan ifadedeki sembollerin altına yazılmak yeterlidir.İç parantezdeki p ve q’nun altına doğruluk değerlerini yazarak başlıyoruz. Veya” bağlacı, en az bir önerme doğru olduğunda doğru sonuç verir. Bunu da ilgili sembolün altına yazalım. Aşağıdaki şekle göz atınız.
Şimdi en baştaki p’nin altını tekrardan dolduruyoruz. Ve son olarak en soldaki ∧ bağlacının işlemini yaparak sonucunu sembolün altına yazıyoruz. Bulduğumuz sonucun p önermesine denk olduğunu görünüz. O halde sorumuzun cevabı p’dir.
Doğru, Yanlış, Belki
Ayşe, Berna ve Ceren probleminde her önerme ya doğru ya da yanlıştı. Bu, klasik mantığın iki değerli yapısına dayanır. Üçüncü hâlin imkânsızlığı yasasına göre bir önerme ya doğrudur ya yanlıştır. Çelişmezlik yasasına göre ise aynı anda hem doğru hem yanlış olamaz. Ancak zamanla, doğruluk değerlerini yalnızca doğru ve yanlışla sınırlamayan farklı mantık sistemleri de vardır.
1917’de Jan Łukasiewicz, “mümkün” adını verdiği üçüncü bir doğruluk değeri önerdi. Bu sistemde doğru 1, yanlış 0, henüz kesinliği belirlenemeyen mümkün durum ise 1/2 ile gösterilir. Örneğin “Piyangoyu kazanacaksınız” önermesinin doğruluğu şu anda kesin değildir.
Bu nedenle üç değerli mantıkta bu önerme 1/2 değerini alır. Aynı şekilde onun olumsuzu olan “Piyangoyu kazanmayacaksınız” önermesi de şu anda kesinleşmediği için 1/2 değerini alır. Bu durum klasik mantığa ters görünür. Çünkü klasik mantıkta bir önerme kendi olumsuzuyla denk olamaz.
Üç değerli mantık, yalnızca gelecek ya da olasılık bildiren önermeler için değil, varoluşsal ön kabulü bozan ifadeler için de kullanılmıştır. Örneğin “Fransa’nın şimdiki kralı keldir” cümlesinde sorun, kralın kel olup olmaması değildir. Sorun, Fransa’nın şimdiki kralı diye birinin bulunmamasıdır.
Charles Sanders Peirce’in de 1910 civarında, yayımlamamış olsa da, üç değerli mantığa benzeyen bir sistem geliştirdiği bilinmektedir. Bu sistemde V doğruyu, F yanlışı, L ise ara ya da bilinmeyen değeri gösteriyordu. Böylece klasik mantığın yalnızca doğru ve yanlışla sınırlı dünyasının dışına çıkılmıştı.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Charles Sanders Pierce Recognizes that Logical Operations Could be Carried Out by Electrical Switching Circuits. Kaynak site: History Of İnformation. Bağlantı: Charles Sanders Pierce Recognizes that Logical Operations Could be Carried Out by Electrical Switching Circuits
- Jadacki, J. (2018). Jan Łukasiewicz: A Creator of New Ideas in Logic and a Reinterpreter of Its History. In: Garrido, Á., Wybraniec-Skardowska, U. (eds) The Lvov-Warsaw School. Past and Present. Studies in Universal Logic. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-65430-0_3
Matematiksel
