Mantık soruları iki şekilde çözülebilir: Cebirsel yolla ve Doğruluk Tablosu yaparak. Tercih edilen yöntem cebirsel yoldur ama bu yolla her soruyu çözemeyebiliriz. Örneğin cebirsel yolla p ∧ ( p ∨ q) ifadesinin neye denk olduğunu bulmak pek de kolay olmayacaktır. Şansımıza, cebirsel yol çıkmaza girdiğinde imdadımıza doğruluk tablosu yetişir.
Doğruluk Tablosu Nedir?
Bir önermenin doğruluk değerinin olasılıklarını gösteren tabloya o önermenin doğruluk tablosu (çizelgesi) denir. Doğruluk tabloları, VE, VEYA ve DEĞİL’e dayalı olarak iki mantıksal koşulu nasıl birleştirdiğimizi özetler. Doğruluk tablosu için aşağıdaki tablodaki bilgileri bilmeniz gereklidir. Bu ön bilginin ardından örneklere göz atabiliriz.
Soru: p ∧ ( p ∨ q) ifadesinin en sade şeklini bulunuz.
Çözüm: Bu soruyu cebirsel yolla çözmek zor demiştik. Çünkü dağılma özelliğini kullanınca başa dönmüş oluyoruz. O halde biz de soruyu tabloyla çözelim. Ancak tabloyu okullarda gösterildiği gibi değil de pratik bir yolla yapacağız. Her adımı dikkatle inceleyerek, yaptığımız şeyi anlamaya çalışınız. İç parantezdeki p ve q’nun altına doğruluk değerlerini yazarak başlıyoruz. Şekli inceleyiniz:
Sonra parantez içindeki ∨ bağlacını işliyor ve bulduğumuz sonucu sembolün hemen altına yazıyoruz.
Şimdi en baştaki p’nin altını dolduruyoruz.
Ve son olarak en soldaki ∧ bağlacının işlemini yaparak sonucunu sembolün altına yazıyoruz.
Bulduğumuz sonucun p önermesine denk olduğunu görünüz. O halde sorumuzun cevabı p’dir. Yani p ∧ ( p ∨ q)=p biçimindedir. Aynı şeyleri üç önerme için de yapabiliriz. Bu kez: p=11110000, q=11001100 ve r=10101010 almalıyız. (Önerme sayısı 3 olduğunda satır sayısı 23=8 olur.)
Soru: p ⇒ [ p ∨ ( p‘ ∧ r)] ∧ q ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözüm: Sütunları doldurmaya en içteki parantezden başlıyoruz. Şekli inceleyiniz:
Sonraki adım ∧ bağlacının altına işlem sonucunu yazmak:
Şimdi ∨ bağlacının altını doldurabiliriz. Ama önce p’nin altını dolduruyoruz.
Şimdi de veya bağlacı dolduruluyor:
Sıra q’da:
Sıra geldi en sağdaki ve bağlacına.
Şimdi en soldaki p’yi dolduruyoruz:
Ve son olarak ise bağlacını işliyoruz:
Kırmızı sütun işlemin sonucudur. Peki, ama bu sütun hangi önermeye denktir? Biraz dikkatli bakarsak, bunun p ⇒q olduğunu anlarız. (Neden?) O halde sorumuzun cevabı: p ⇒ [ p ∨ ( p‘ ∧ r)] ∧ q = p ⇒ q olur.
Bağlaçları Hatırlamak İçin Kolay Bir Yöntem
Yazımızın bu bölümünde de kısa bir şekilde mantık dersinde kullanılan temel bağlaçları ele alacak ve onlarla yapılan mantıksal işlem sonuçlarını hatırlamanın kolay yollarını göstereceğiz.
Veya: Veya bağlacını toplama işlemi olarak düşünebilirsiniz. (Tabi 1 + 1 = 1 olduğunu kabul etmek şartıyla.)
- 1 ∨ 1 = 1 yani 1 + 1 = 1
- 1 ∨ 0 = 1 yani 1 + 0 = 1
- 0 ∨ 1 = 1 yani 0 + 1 = 1
- 0 ∨ 0 = 0 yani 0 + 0 = 0
Ve: Ve bağlacını çarpma işlemi olarak düşüneceğiz.
- 1 ∧ 1 = 1 yani 1 × 1 = 1
- 1 ∧ 0 = 0 yani 1 × 0 = 0
- 0 ∧ 1 = 0 yani 0 × 1 = 0
- 0 ∧ 0 = 0 yani 0 × 0 = 0
İse: ⇒ bağlacını ≤ olarak düşüneceğiz.
- 1 ⇒ 1 = 1 yani 1 ≤ 1 → 1 (Doğru)
- 1 ⇒ 0 = 0 yani 1 ≤ 0 → 0 (Yanlış)
- 0 ⇒ 1 = 1 yani 0 ≤ 1 → 1 (Doğru)
- 0 ⇒ 0 = 1 yani 0 ≤ 0 → 1 (Doğru)
Ancak ve Ancak: ⇔ bağlacını = olarak düşüneceğiz.
- 1 ⇔1 = 1 yani 1 = 1 → 1 (Doğru)
- 1 ⇔ 0 = 0 yani 1 = 0 → 0 (Yanlış)
- 0 ⇔ 1 = 0 yani 0 = 1 → 0 (Yanlış)
- 0 ⇔ 0 = 1 yani 0 = 0 → 1 (Doğru)
Ya da: Ya da bağlacını ≠ olarak düşüneceğiz.
- 1 ⊻ 1 = 0 yani 1 ≠ 1 → 0 (Yanlış)
- 1 ⊻ 0 = 1 yani 1 ≠ 0 → 1 (Doğru)
- 0 ⊻ 1 = 1 yani 0 ≠ 1 → 1 (Doğru)
- 0 ⊻ 0 = 0 yani 0 ≠ 0 → 0 (Yanlış)
Bağlaçların Pratik Uygulamaları İle İlgili İki Örnek
- Örnek1: 1 ⇒ [ 1∨ (0 ∧ 1)] ∧ 0 işleminin sonucu nedir?
- Çözüm: 1 ≤ [ 1 + (0 × 1)] × 0 = 1 ≤ [ 1 + 0] × 0 = 1 ≤ [ 1 ] × 0 = 1 ≤ 0 = 0 (yanlış)
- Örnek 2: [ 1 ⇒ (1 ⇒ 0) ] ⇒ [ ( 0⇒ 1 ) ⇒ ( 1 ⇒ 1) ] işleminin sonucu nedir?
- Çözüm: [1 ≤ (1 ≤ 0)] ≤ [( 0 ≤ 1 ) ≤ (1 ≤ 1)] = [ 1 ≤ 0 ] ≤ [ 1 ≤ 1 ] = 0 ≤ 1 = 1 (Doğru)
Bu iki yöntem yardımı ile mantık dersindeki sorunlarınızın bir kısmının çözüleceğini düşünüyoruz. Şimdiden kolay gelsin. Ayrıca yazının devamında göz atmanızı öneririz. Önermeler Mantığında İse Bağlacını Anlamanın Kolay Yolu
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
