MATEMATİK

Şu Şakacı İse Bağlacı

9. sınıf programının başlangıcı olan Önermeler Mantığı (Boole Cebiri) ve bunlar üzerinde tanımlanmış bağlaçlarla (işlemler) ilk karşılaştığımda adeta büyülenmiştim. İnsan mantığının böylesine güzel, basit ve tutarlı bir şekilde formüle edilmesi büyük bir zekânın eseriydi muhakkak.

Üstelik Boole Cebiri, bilgisayar denen olağanüstü makinenin de temelini oluşturuyordu. Bunu düşündükçe daha da mest oluyordum. Çünkü o yıllarda (80’ler) kişisel bilgisayarlarla yeni tanışmaktaydık ve bu makineler beni büyülüyordu. Kendi kendime programcılık öğreniyordum.

Bilgisayarları o kadar seviyordum ki sabırsızlığım yüzünden kablolarını yanlış bağladığım Atari 800 XL marka bir oyun bilgisayarını alındıktan bir gün sonra bozmayı başarmıştım. Üstelik bilgisayar bana bile ait değildi. (Neyse ki firma biraz naz yaptıktan sonra yenisini verdi.)

Önermeler mantığında konular genel olarak basitti. Bütün bağlaçların doğruluk tablosunun nasıl yapılacağını çabucak öğrenmiştim. Ama bütün bu karmaşa içinde anlayamadığım bir şey kalmıştı.

0  ⇒  1 önermesi neden doğruydu?

Uzun süre buna kafa yorduğumu hatırlıyorum. “Ve/veya” bağlaçlarını anlayabiliyordum, onları günlük hayatta da kullanıyorduk zaten. Ama “ise” bağlacı biraz şüpheliydi. Onda tam anlayamadığım bir şeyler vardı.

Tabi ki 1  ⇒ 1’in doğru; 1 ⇒ 0’ın yanlış olmasını anlayabiliyordum. Doğru bir öncülden doğru bir sonuç çıkması gayet mantıklıydı (1  ⇒ 1 = 1). Ayrıca doğru bir öncülden yanlış bir sonuç da çıkamazdı. Yanlış bir öncülden yanlış bir sonuç çıkması da gayet mümkündü (0  ⇒ 0 = 1).

Benim anlayamadığım 0  ⇒  1 önermesinin doğru olmasıydı. Bu ne anlama geliyordu? Yanlış bir şeyden doğru sonuç nasıl çıkabilirdi?

Bunun üzerine çok düşündüm ve bu önermeyi günlük hayatla bağlantılandırmaya çalıştım. Bulabildiğim en iyi açıklama şuydu: “Başlangıç önermesi yanlış bile olsa, yine de doğru doğrudur. Yani insan yanlış bir noktadan başlasa bile doğru bir noktaya ulaşabilir. Sonuçta önemli olan, varılan noktanın doğru olmasıdır.”

Örneğin, bir hırsız arada bir doğru bir iş yapabilir, bulduğu bir cüzdanı polise teslim edebilir. Bunu yaparsa yanlış yapmış olmaz. Kimse ona: “Sen bir hırsız olduğun için, bu cüzdanı karakola teslim etmen yanlıştır” diyemez. Eh, böyle düşününce mantıklı gelmişti.

Ancak bu yanıt beni tam olarak tatmin etmiyordu. Çünkü, matematiğin buna izin vermemesi gerektiğini düşünüyordum. Yani, yanlış bir bilgiden doğru bir sonuç çıkmamalıydı.

(Bakınız: Şekil 1)

pqp ⇒ q 
111Doğru öncülden doğru sonuç çıkar. (Mantığa uygun.)
100Doğru bir öncülden, yanlış bir sonuç çıkmaz. (Mantığa uygun.)
011Yanlış bir öncülden doğru bir sonuç çıkar. (Nasıl yani?)
001Yanlış bir önermeden yanlış bir sonuç çıkar. (Mantığa uygun.)

Örneğin, Ali adlı bir öğrenci “2=5” yanlış önermesinden yola çıkarak eşitliğin her iki tarafına 1 eklesin. Böyle yaptığında yine yanlış olan 3=6 sonucunu bulur. Yani yanlıştan yanlış çıkabilir, ama yanlıştan doğru nasıl çıkacak?

Ali, işlem yaparken tesadüfen doğru bir sonuca ulaşmış olabilir. Ulaştığı sonuç doğru olduğu için, bu sonuca nasıl vardığı önemli değildir. Böyle mi düşünmeliydik?

Ne de olsa, bir testte kafadan atarak doğru cevabı bulan bir öğrencinin cevabını doğru kabul ediyorduk. Çocuğun belki de saçma bir yolla bulduğu sonuç, tesadüfen doğru olabilirdi. Yani yanlıştan doğru çıkabilirdi.

Ama hayır, böyle düşünemezdik. Çünkü o zaman Ali’nin doğru bir öncülden işlem hatası yaparak yanlış bir sonuca varmasını da kabul etmemiz gerekirdi ki bazı öğretmenler öyle yaparlar, yani öğrencinin gidiş yoluna puan verirler. Bazı öğretmenler ise “sonucun yanlış ise gidiş yolun doğru bile olsa puan alamazsın” diye tuttururlar.

Kısaca, işlem hatalarını mantığın bir parçası haline getiremeyiz. Mantıkta işlemlerin hatasız yapıldığını kabul etmeliyiz. O halde, yanlış bir öncülden doğru bir sonuca nasıl varıldığını açıklamak zorundayız.

Şimdi okuyuculara soruyorum: Yanlış bir sonuçtan, işlem hatası yapmaksızın, mantık kurallarına uygun olarak doğru bir sonuca varmak mümkün müdür? Böyle bir örnek biliyor musunuz?

Bir başka örnek vermek istiyorum:

P: “Araba kaza yapar.”

Q: “Sigorta şirketi para öder.”

Şeklinde iki önerme verilsin.

“Araba kaza yapar ise sigorta şirketi para öder” önermesi doğrudur. (1 ⇒1 = 1)

“Araba kaza yapar ise sigorta şirketi para ödemez” önermesi yanlıştır. (1⇒0 = 0)

“Araba kaza yapmaz ise sigorta şirketi para ödemez” önermesi de doğrudur. (0⇒0 = 1)

Ancak “araba kaza yapmaz ise sigorta şirketi para öder” önermesinin neden doğru olduğu pek açık değildir. (0⇒1 = 1) Günlük hayatımızda böyle yapmayız, hak edilmeyen bir parayı ödemeyiz. O halde bu önerme neden Boole Cebirinde doğru kabul ediliyor?

Çözüm

Elbette kaza yapmayan arabanın sigortasının ödenmesi beklenen bir davranış değildir ama sigorta şirketi ile müşteri arasında imzalanan kontrata da aykırı değildir. Şirket kazasız arabaya ödeme yaparsa kontratın şartlarını ihlal etmiş olmaz.

Böyle gereksiz bir ödeme ile karşılaşırsak “üzümünü ye bağını sorma” der parayı cebe atarız. Ya da dürüst davranıp “yanlış ödeme yapıldı” diye parayı iade ederiz. Ama kesinlikle şirketi dava etmeyiz. O halde şirketin bu davranışı “yanlış” değildir; yani kontrata aykırı değildir. Yanlış olmayan şeye Önermeler Mantığı’nda “doğru” denir. (Üçüncü durumun imkansızlığı ilkesi.) O halde 0⇒1 önermesi de doğru olmalıdır. (Çünkü yanlış değil.)

Evet, baştan beri bilmiyormuş gibi yaptım ama bir cevabım vardı tabi ki.

İşin sırrı ⇒ sembolünün okunuşuyla ilgili. Bu sembolün Türkçedeki yaygın okunuş biçimi “gerektirir” ya da “sonucu çıkar” şeklindedir.

“P ⇒ Q” ifadesini “P, Q’yu gerektirir” şeklinde okuyabiliriz. Ya da:

“P’den Q çıkar.”

“P’nin sonucu Q’dur.”

“Madem P, o halde Q.” (Madem ekmek o halde köfte!!!)

Bütün bu okunuşlar doğrudur ve kullanılabilir. Ancak, bu okunuşlardan hiç biri “yanlıştan doğru çıkar” mantığını açıklamıyor.

Düşünsenize:

“Arabanın kaza yapmaması, sigorta şirketinin para ödemesini gerektirir.”

Olmadı değil mi? Ya da:

“Arabanın kaza yapmamasından sigorta şirketinin para ödediği sonucu çıkar.”

Yine mantıklı gelmiyor. O halde okuma biçimini değiştirelim. P⇒ Q önermesini “P, Q’ya engel değildir” diye okuyalım.

 “Arabanın kaza yapmaması, sigorta şirketinin para ödemesine engel değildir.”

Eh, kulağa daha kabul edilebilir geliyor. Sigorta şirketi yanlışlıkla veya iyilik olsun diye para ödemiş olabilir, ağanın eli tutulmaz.

Daha güzel bir örnek verelim:

P: “2=3”

Q: “ABD başkanı Trump’tır.”

Önermeleri verilsin. (P’nin yanlış, Q’nın doğru olduğunu görünüz.)

Şimdi: “2=3 ise ABD Başkanı Trump’tır” önermesine ne dersiniz? Doğru mudur yanlış mı? Günlük hayatta kulağa yanlış gibi geliyor, ama önermeler mantığında doğrudur.

Ama yine de doğru değil gibi sanki. Hatta saçma bir laf gibi geliyor kulağa.

“Gerektirir” diye okumak da çare değil.

“2=3 olması Trump’ın ABD başkanı olmasını gerektirir.”

Hayır, çok saçma.

Ama şu okunuş kabul edilebilir: “2=3 olması, Trump’ın ABD başkanı olmasına engel değildir.” Artık kulağa mantıklı gelmeye başladı.

Sonuç: Yeri geldiğinde ‘ise’ bağlacını ‘engel değildir’ şeklinde okuyabilirsiniz.

Okuma Önerisi: Mantık Sorularını Çözerken Doğruluk Tablosu Yapmanın Pratik Bir Yolu

Not: Bu özgün makalenin yazarının “Beyin Kırıcı” adlı bir romanı var, destek olmak için satın almayı düşünebilirsiniz: https://www.kitapyurdu.com/kitap/beyin-kirici/515253.html

Matematiksel

SİNAN İPEK

Yazar, çizer, düşünür, öğrenir ve öğretmeye çalışır. Temel ilgi alanı Bilimkurgu yazarlığıdır. Bunun dışında Matematik, bilim, teknoloji, Astronomi, Fizik, Suluboya Resim, sanat, Edebiyat gibi konulara ilgisi vardır. Ara sıra sentezlediklerini yazı halinde evrene yollar. ODTÜ Matematik Bölümü mezunudur ve aşağıdaki başarılarıyla gurur duyar:TBD Bilimkurgu Öykü yarışmasında iki kez birincilik, 2. Engelliler Öykü yarışmasında birincilik, Ya Sonra Öykü Yarışması'nda finalist, Mimarlık Öyküleri Yarışması'nda finalist, 44. Antalya Altın Portakal Belgesel Film Yarışmasında finalist. Ithaki yayınları Pangea serisinin 5. üyesi "Beyin Kırıcı" adlı bir romanı var. https://www.ilknokta.com/sinan-ipek/beyin-kirici.htm

3 Yorum

  1. Bilgilerimi taze tutmak adına mantık çalıştığım günlerde denk geldiğim ve bu tesadüfe çok sevindiğim bir yazı oldu benim için. Aynı soruları ben de kendime soruyordum, ise bağlacını sadece “ise” olarak düşünmemeliyiz demek ki. Türkçe, önemini daha da fark ettiriyor bu durumlarda. “ya da” bağlacında da aklımın takıldığı yerler vardı, kendi çapımda halletmeye çalışacağım. Yazı için teşekkürler…

    1. Esasında ve bağlacı: p + q – pq olarak ifade edilebilir. Ancak, bu yazının amacı pratik bilgi vermek olduğundan, yazıda bundan bahsetmedim.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu