Okul yıllarından geriye aklınızda bir parça matematik kaldı ise bu muhtemel Pisagor teoremidir. Bu teorem kenarları a, b, c olan dik açılı bir üçgen için, a2+ b2= c2 biçiminde öğretilir. Burada c dik açının karşısındaki kenardır, diğer adıyla hipotenüstür. Devamında öğretmenler öğrencilere, bazı sıralı üçlüleri tanımalarını (ve ezberlemelerini) öğütlerler. Bu sıralı üçlüler grubunun bazıları Pisagor Üçlüleri olarak bilinirler. Bir Pisagor üçlüsünde en büyük sayı hipotenüstür. Hipotenüsü 100’den küçük olan bazı Pisagor üçlüleri aşağıdaki gibidir.
Yukarıdaki listeye dikkatle bakarsanız kırmızı ve mavi ile yazılmış olan bazı üçlülerin birbirinin katı olduğunu fark edersiniz. Geometrik olarak, eğer bir Pisagor üçlüsü diğerinin katıysa, karşılık gelen üçgenler benzerdir. Bir Pisagor üçlüsü başka bir Pisagor üçlüsünün katı değilse, o zaman bunun temel üçlü olduğunu söyleriz. Örneğimizde (3, 4, 5) temel bir Pisagor üçlüsü iken (6, 8, 10), (9, 12, 15) ve (12, 16, 20) değildir.
Diğer antik Yunan matematikçilerinin yanı sıra Pisagor’un kendisinin de ilgisini çeken bir soru, Pisagor üçlülerinin nasıl oluşturulacağıdır. Diğer bir deyişle, size pozitif bir a sayısı verirsek, bir Pisagor üçlüsü oluşturacak şekilde iki b ve c sayısını bulabilir misiniz? İşte bu okul matematiğinde nadiren bahsedilen bir başlıktır. Aslında bunun için kullanabileceğimiz bir kaç metot vardır.
Pisagor Üçlülerini Nasıl Oluşturabiliriz?
Öncelikle bilinen üçlüleri kullanarak yeni üçlüler yaratabilirsiniz. Bir deneme yapalım. a2+ b2= c2 ilişkisini sağlayan (a, b, c) ve ( A,B,C) tamsayılarımız olsun. Bu ikisini aşağıda gördüğünüz biçimde bir araya getirerek yeni bir Pisagor üçlüsü elde edebilirsiniz.
(aA – bB)2 + (aB + bA)2 =(cC)2
Hemen (3, 4, 5) ve (5, 12, 13) üçlülerini deneyelim. Bu durumda (3 · 5 – 4 · 12) 2 + (3 · 12 + 4 · 5) 2 = (5 · 13) 2 elde ederiz. Bu da (15 – 48) 2 + (36 + 20) 2 = 652 yani 332 + 562 = 652 anlamına gelir. Gördüğünüz gibi (33, 56, 65) Pisagor üçlüsünü yarattık. Ancak daha genel anlamda bir formül, Öklid tarafından bizlere açıklanmıştır. Bunun için m>n biçiminde iki pozitif m ve n tamsayısı düşünelim. Şimdi aşağıdaki iki açılıma dikkat edin. Sizin de fark edeceğiniz gibi bu açılımları birbirinden çıkarırsanız sonuç 4m2n2 olur.
Şimdi Pisagor üçlüsü oluşturmak için bize gereken a değerini m2-n2, b değerini 4m2n2 ifadesinin karekökü 2mn ve c değerini ise m2+n2 olarak kabul edelim. Bu durumda en başta düşündüğümüz çıkarma işlemine geri dönelim. Aslında sizin de fark ettiğiniz gibi işlemimiz c2-a2=b2 sonucunu bize vermişti. Bu durumda ufak bir düzenleme ile a2+b2=c2 bağıntısını elde edebiliriz.
Bu durumda m ve n pozitif tam sayılar ve m>n olmak kaydıyla a, b ve c de pozitif tam sayılarımız bir Pisagor üçlüsü ortaya çıkaracaktır. Bu sayede de bütün temel Pisagor üçlülerini bulma şansımız olur. Hemen bir deneme yapalım. Örneğin m=3 ve n=2 olsun. Bu surumda a= m2-n2 =32-22 =5; b=2mn=2.2.3=12 ve c= m2+n2= 32+22=13 sonucunu elde ettik.
Bonus: Pisagor Dörtlüleri
Gördüğünüz gibi Öklid’in öngörüsü bize tüm Pisagor üçlülerini verecektir. Şimdi üç yerine dört pozitif tam sayıdan oluşan Pisagor dörtlülerine bakalım. Bir Pisagor dörtlüsünde ilk üç sayının karelerinin toplamı bize dördüncünün karesini verir. Sembolik olarak ifade etmemiz gerekirse bu a2+ b2 + c2 = d2 biçiminde olacaktır. Bir Pisagor dörtlüsü nedir ve ne işime yara derseniz aşağıdaki şekle bakmanızı öneririz. Gördüğünüz gibi bir dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni aslında Pisagor dörtlüleri tarafından hesaplanır. ( Ancak bu bilgi okullarda pek anlatılmaz)
Daha önce olduğu gibi, eğer (a, b, c, d) bir Pisagor dörtlüsü ise, herhangi bir pozitif k tam sayısı için (ka, kb ,kc, kd) de öyledir. Diğer bir deyişle a, b ve c’nin en büyük ortak böleni 1 ise dörtlümüz temeldir. Aşağıda bazı örnekler görebilirsiniz. Aynı renkte olanlar birbirinin katı olan dörtlüleri göstermektedir.
Az önce aktardığımıza benzer bir süreç aracılığı ile Pisagor dörtlülerinin diğerlerini de keşfetmemiz mümkündür. ( Bunu nasıl yapacağınızı anlamak için belirttiğimiz kaynağa göz atmalısınız). Peki işi biraz daha ileri taşırsak ne olur? Şu ana kadar hep kare almak ile ilgilendik. Ya küpleri alsaydık?
Kübik Dörtlüler
Elbette bu noktadan sonrasına okullarda ihtiyaç duymazsınız. Ancak ark planda neler olup bittiğini görmek güzel bir öngörü kazandırır. Sonucunda a3+b3+c3=d3 eşitliğini sağlayan sayılara kübik dörtlüler denir. Aşağıda bu sayılara bazı örnekler görebilirsiniz. Bu tabloda da renkleri takip ederek hangisinin birbirinin katı olduğunu takip edebilirsiniz.
Onları burada nasıl oluşturacağımızı keşfetmeyeceğiz. Bunun yerine daha ilginç olduğu ortaya çıkan bir soru soracağız: Kübik üçlüler de var mı? Bu soru, matematiğin en ünlü sorularından birisidir. Bu da bizi Fermat’ın son teoremine bağlar. Fermat bize a3+b3=c3 biçiminde a, b ve c gibi üç pozitif tam sayı olmadığını söyler. Hatta daha da genel olarak ikiden büyük herhangi bir pozitif n tam sayısı için an+bn=cn sonucunu sağlayan, a, b ve c pozitif tam sayılarını bulmanın imkansız olduğunu ekler. Bu da galiba Pisagor üçlülerini daha da özel yapıyor.
Kaynak: Triples and quadruples: from Pythagoras to Fermat.; Yayınlanma tarihi: 14 Kasım 2012; Bağlantı: https://plus.maths.org/
Matematiksel
