Matematikteki önemli problemleri çözmeye yönelik ilk çağrı ve yarışmalar on altıncı ve on yedinci yüzyıllara kadar uzanır. Bu problemlerin bazıları modern zamanlara kadar matematikçileri zorlamaya devam etmiştir. Buna bir örnek Fermat’ın Son Teoremi olacaktır.
Pierre de Fermat Kimdi?
Pierre de Fermat 20 Ağustos 1601’de güneybatı Fransa’daki Beaumont-de-Lomagne kasabasında doğdu. Babası varlıklı bir deri tüccarıydı. Bu nedenle Pierre ayrıcalıklı bir eğitim alma fırsatı buldu. Genç Fermat’ın matematikte olağanüstü bir yetenek gösterdiğine dair bu döneme ait herhangi bir kayıt yoktur.
Ailesinin yönlendirmesi onu devlet hizmetine yöneltti. 1631’de Toulouse Parlamentosu’nda conseiller olarak görevlendirildi. Bu görev, Dilekçeler Dairesi’nde danışmanlık anlamına geliyordu. Fermat’nın ek görevleri arasında yargı hizmeti de vardı. Bu statü ona adında “de” unvanını kullanma hakkı verdi ve böylece Pierre de Fermat olarak anılmaya başladı.
Büyük bir siyasal hırsı yoktu. Parlamento içindeki sert tartışmalardan ve çekişmelerden mümkün olduğunca uzak durdu. Bunun yerine boş zamanını neredeyse bütünüyle matematiğe ayırdı. Resmî görevleri arasında zaman zaman ağır yargı kararları vermek de vardı. Bu görevlerin dışında kalan zamanlarda ise bütün enerjisini matematiğe yöneltti.
Fermat gerçek anlamda amatör bir bilim insanıydı. Matematik onun mesleği değil, tutkusu ve hobisiydi. Matematik tarihçisi E. T. Bell bu nedenle onu “amatörlerin prensi” olarak adlandırır.
On yedinci yüzyılın başlarında matematik hâlâ Orta Çağ’ın ardından toparlanma sürecindeydi. Bu nedenle saygın bir alan olarak görülmüyordu. Matematikçiler de toplumda büyük bir itibar görmezdi. Çoğu zaman çalışmalarını kendi imkânlarıyla finanse etmek zorunda kalırlardı.
Bu yüzden on yedinci yüzyıldaki matematikçilerin çoğu aslında amatördü. Ancak Fermat bu açıdan daha da uç bir örnek sayılır. Paris’ten oldukça uzakta yaşıyordu. Bu nedenle var olan küçük matematik çevresinden büyük ölçüde yalıtılmıştı. O dönemdeki bu dar çevrede Pascal, Beaugrand ve özellikle Peder Marin Mersenne gibi isimler bulunuyordu.
Fermat Neden Bir Eser Yayınlamadı?
Mersenne Fransa’yı ve zaman zaman daha uzak bölgeleri dolaşarak en yeni bilimsel keşiflerin haberlerini yayardı. Bu seyahatleri sırasında Pierre de Fermat ile görüşmeyi özellikle ihmal etmezdi. Gerçekten de Mersenne, Fermat’ın diğer matematikçilerle kurduğu neredeyse tek düzenli bağlantıydı. Bu nedenle onun Fermat üzerindeki etkisi oldukça büyüktü.
Fermat zaman zaman meslektaşlarına mektuplar gönderirdi. Bu mektuplarda yeni keşfettiği bir teoremi bildirir, fakat kanıtını vermezdi. Ardından diğer matematikçilere meydan okuyarak bu teoremin kanıtını bulmalarını isterdi. Kendi kanıtlarını hiçbir zaman açıklamaması büyük bir hayal kırıklığı yaratıyordu.
Fermat’nın bir problemi ortaya koyup çözümünü gizleme alışkanlığı yalnızca meslektaşlarını kızdırmanın verdiği keyiften kaynaklanmıyordu. Bunun daha pratik nedenleri de vardı. Öncelikle bu yöntem, kanıtlarını ayrıntılı biçimde yazmak için zaman harcamak zorunda kalmamasını sağlıyordu.. Ayrıca ayrıntılı eleştirilerle uğraşmak zorunda kalmıyordu.
Pascal ile yaptığı mektuplaşma, Fermat’nın Mersenne dışında biriyle matematiksel fikir alışverişinde bulunduğu tek önemli örnek sayılır. Bu yazışmalar matematiğin bütünüyle yeni bir alanının doğuşuna yol açtı: olasılık kuramı.
Fermat yalnızca olasılık kuramının doğuşunda değil, matematiğin başka bir temel alanının ortaya çıkışında da önemli bir rol oynadı. Bu alan kalkülüstür. Kalkülüs roketleri Ay’a göndermeye yardımcı oldu. Olasılık kuramı sigorta şirketlerinin risk hesaplamalarında kullanıldı. Buna karşılık Fermat’nın en büyük tutkusu pratikte pek işe yaramayan bir alandı. Bu alan sayı teorisiydi.
Fermat’ın Son Teoremi Nedir?
Fermat sayılar arasındaki ilişkileri ve sayıların özelliklerini anlamaya takıntılı merak duyuyordu. Öğretmeni Arithmetica adlı kitaptı. Bu eser Diophantus tarafından yazılmıştı ve sayı teorisini bir dizi problem ve çözüm aracılığıyla anlatıyordu.
Fermat’ı etkileyen Arithmetica, Latince çeviriydi. Bu çevirinin her sayfasında oldukça geniş kenar boşlukları vardı. Fermat da zaman zaman bu boşluklara hızlıca düşüncelerini, mantıksal adımlarını ve kısa notlarını yazardı. Bu kenar notları daha sonra Fermat’nın en parlak hesaplamalarının değerli, fakat oldukça kısa ve eksik bir kaydı hâline geldi.
Fermat Arithmetica’nın II. kitabını incelerken Pisagor üçlüleriyle ilgili çok sayıda gözlem, problem ve çözümle karşılaştı. Sayfaya bakarken Pisagor denklemine farklı biçimlerde uygulamalar yapmaya başladı.
Amacı, Yunan matematikçilerinin gözünden kaçmış bir özellik bulmaktı. Bir anda, onu ölümsüzleştirecek parlak bir fikir ortaya çıktı. Pisagor denklemine çok benzeyen fakat hiçbir çözümü olmayan yeni bir denklem kurdu. Arithmetica’nın kenar boşluklarından birine, özellikle de 8. problemin yanına, şu gözlemini not düştü:
“Bir küp iki küpün toplamı olarak yazılamaz. Bir dördüncü kuvvet iki dördüncü kuvvetin toplamı olarak yazılamaz. Daha genel olarak, ikinci kuvvetten daha büyük herhangi bir kuvvet, aynı türden iki kuvvetin toplamı biçiminde ifade edilemez. Yani, n 2’den büyük herhangi bir tam sayı ise, xn + yn = zn denklemini sağlayan sıfırdan başka x, y, z tam sayısı yoktur.”
Sayıların sonsuz dünyası düşünüldüğünde en azından bir çözüm bulunabileceğini varsaymak doğal görünür. Buna rağmen Fermat, böyle bir çözümün hiçbir zaman var olmadığını iddia etti. Ona göre sayılar evreninde hiçbir “Fermat üçlüsü” yoktu. Teorisini özetleyen ilk kenar notundan sonra ünlü cümlesini de ekledi.
“Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.” Bunun anlamı şöyledir: “Bu önermenin gerçekten harika bir kanıtını buldum, fakat bu kenar boşluğu onu sığdırmak için fazla dar.”
Daha sonra Fermat’nın Son Teoremi olarak adlandırılacak olan bu iddia, yüzyıllar boyunca dünyanın dört bir yanındaki matematikçileri meşgul eden en ünlü problemlerden biri hâline geldi.
Fermat’ın Son Teoremi Neden Bu Kadar Ünlü?
Fermat’nın ünlü keşfi matematik kariyerinin oldukça erken bir döneminde, yaklaşık 1637 yılında ortaya çıktı. Aradan yaklaşık otuz yıl geçtikten sonra Fermat Castres kasabasında yargıçlık görevini sürdürürken ağır şekilde hastalandı. 1665’te hayatını kaybetti.
Paris’teki matematik çevrelerinden uzak yaşamıştı. Bu nedenle Fermat’nın keşiflerinin tamamen kaybolma tehlikesi vardı. Neyse ki en büyük oğlu babasının matematik çalışmalarının değerini anlamıştı. Beş yıl boyunca babasının notlarını ve mektuplarını topladı. Ayrıca yazdığı notları dikkatle inceledi.
Yüzyıllar geçtikçe Fermat’ın diğer bütün gözlemleri birer birer kanıtlandı. Ancak Fermat’ın Son Teoremi aynı kolaylıkla teslim olmadı. Aslında “Son Teorem” adı da buradan gelir. Çünkü Fermat’ın gözlemleri arasında kanıtlanmamış kalan son önerme bu oldu. Üç yüzyıl boyunca matematikçilerin gösterdiği çaba bir kanıt ortaya çıkaramadı. Bu durum teoremi matematiğin en zorlu bilmecelerinden biri hâline getirdi.
Fermat’ın Son Teoremi’nin ünü esas olarak kanıtının olağanüstü zorluğundan kaynaklanır. Buna bir de şu ayrıntı ayrı bir çekicilik katar. “Amatörlerin prensi” olarak anılan Fermat, bu teoremi kanıtlayabildiğini söylemişti. Oysa daha sonra gelen kuşaklar boyunca pek çok profesyonel matematikçi bu problemi çözmekte başarısız oldu.
Sonuç Olarak
“Fermat’ın Son Teoremi ile ilk kez çocukken karşılaştığımdan beri bu problem benim en büyük tutkum oldu,” diye hatırlıyor Andrew Wiles. Wiles masumiyetle ve büyük bir hırsla dolu bir çocuktu. Onun gözünde bu problem, kuşaklar boyunca matematikçilerin başaramadığı bir şeyi başarma fırsatıydı. Genç Wiles, Fermat’ın Son Teoremi’ni kanıtlamak için ciddi bir girişimde bulunan herkesin çalışmalarını incelemeye başladı.
Sonunda 23 Haziran 1993’te matematikçi Andrew Wiles, Fermat’ın Son Teoremi için geliştirdiği çözümü anlattığı üç dersin sonuncusunu verdi. Bu problem üç buçuk yüzyıl boyunca çözümsüz kalmıştı. Wiles’ın duyurusu hem matematik dünyasında hem de medyada büyük bir heyecan yarattı.
Wiles’ın çalışması yalnızca uzun süredir çözülemeyen bir problemi sonuca ulaştırmakla kalmadı. Aynı zamanda matematiğin iki önemli fakat ilk bakışta birbirinden oldukça farklı görünen alanı arasında güçlü bir köprü kurulmasına da katkı sağladı.
Konunun devamını bu yazımızdan okuyabilirsiniz: Andrew Wiles ve Fermat’ın Son Teoreminin İspatlanma Hikayesi
Kaynak ve İleri izlemeler:
- Castelvecchi, D. Fermat’s last theorem earns Andrew Wiles the Abel Prize. Nature 531, 287 (2016). https://doi.org/10.1038/nature.2016.19552
- Why the Proof of Fermat’s Last Theorem Doesn’t Need to Be Enhanced. Kaynak site: Quanta magazine. Yayınlanma tarihi: 3 Temmuz 2019 Bağlantı: Why the Proof of Fermat’s Last Theorem Doesn’t Need to Be Enhanced
