Futbol Topunun Matematiksel Sırları: Top Yuvarlak Değildir

Hemen her gün siyaset, politika, ya da spor içerikli yazılarda “top yuvarlaktır” ifadesi ile karşılaşırız. Gazete veya dergilerde yer alan makaleler genellikle, güncel olarak kamuoyunun ilgilendiği konular bağlamında kullanır bu ifadeyi.

Şimdi gerçeğe donelim ye topa yakından bakalım.

Stan­dart top düzgün altıgen ve beşgenlerden oluşur. Yani top düzgün çokyüzlü (platonik) bir cisimdir. Dikkat edilirse her tepe noktasında 3 parçanın birleştiği görülür.

‘Bu parçalar; neden birbirinden farklıdır?”, ya da “Neden sadece beş­genlerden ya da altıgenlerderı oluşmaktadır?” sorularına yanıt bulmak için öncelikle düzgün çokyüzlü cisimlerin yapısına bağlı olan teoriyi dikkate almak gerekir.

MÖ 360 yıllarında Platon’un “Timaeus”adlı kitabında tanımladığı üzere düzgün, çokyüzlü (platonik) cisimler her köşesinde ay­nı sayıda birbirine eş düzgün çokgenin kesiştiği üç boyutlu cisimlerdir.

Bu tür çokyüzlülerin en küçüğü, 4 tepe nok­tası, 6 kenar ve 4 eşkenar üçgenden (4 üçgensel yüzden) oluşan düzgün dörtyüzlü piramit ve en büyüğü 20 üçgensel yüzden oluşan icosahedrondur; bu tür çok yüzlülerin son­lu sayıda olduğu biliniyor.  

Platon, kitabında toplam beş tane olan bu cisimlere aynı zamanda başka anlamlarda yüklemiştir. Piramit (tetrahedron) ateş, küp (hexahedron) toprak, icosahedron su, octahedron hava, dodecahedron ise cennetin yapıtaşı olan etherle bağdaştırılmıştır.

Bu cisimlerin neden tamı tamına beş tane olduğunun ispatında çok ilginç ve bir o kadar önemli bir formül kullanılır, “Euler formülü”

Ünlü İsviçreli matematikçi Leondard Euler’in (1707 – 1783) adıyla anılan formül aşağıdaki gibidir.

S tepe sayısı, A kenar sayısı, F yüz sayısı olmak üzere S – A+F=2 dir.

Euler formülü sanıldığı gibi ilk olarak Euler tarafından değil, René Descartes ( 1596 1650) tarafından bulunmuştur; Euler ise bu formülü Descartes’tan bağımsız olarak tekrar ispatlamıştır.

Yakın arkadaşı matematikçi Christian Goldbach’a (1690 – 1764) bir mektubunda bu formülden bahseden Euler, 1751 yılında formülü yayımlamıştır.

Formülün kesin ispatıysa 1847 yılında Karl Georg Christian von Staudt (1798 –1867) tarafından yapılmıştır.

Bu formül, futbol topu gibi kenarları boyunca birleşen yüzlerden oluşan bütün katı cisimler için geçerlidir; bir tek koşulla: Cisim konveks olmalıdır, yani ne içe giren kısım ne de delik içermelidir.

Yukarıda sözü edilen S-A+F=2 formülü ile futbol topunun nasıl inşa edildiğini ortaya koymaya çalışalım.

Futbol topunun x sayıda altıgen ve y sayıda beşgenden oluştuğu prensibinden hareket edeceğiz. Burada düz deri parçalarını birbirine ekleyerek mümkün olduğunca küreye benzeyen bir şekil elde etmek istediğimizi biliyoruz.

Önemli olan, altıgenlerle ya da daha çok kenarlı çokgenlerle düzgün çokyüzlü inşa edilemeyeceğini anlamaktır.

Çünkü bir tepe noktaları ortak olan üç altıgen düzlemi oluşturur, yani 360 derecelik açı ortaya çıkar.

Düzlemi çokyüzlü bir katı cisim şeklinde kapatabilmek için her tepe noktasındaki açıların toplamının 360 dereceden küçük olması gerekir.

Buna göre sadece altıgen yüzlerden oluşan bir futbol topu inşa etmek mümkün değildir.

O halde limit durumu oluşturan altıgenler yerine hemen bir önceki çokgenler göz önüne alınabilir.

Dolayısıyla x sayıda beşgen ve y sayıda altıgenden oluşan bir futbol topu inşa edilmeye çalışılacaktır.

Bu durumda aşağıdaki özellikler yazılabilir:

F = x + y,      A = (5x+6y)/2 S = (5x+6y)/3

Bu özellikleri elde etmek oldukça kolaydır, çünkü x beşgen ve y altıgenle toplam 5x+6y kenar elde edilir ve her kenar, topu oluşturan iki yüz tarafından paylaşılır; aynı düşünce biçimi tepe noktaları için de geçerlidir.

Burada S – A+F = 2 Euler formülü uygulanırsa, x = 12 elde edilir.

Çözümde y yok oluyor, artık 12 beşgen olduğundan eminiz. Bundan sonrası için değişik yöntemler var:

Yöntem 1: Yukarıda belirtildiği gibi üç altıgen yan yana getirilemediğine göre, her tepe noktasında en az bir beşgen bulunmak zorunda, yani her tepe noktası en az bir beşgene aittir.

12 beşgen olduğundan, topta en çok 60 tepe noktası var demektir.

Topun mümkün olduğu kadar yuvarlak olması için, maksimum sayıda tepe noktası olmalı, yani S = 60 olmalı, fakat burada S = (5x+6y)/3 olduğunu bildiğimize göre y = 20 elde edilir.

Yöntem 2: Her noktada 3 altıgenle katı cisim kapatılamadığına göre, kapatılabilir olma koşulunun sağlanması için her noktada, ya (a) 2 altıgen ve bir beşgen (120+120+108 derece ) ya da (b) bir altıgen ve 2 beşgen (120+108+108 derece) ya da (c) 3 beşgen (108+108+108 derece) olabilir.

Dikkat edilirse, en uygun durum, yani küreye en yakın olan durum 360 dereceye en yakın olan durumdur, bu ise (a) şıkkıdır.

Bu durumda her tepe noktası bir ve yalnız bir beşgene aittir, yani tam olarak 60 tepe noktası var.

O halde yöntem 1’de olduğu gibi y = 20 sonucu elde edilir.

Yukarıdaki (c) durumu (sadece beşgenlerin yer aldığı durum) bizi 12 beşgen yüzden oluşan bir katı cisme götürür. Bu 12 yüzlü ve 20 tepe noktalı “dodecahedron” dur.

Şekle baktığımızda bunun bir futbol topuna benzediğini ama gerçek bir futbol topu olmadığını görürüz.

(b) durumunun hangi katı cisme tekabül ettiğini bilmiyorum, ancak (a) durumu bir cisme tekabül edecekse, bu cisim 12 beşgen ve 20 altıgenden oluşan uçları kesilmiş en büyük katı cisim olan futbol topudur.

Prof. Dr. Erhan Güzel

erhan.guzel@iku.edu.tr (İstanbul Kültür Üniversitesi)

Matematiksel

Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bir Yorum

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

İlgili Makaleler

Başa dön tuşu
Kapalı