Geometri

Futbol Topu Neden Yuvarlak Değildir?

Top yuvarlaktır deriz ancak futbol topu yuvarlak değildir. Geometrik bir dil ile ifade edersek futbol topunun şekli bir tam küre de değildir. Futbol topları altıgen ve beşgenlerden yapılmıştır. Tam olarak standart bir futbol topu, her beşgenin altıgenlerle çevreleneceği şekilde düzenlenmiştir. Yani 12 beşgen ve 20 altıgen olmak üzere 32 çokgenin birbirine dikilmesi ile yapılmıştır. Ama neden beşgen ve altıgen? Cevaplar Platonik katıların geometrisinde yatmaktadır. MÖ 360 yıllarında Platon’un “Timaeus”adlı kitabında tanımladığı üzere düzgün, çokyüzlü (platonik) cisimler her köşesinde ay­nı sayıda birbirine eş düzgün çokgenin kesiştiği üç boyutlu cisimlerdir.

Platonik katılar, mümkün olan en yüksek simetri derecesine sahip çokyüzlülerdir: Tüm yüzleri, aynı sayıda kenara sahip eşkenar çokgenlerdir ve her köşede aynı sayıda yüz buluşmaktadır.

Bir Futbol Topunun Şekli

Bu tür çokyüzlülerin en küçüğü, 4 tepe nok­tası, 6 kenar ve 4 eşkenar üçgenden (4 üçgensel yüzden) oluşan düzgün dörtyüzlü piramit ve en büyüğü 20 üçgensel yüzden oluşan icosahedrondur. Bu cisimlerin neden tamı tamına beş tane olduğunun ispatında çok ilginç ve bir o kadar önemli bir formül kullanılır, “Euler’in çokyüzlüler formülü” Ünlü İsviçreli matematikçi Leondard Euler’in (1707 – 1783) adıyla anılan formül S tepe sayısı, A kenar sayısı, F yüz sayısı olmak üzere S – A+F=2 biçimindedir. Bu formül, futbol topu gibi kenarları boyunca birleşen yüzlerden oluşan bütün konveks katı cisimler için geçerlidir. Bir futbol topunun şeklini ve matematik ile olan ilişkisini bu formül sayesinde anlayabiliriz.

Futbol topunun şekli yuvarlak bir topa olan talep ve mevcut teknoloji tarafından yıllar içinde değişim göstermiştir.

Topun Matematiksel Olarak Oluşturulması

Futbol topunun x sayıda altıgen ve y sayıda beşgenden oluştuğunu düşünelim. Toplam yüz sayısı x+y kadar olacaktır. Toplamda, beşgenlerin 5y, altıgenlerin de toplam 6x kenarı olacaktır. O zaman toplam kenar sayısı 6x+5y olmalıdır. Her kenar, topu oluşturan iki yüz tarafından paylaşılır. Bu nedenle de bu sayının yarısı bizim şeklimizin toplam yüzünü verecektir. Yani (5x+6y)/2. Aynı mantıkla toplam köşe sayısını da hesaplayabiliriz. Ancak bir köşe üç şekil tarafından paylaşıldığı için toplam yüz sayısını bu sefer 3’e bölmemiz gerekir. Bu durumda toplam köşe sayımız da (5x+6y)/3 kadardır.

Fullerenler büyük karbon molekülleridir. Şekilleri, beşgen ve altıgenlerden oluşur. Her fulleren tam olarak 12 beşgen içerir, ancak altıgen sayısında bir sınır yoktur.

Şimdi bunları Euler formülünde yerlerine yazalım. Bu durumda çözümde y’ler birbirini götürecek ve x sayısı 12 olarak bulunacaktır. Artık futbol topumuz için 12 beşgen kullanılması gerektiğinden eminiz. Şimdi altıgen sayısını bulmamız gerekiyor. Bununla birlikte altıgen sayısında aslında bir sınırlama yoktur. Aynı şekilde tepe noktası sayısında da bir sınır yoktur. Ancak standart bir futbol topu için seçim yapılırken minimum değerler düşünülmüş ve tepe noktası sayısı 60 olarak kabul edilmiştir. (Tepe noktalarında üç altıgen yan yana getirilemediğine göre, her tepe noktasında en az bir beşgen bulunmak zorundadır.

Geometride, kesik ikosahedron 12 düzenli beşgen yüzü, 20 düzenli altıgen yüzü, 60 köşesi ve 90 kenarı olan şekildir.

Toplam 12 beşgen olduğundan, topta en çok 60 tepe noktası var demektir.). Bu durumda S = (5x+6y)/3 formülünde S yerine 60 ve x yerine 12 yazarsak altıgen sayısını veren y sayısı da 20 olarak elde edilir.

On iki beşgen ve 20 altıgen, matematikçiler tarafından kesik bir ikosahedron, kimyagerler tarafından buckminsterfullerene molekülü olarak ve hemen hemen herkes için de standart futbol topu olarak bilinen bir figürü oluşturur

İleri Okumalar: Dieter Kotschick; The Topology and Combinatorics of Soccer Balls; https://cs.brown.edu

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir Yorum

  1. Benimki bir cevap değil de teşekkür. Çok değişik ve ilginç konularda bilgileniyorum sayenizde

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu